2026年全国甲卷数学专题突破卷高频考点解析卷（含解析）

2026年全国甲卷数学专题突破卷高频考点解析卷（含解析）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.若集合A={x|x²-3x+2≤0},B={x|ax=1},则A∩B={1,2}的充要条件是(A)a=1(B)a=-1(C)a=1或a=-1(D)a=02.复数z满足z²=i,则|z-1|的值为(A)√2(B)1(C)√3(D)23.执行以下算法语句，如果输入的n是一个正整数，则循环体执行的次数是i=1s=0WHILEi≤ns=s+ii=i+2ENDWHILE(A)n/2(B)n//2+1(C)[n/2](D)n//24.函数f(x)=log₃(x²-2x+3)的定义域是(A)(-∞,1)∪(1,+∞)(B)[1,3](C)R(D)(-1,3)5.已知向量a=(1,k),b=(-2,4),若a⊥b,则k的值为(A)-2(B)-8(C)2(D)86.执行以下程序段后，变量s的值是i=1s=0DOs=s+ii=i+1LOOPWHILEi≤4(A)4(B)10(C)20(D)307.在等差数列{aₙ}中，a₁=5,公差d=-2,则a₅+a₇的值为(A)4(B)0(C)-4(D)-108.已知圆心为C(1,2)，半径为r的圆C与直线3x-4y+5=0相切，则r的值为(A)5(B)√(13)(C)√(10)(D)√(17/5)二、多选题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。）9.关于函数f(x)=x³-3x的说法中，正确的有(A)f(x)是奇函数(B)f(x)在x=0处取得极值(C)f(x)的图象关于点(0,0)中心对称(D)f(x)在区间(-1,1)上单调递减10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。若a²=b²+c²-bc,则(A)△ABC可能是锐角三角形(B)△ABC可能是钝角三角形(C)∠B=60°(D)△ABC一定是直角三角形11.已知函数g(x)=sin(x+α)+cos(x+α)(其中sinα+cosα≠0)，则下列说法中正确的有(A)函数g(x)的最小正周期为2π(B)函数g(x)的图象关于直线x=π/4对称(C)函数g(x)的最大值为√2(D)存在常数α使得函数g(x)在区间[0,π]上单调递减12.在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是边长为a的正三角形，D是AC中点，E是B₁C₁上一点。给出以下四个命题：(A)AD⊥平面BCC₁B₁(B)CE//平面A₁AD(C)当E为B₁C₁中点时，三棱锥A-ADC₁的体积取得最大值(D)异面直线AE与CC₁所成的角等于60°其中真命题的序号是（）三、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。）13.若x+y=3且x²+y²=5,则xy的值为________.14.某班级有30名男生和20名女生，现要随机选出3名代表，其中至少有一名女生，则不同的选法共有________种。15.在等比数列{aₙ}中，a₂=6,a₅=162,则该数列的通项公式aₙ=________.16.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次抛掷所得点数之和大于9的概率为________.17.已知函数f(x)=x-ln(x+1)(x>-1)，则f(x)在区间(-1,0)上的单调性为________（填“递增”或“递减”）。18.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a=3,b=√7,c=√5,则cosB的值为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）19.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[-1,4]上的最大值和最小值。20.(本小题满分12分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。已知a=3,b=√7,sinA=1/3.(1)求边c的长；(2)求sinB的值。21.(本小题满分12分)已知数列{aₙ}是等差数列，数列{bₙ}是等比数列，且a₁=b₁=1,a₃+b₃=8,a₅+b₅=14.(1)求数列{aₙ}和{bₙ}的通项公式；(2)设cₙ=aₙ+bₙ，求数列{cₙ}的前n项和Sₙ。22.(本小题满分12分)已知圆C的方程为x²+y²-4x+6y-3=0.(1)求圆C的圆心和半径；(2)是否存在斜率为k的直线l，使得直线l与圆C相切，且切点在直线x-y=0上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。23.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，点A(1,0)，点B在直线l:x=4上滑动，点C在圆C:x²+y²=1上滑动。(1)求△ABC垂直平分线AD的长；(2)求△ABC的重心G的轨迹方程。24.(本小题满分12分)已知函数f(x)=eˣ-ax²(x∈R)，a为实数。(1)求函数f(x)的导函数f'(x)；(2)若函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值，并确定函数f(x)的单调区间；(3)设g(x)=ln(x+1)-f(x)，若对于任意x>0，都有g(x)>0恒成立，求a的取值范围。试卷答案1.C2.√23.B4.C5.D6.B7.C8.B9.A,C10.A,B,C11.A,C12.A,B,C13.114.21015.2³ⁿ⁻¹16.1/617.递增18.-1/319.(1)函数f(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减；(2)函数f(x)在区间[-1,4]上的最大值为f(4)=49，最小值为f(2)=3。20.(1)由sinA/a=sinB/b，得sinB=b*sinA/a=√7*(1/3)/3=√7/9。由余弦定理c²=a²+b²-2ab*cosA，得c²=9+7-2*3*√7*(1/3)=16-2√7。边c的长为c=√(16-2√7)=√(14-2√7)。(2)由sin²B+cos²B=1，得cosB=±√(1-sin²B)=±√(1-(√7/9)²)=±√(1-7/81)=±√(74/81)=±√74/9。由a>b>0及sinA>sinB>0，得cosB<0。故cosB=-√74/9。sinB=√(1-(-√74/9)²)=√(1-74/81)=√(7/81)=√7/9。21.(1)设{aₙ}的公差为d，{bₙ}的公比为q。由a₁=b₁=1，得a₃=1+2d，b₃=q²。由a₅=1+4d，b₅=q⁴。由a₃+b₃=8和a₅+b₅=14，得1+2d+q²=8且1+4d+q⁴=14。解得d=1，q²=7。故aₙ=1+(n-1)*1=n，bₙ=1*7^(n-1)=7^(n-1)。(2)cₙ=aₙ+bₙ=n+7^(n-1)。Sₙ=1+2+3+...+n+(7⁰+7¹+7²+...+7^(n-1))=n(n+1)/2+(7ⁿ-1)/(7-1)=n(n+1)/2+(7ⁿ-1)/6。22.(1)圆C:x²+y²-4x+6y-3=0可化为(x-2)²+(y+3)²=16。圆心为C(2,-3)，半径r=4。(2)设直线l的方程为y=kx。由直线l与圆C相切，得|2k+3|/√(k²+1)=4。解得k=7/24。此时切点坐标为(24/5,21/5)，满足24/5-21/5=3/5≠0。故存在斜率k=7/24的直线l满足条件。23.(1)点A(1,0)，点B(4,y₁)，点C(x₂,y₂)满足x₂²+y₂²=1。设点D为线段AC的中点，则D((x₂+1)/2,y₂/2)。由AD垂直于直线l(x=4)，得AD的斜率k_AD=y₂/((x₂+1)/2-1)=2y₂/(x₂-1)。直线AD的方程为y-y₂/2=[2y₂/(x₂-1)]*(x-x₂/2)。令x=4，得y=y₂/2+[2y₂/(x₂-1)]*(4-x₂/2)=y₂/2+4y₂/(x₂-1)=y₂*[1/2+4/(x₂-1)]=y₂*[(x₂+7)/(x₂-1)]。故D(4,y₂*(x₂+7)/(x₂-1))。点D在直线x=4上，故D的纵坐标y=y₂*(x₂+7)/(x₂-1)。AD的长度|AD|=√{[4-(x₂+1)/2]²+[y-y₂/2]²}=√{[8-x₂-1]²+[y₂*(x₂+7)/(x₂-1)-y₂/2]²}=√{[7-x₂]²+[y₂*(2(x₂+7)-(x₂-1))/2(x₂-1)]²}=√{[7-x₂]²+[y₂*(x₂+15)/(x₂-1)]²}。由C在圆上，得x₂²+y₂²=1。令t=x₂-1，则x₂=t+1，y₂²=1-(t+1)²=-t²-2t。代入上式，|AD|=√{(6-t)²+[-(-t²-2t)(t+16)/(t)]²}=√{(6-t)²+(t²+2t)(t+16)/t²}=√{(6-t)²+(t+2)(t+16)/t}=√{(6-t)²+(t³+18t+32)/t}。注意到t=x₂-1，所以|AD|=1。故△ABC垂直平分线AD的长为1。(2)设△ABC的重心为G(x,y)。由重心坐标公式，x=(1+4+x₂)/3=(5+x₂)/3，y=(0+y₁+y₂)/3。由(1)知，当B在直线x=4上时，y₁=y₂*(x₂+7)/(x₂-1)。代入得y=(y₂*(x₂+7)/(x₂-1)+y₂)/3=y₂*[(x₂+7)/(x₂-1)+1]/3=y₂*[(x₂+7+x₂-1)/(x₂-1)]/3=y₂*(2x₂+6)/(x₂-1)/3=y₂*(x₂+3)/(x₂-1)。代入x=(5+x₂)/3，得G((5+x₂)/3,y₂*(x₂+3)/(x₂-1))。消去y₂，令x₂²+y₂²=1，即x₂²+[(x₂+3)/(x₂-1)]²=1。整理得x₂⁴-2x₂²-9=0。令t=x₂²，得t²-2t-9=0。解得t=1±2√5。因x₂²≥0，故t=1+2√5。x₂²=1+2√5。x₂=±√(1+2√5)。此时y₂²=1-x₂²=-2√5。y₂=±i√(2√5)（虚数，不合题意，舍去）。故x₂=√(1+2√5)，y₂=√(2√5)。代入G的坐标，得G(x,y)=((5+√(1+2√5))/3,√(2√5)*(√(1+2√5)+3)/(√(1+2√5)-1))。令t=√(1+2√5)，则G=((5+t)/3,√(2√5)*(t+3)/(t-1))。y=√(2√5)*(t+3)/(t-1)=√(2√5)*[(t-1)+4/(t-1)]=√(2√5)+4√(2√5)/(t-1)。x=(5+t)/3。令u=t-1=√(1+2√5)-1。则x=(5+u+1)/3=(6+u)/3=2+u/3。y=√(2√5)+4√(2√5)/u。消去u，得y=√(2√5)+4√(2√5)/(x-2)。整理得(x-2)*y=4√(2√5)+√(2√5)*(x-2)=√(2√5)*[4+(x-2)]=√(2√5)*(x+2)。故△ABC的重心G的轨迹方程为(x-2)y=√(2√5)(x+2)。24.(1)f'(x)=d/dx(eˣ-ax²)=eˣ-2ax。(2)f'(1)=e¹-2a=e-2a。因函数f(x)在x=1处取得极值，故f'(1)=0。解得a=e/2。此时f'(x)=eˣ-e*x。令f'(x)=0，得eˣ-ex=0，即eˣ(1-x)=0。因eˣ≠0，故1-x=0，得x=1。当x<1时，f'(x)=eˣ-ex=e*(e^(x-1)-x)<e*(1-1)=0。当x>1时，f'(x)=eˣ-ex=e*(e^(x-1)-x)>e*(1-1)=0。故函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增。(3)g(x)=ln(x+1)