线性微分方程组解的存在唯一性定理

§5.1线性微分方程组解的

存在唯一性定理Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

掌握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系。

理解线性微分方程组解的存在唯一性定理。

熟练掌握解的逐次逼近序列的构造方法。本节要求/Requirements/5.1.1记号与定义/SymbolandDefinition/一阶微分方程组初值条件§

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一阶线性微分方程组…(5.1)§

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……….(5.2)……(5.3)§

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可定义矩阵与向量函数在区间连续:连续。在区间可微:可微。在区间可积:可积。在区间§

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§

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上的连续维向量，方程组上连续且满足定义1设是区间上的连续矩阵，是区间在某区间的解就是向量在区间§

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定义2初值问题(CauchyProblem)的解就是方程组(5.4)在包含使得§

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例1

验证向量是初值问题在区间上的解。解因此是给定初值问题的解。§

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5.1.2

n

阶线性微分方程与一阶线性微分方程组等价例1令解§

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满足解构造向量§

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解满足§

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令§

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§

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………(5.6)等价………(5.7)§

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例2令将初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题。解§

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例3将下列方程组化为高阶方程解注意：不是所有方程组都可化为高阶方程§

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5.1.3存在唯一性定理初值问题(CauchyProblem)§

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定理1f(t)是n

维列向量，上连续，则对于区间上的任何数及任一常数向量方程组(5.5)存在唯一解定义于整个区间上，且满足初始条件如果矩阵，它们都在区间§

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现取，构造皮卡逐步逼近向量函数序列：向量函数称为(5.4)的第k次近似解。§

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例4求方程组的初值问题的二次近似解。解令§

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§

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5.1.4简单方程组的消元法例5

求解方程组解关键：保留一个未知函数，消掉另一个未知函数§

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方程组的解为§

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例6

求解方程组解：保留一个未知函数x，消掉另一个未知函数y§

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另外，由方程组的解为§

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