电路分析(第五版)1138

第1章电路的基本概念和定律1.1电路和电路模型1.2电流、电压及其参考方向1.3电功率与电能1.4电阻元件1.5电压源与电流源1.6基尔霍夫定律1.7用电位的概念分析电路小结习题11.1电路和电路模型1.1.1电路及其功能电路是由电路元(器)件按一定要求连接而成，为电流的流通提供闭合路径的集合体，复杂的电路也常称为网络。实际应用中的电路种类繁多，用途各异，但按其功能可概括为两个方面：一是对能量的传送、转换与分配；电力系统中的输电电路就是典型实例。其二是完成电信号的产生、传输、处理及应用；手机、电视机电路是这方面的典型实例。1.1.2理想电路元件组成实际电路的元(器)件种类甚多，性能也不尽相同，但它们在电路中发生的电磁现象却有着共同之处。有些元(器)件主要是消耗电能的，如各种电阻器、电灯、电炉等。有些元(器)件主要是供给电能的，如发电机和电池。有些元(器)件主要是储存磁场能量的，如各种各样的电感线圈。有些元(器)件主要是储存电场能量的，如各种类型的电容器。各种元(器)件除了主要物理性质之外，还有次要性质。如电阻器，通过电流时还会产生磁场，因而兼有电感的性质；实际电感线圈是用金属导线绕制而成的，总要呈现一定电阻，因而兼有电阻的性质。分析电路时，若对电路元(器)件的全部物理性质都予以考虑，必然会带来很大困难，而且在工程实践中也没有必要这样做。因此，为了分析电路方便起见，必须在一定条件下对实际电路元(器)件加以近似化，忽略其次要性质，用一些足以表示实际电路元(器)件主要物理性质的模型来代替实际电路元(器)件。构成模型的元(器)件称为理想电路元件。电路分析中常用的三种最基本的理想元件是：表示将电能转换成热能的电阻元件；表示电场现象的电容元件；表示磁场现象的电感元件。另外还有电压源和电流源两种理想电源元件。每一种理想元件都有各自严格的数学定义式和符号。1.1.3电路模型各种实际元(器)件在一定条件下都可以求得其模型，有些模型比较简单，仅由一种理想元件组成，有些则比较复杂，要由几种理想元件组成。用抽象的理想元件及其组合近似代替实际元(器)件，从而构成了与实际电路相对应的电路模型。所谓电路模型，就是把实际电路的本质抽象出来所构成的理想化了的电路。将电路模型用规定的理想元件符号画在平面上形成的图形称作电路图。图1.1就是一个最简单的电路图。今后我们所研究的电路都是由理想元件构成的电路图——电路模型。电路图只反映各种理想元件在电路中的作用及其相互连接方式，并不反映实际设备的内部结构、几何尺寸及其相互位置。因此有的资料也将电路图称为电路原理图，以区别于装配图。为简便起见，今后我们将省略“理想”二字，元件均指理想元件而言。图1.1一个最简单的电路图

图1.1中，US和RS是实际电压源(如干电池)的符号，电阻ＲＬ是一个以消耗电能为主的实际负载(如电灯泡)的符号，导线是可忽略电阻的短路线。实际电路可分为“集中参数电路”和“分布参数电路”两大类。当一个实际电路的几何尺寸远小于电路中电磁波的波长时，就称为集中参数电路，否则就称其为分布参数电路。集中参数电路又按其元件参数是否为常数，分为线性电路和非线性电路。本课程讨论的都是集中参数线性电路。1.1.4单位制我国于1984年2月规定统一使用国际单位（简称SI）制。在SI中，电磁学采用四个基本单位，即长度单位：米(m)，质量单位：千克(kg)，时间单位：秒(s)，电流单位：安(A)。其它常用的电磁学导出单位列于表1-1中。表1-1常用电磁学单位一览表

表1-2表示SI制常用的词头。本书各物理量的计算和表达式都采用SI制。表1-2常用物理量的表述练习与思考

1.1-1结合自己所熟悉的一种家用电器，谈谈对电路功能的理解，并举出建立该电器设备的电路模型所需要的理想电路元件种类。

1.1-2

实验室用的一种滑动式可变电阻器，是将铜线绕在圆形骨架上，要建立它的电路模型只用理想电感元件行吗?严格地讲应该用哪几种理想电路元件?1.2电流、电压及其参考方向1.2.1电流及其参考方向从物理学得知，电荷的定向移动形成电流，规定正电荷移动的方向为电流的方向。大小用电流强度来度量，单位时间内通过导体横截面的电荷量称为电流强度，用i表示，即(1-1)式(1-1)中的dq为时间dt内通过导体横截面的电荷量，若dq/dt为常数，则称为直流电流，简称直流（表示符号为“—”，英文缩写为DC或dc），用I表示，即(1-2)电流是客观存在的，尽管看不见摸不着，却可以通过它的各种效应来体现。日常生活中的开灯、关灯就可体现其“存在”与“消失”。电流强度简称电流，这样，电流一词不仅代表一种物理现象，而且也代表一个物理量。国际单位制(SI)中，电荷的单位是库仑(C)；时间的单位是秒(s)；电流的单位是安培(A)，实用中还有毫安(mA)和微安(μA)等。

分析电路时，尤其是复杂电路，电流的实际方向很难确定，尤其在交流电路中，电流方向不断变化，根本无法确定。为此引入参考方向这一概念，即任意设定一个方向作为其数值为正的标准，通常用箭头表示，并且规定，电流的实际方向与参考方向一致，电流为正值；反之，电流为负值，如图1.2所示。这样电流就是一个代数量了。除用箭头表示电流参考方向外，还可用双下标表示，如Iab就表示电流参考方向是从a点流向b点。不设定参考方向而谈电流的正负是没有意义的。图1.2电流的参考方向

在直流电路中，测量电流时，应根据电流的实际方向将电流表串入待测支路中，如图1.3所示，电流表两旁标注的“+”、“-”号为电流表的极性。图1.3直流电流测试电路

例1.1

在图1.4中，各电流的参考方向已设定。已知I1=10A,I2=-2A,I3=8A。试确定I1、I2、I3的实际方向。

解

I1>0,故I1的实际方向与参考方向相同，I1由a点流向b点。

I2<0,故I2的实际方向与参考方向相反，I2由b点流向c点。

I3>0,故I3的实际方向与参考方向相同，I3由b点流向d点。图1.4例1.1图1.2.2电压及其参考方向

从物理学中知道，电路中a、b两点的电压就是将单位正电荷由a点移动到b点时电场力所做的功。电压用u表示，即在式(1-3)中，dq为由a点转移到b点的电荷量，dw为移动电荷dq电场力所做的功。在SI中，电压的单位为伏特(V)，实用中还有千伏(kV)、毫伏(mV)和微伏(μV)等。（1-3）

也可用电位表示电压，电路中某点的电位表示该点到参考点的电压。电位用φ(带单下标)表示，φa就表示a点的电位，其单位与电压相同。两点间的电压就是这两点的电位之差。电路中，规定电位降低的方向为电压的实际方向。故电压又称电位差或电压（位）降。与电流类似，也要给电压设参考方向（参考极性），通常在电路中用“+”（表示高电位端，称正极）、“-”（表示低电位端，称负极）号标出，如图1.5所示。或用带双下标的字母表示，如uab就表示a、b两点之间的电压，而且表明a点电位高于b点。若计算结果uab为正值，说明a点电位确实高于b点；若uab为负值，说明a点电位低于b点。

如果电压的大小和方向都不随时间变化，这样的电压叫做直流电压，用U表示。引入电位概念以后，这样a、b两点的电压可表示为

当电压的参考方向与实际方向相同时，则为正，反之为负，如图1.5所示。Uab=φa-φb

(1-4)图1.5电压的参考方向

同样，有了参考方向，电压也就成为一个代数量。不设定参考方向谈电压的正负也是没有意义的。电压的参考方向也称为电压的正方向。在直流电路中，测量电压时，应根据电压的实际极性将直流电压表跨接在待测支路两端。如图1.6所示，若Uab=10V，Ubc=-3V，测量这两个电压时应按图示极性接入电压表。电压表两旁标注的“+”、“-”号分别表示电压表的正极性端和负极性端。图1.6直流电压测试电路

电流的参考方向和电压的参考极性原则上可以各自独立设定。但为了方便，通常采用关联参考方向，即电流从电压“+”极流入，从“-”极流出（称两者参考方向一致），如图1.7(a)所示。图1.7(b)中两者参考方向不一致时，称为非关联参考方向。图1.7关联与非关联参考方向

注意：分析计算电路时，无需考虑各电流、电压的实际方向，只需在图中标(设)定其参考方向，计算结果的正、负就能反映其实际方向。参考方向一经选定，在整个分析计算过程中就必须以此为准而不能再变动。

例1.2

在图1.8(a)中，各方框泛指元件。已知I1=3A,I2=2A,I3=-1A,φa=10V，φb=8V，φd=-3V。

(1)欲验证I1、I3数值是否正确，问电流表在图中应如何连接?并标明电流表极性。

(2)求Uab和Ubd，若要测量这两个电压，问电压表如何连接?并标明电压表极性。图1.8例1.2图

解

(1)电流表应按图1.8(b)所示串入所测支路，其极性如图中所标注。

(2)Uab=φa-φb=10-8=2V

Ubd=φb-φd=8-(-3)=11V或Ubd=φb-φd=φb-φa+φa-φd=Uba+Uad

而Uba=φb-φa=8-10=-2V

Uad=φa-φd=10-(-3)=13V故 Ubd=Uba+Uad=-2+13=11V

以上用两种思路计算所得结果完全相同，由此可得出两条重要结论：

(1)两点之间的电压等于这两点之间路径上的全部电压的代数和；

(2)计算两点间的电压与路径无关。电压表应按图1.8(b)所示跨接在待测电压的两端，其极性已标注在图上。练习与思考

1.2-1

如图1.9所示，已知φa=10V,φb=0，φc=6V。求Uab、Ubc及Uac。

1.2-2

试标出如图1.10所示电路中，对网络N和元件R而言符合关联参考方向的电流和电压。图1.9题1.2-1图图1.10题1.2-2图1.3电功率与电能1.3.1电功率传送、转换电能的速率叫做电功率。如图1.11(a)所示，a、b两点间的电压为正电荷dq由a点移动到b点时电场力所做的功dw=udq

电场力做功，意味着dq有电能损耗，损耗的这部分电能被ab段电路所吸收。该功率为(1-5)在直流电路中，P=UI

(1-6)

式（1-6）是当电压、电流为关联方向时，若P>0，表明该段电路吸收功率，若P<0，表明该段电路供出功率。当电压、电流为非关联方向时，如图1.11(b)所示，若P>0，表明该段电路供出功率，若P<0，表明该段电路吸收功率。在SI中，功率的单位为瓦（W），实用中还有千瓦（kW)、毫瓦(mW)等。图1.11功率1.3.2电能

前已述及，正电荷dq在时间dt内由电路中的a点移动到b点，ab段电路吸收的能量为dw=udq，由于dq=idt，故dw=uidt就是ab段电路在时间dt内所吸收的电能。通电时间由t0到t，则电路吸收的电能为(1-7)在直流电路中，有

W=UIt(t为通电时间)

在SI中，电能单位为焦耳(J)。实用中还有度，1度=1千瓦×1小时=1千瓦时(kW·h)。

例1.3

图1.12为某电路中的一部分。已知I=2A，U1=-2V。

(1)求元件1的功率P1，并说明是吸收功率还是向外提供功率。

(2)若元件2向外供出的功率为10W，元件3吸收的功率为12W，求U2和U3。

解

(1)由于元件1的电压、电流为非关联参考方向，故

P1=U1I=-2×2=-4W(吸收)图1.12例1.3图(2)由于元件2和元件3的电压、电流均为关联参考方向，且元件2向外供出功率，而元件3吸收功率，故P2=-10=U2I

P3=12=U3I则

例1.4

在图1.13中，方框代表电源或电阻，各电压、电流的参考方向均已设定。已知I1=2A,I2=1A,I3=-1A,U1=7V,U2=3V,U3=-4V,U4=8V,U5=4V。求各元件吸收或向外供出的功率。

解元件1、3、4的电压、电流为关联方向，P1=U1I1=7×2=14W(吸收)P3=U3I2=-4×1=-4Ｗ(供出)

P4=U4I3=8×(-1)=-8Ｗ(供出)元件2、5的电压、电流为非关联方向，故P2=U2I1=3×2=6W (供出)P5=U5I3=4×(-1)=-4W(吸收)电路向外供出的总功率为4+8+6=18W电路吸收的总功率为14+4=18W计算结果说明功率平衡，即符合能量守恒原理，因此是正确的。图1.13例1.4图练习与思考

1.3-1

在图1.14中，已知元件1消耗的功率为-36W；元件2向外供出的功率为-54W；元件3向外供出的功率为200W；分别求I1、U2及I3的值。图1.14题1.3-1图

1.3-2

在图1.15中，已知I=1A,U1=3V,U2=7V,U3=10V。求各元件上所消耗的功率。图1.15题1.3-2图

1.3-3

某车间装有10只“220V、60W”工作照明灯和20把“220V、45W”电烙铁，平均每天使用7小时，问每月(按22个工作日计算)该车间用电多少kW·h。本节内容对应习题为1.4。1.4电阻元件1.4.1电阻元件及伏安特性

1.1节中提到,电阻元件是经科学抽象定义的理想电路元件之一，是代表消耗能量的电路元件，有阻碍电流流动的本能，因此沿电流流动的方向必然会出现电压降。元件电压与电流的关系曲线叫做元件的伏安特性。若电阻值不随其上电压或电流的数值而变化，则称为线性电阻，其伏安特性是一条通过坐标原点的直线，如图1.16(a)所示，其符号如图1.16(b)所示。线性电阻电压与电流之间的关系服从欧姆定律，这是其特性所决定的，通常称为元件的特性约束。当电压电流符合关联方向时，欧姆定律可表示成U=RI(1-8)在式(1-8)中，R是一个与电压和电流均无关的常数,称为元件的电阻。在SI中，电阻的单位为欧姆，简称欧(Ω)。常用单位还有千欧(kΩ)、兆欧(MΩ)等。

在式(1-8)中，R是一个与电压和电流均无关的常数,称为元件的电阻。在SI中，电阻的单位为欧姆，简称欧(Ω)。常用单位还有千欧(kΩ),兆欧(MΩ)等。图1.16线性电阻及伏安特性

电阻的倒数叫做电导,用G表示。在SI中,电导的单位是西门子，简称西(S)，用电导表征电阻时,欧姆定律可写成I=GU

或如果电阻的端电压和电流为非关联方向时,则欧姆定律应写为U=-RI

或I=-GU

严格地说，线性电阻是不存在的，但绝大多数电阻在一定的工作范围内都非常接近线性电阻的条件，因此可用线性电阻作为它们的模型。习惯上把电阻元件称为电阻。因此，电阻一词，一方面表示电阻元件,另一方面也表示电阻元件的参数。1.4.2电阻元件的功率根据式(1-6),无论是关联或非关联参考方向下，电阻元件消耗的功率为电阻R为正实常数，故功率P恒为正值，这是其耗能性质的真实体现。练习与思考

1.4-1

有人说欧姆定律写成U=-RI,说明此时的电阻是负的。这种说法对吗?

1.4-2

求图1.17中的电压、电流和电阻。图1.17题1.4-2图1.5电压源与电流源1.5.1电压源1.理想电压源

理想电压源是这样的一种理想二端元件：不管外部电路状态如何，其端电压总保持定值US或者是一定的时间函数，而与流过它的电流无关。理想电压源的一般符号及直流伏安特性如图1.18所示。图1.18理想电压源(a)符号；(b)直流伏安特性

理想电压源的端电压大小及极性由自身决定，而其输出电流却与外部电路有关。电流可以不同的方向流过电压源，当电流从电压源的“-”极流入、“+”极流出时，电压源供出功率（作电源）；当电流从电压源的“+”极流入、“-”极流出时，电压源吸收功率（作别的电源的负载），如蓄电池充电。通常，实验室中的直流稳压源、交流信号源，电网上的交流电压源均可视为理想电压源。2.实际电压源的电路模型实际电压源由于内部存在能量消耗，两端电压会随流过电流的变化而变化。如电池接电阻性负载后端电压会降低，其优安特性如图1.19(a)所示，通过实验测得其表示式为对应式（1-9）的电路如图1.19(b)所示，因此，实际电源可用理想电压源和电阻相串联的模型来表征，称RS为电源内阻，称这种电路模型为实际电压源。由式(1-9）知，实际电压源端电压低于US。电流越大，端电压越低。因此实际电压源的内阻越小，其特性越接近理想电压源。

U=US-RSI

(1-9)图1.19实际电压源(a)伏安特性曲线；(b)模型

电压源不接负载时，称为开路状态。如图1.20(a)所示，此时的端电压称为开路电压，记作UOC，UOC=US，而I=0，因此，实际电压源可用开路电压和内阻两个参数来表征。图1.20(b)所示为短路状态，此时短路电流ISC=UOC/RS，而端电压U=0。由于实际电压源的内阻都较小，故短路电流很大，会损坏电源，因此，电压源通常不允许短路的。图1.20电压源的两种特殊状态(a)开路状态；(b)短路状态

例1.5

某电压源的开路电压为30V，当外接电阻R后，其端电压为25V，此时流经的电流为5A，求R及电压源内阻RS。

解用实际电压源模型表征该电压源，可得电路如图1.21所示。设电流及电压的参考方向如图中所示，根据欧姆定律可得U=RI即根据U=US-RSI

可得图1.21例1.5图1.5.2电流源

1.理想电流源理想电流源是另一种理想二端元件，不管外部电路状态如何，其输出电流总保持定值IS或一定的时间函数，而与其端电压无关。理想电流源的一般符号及直流伏安特性如图1.22所示。

理想电流源的大小和方向是给定的，但其两端电压的实际极性和大小则与外部电路有关。当实际电压降的方向与电流源的箭头指向相反时(即非关联方向)，电流源供出功率，起电源作用；当实际电压降的方向与电流源的箭头指向相同时(即关联方向)，则电流源吸收(消耗)功率，作负载。图1.22理想电流源(a)符号；(b)直流伏安特性2.实际电流源的电路模型式（1-9）可改写（变换）为其中IS=US/RS。对应式（1-10）的电路如图1.23(a)所示，即实际电源也可用理想电流源与电阻并联的模型来表征，称RS为电源内阻，称这种电路模型为实际电流源。(1-10)实际电流源的短路电流ISC=IS，因此可以用ISC和RS两参数来表征实际电流源。应当指出：实际元件的模型仅表示该元件外部的电压、电流关系，并不涉及其内部结构；电源内部并不真正接有电阻，RS只表示电源工作时内部有能量消耗。理想电压源、电流源统称为独立源，在电路理论中统称为“激励”，把独立源在电路中产生的电流和电压统称为“响应”。图1.23实际电流源(a)模型；(c)伏安特性曲线

例1.6

电路如图1.24所示，试求

(1)电阻两端的电压。

(2)1A电流源两端的电压及功率。

解

(1)由于1A电流源为理想电流源，因此流过5Ω电阻的电流就是1A而与2V电压源无关，即

Ｕ１=5×1=5V(2)1A电流源两端的电压包括5Ω电阻上的电压和2V电压源，因此

U=U1+2=5+2=7V因1A电流源上的电流与电压为非关联方向，故

P=-1×7=-7W(供出)图1.24例1.6图练习与思考1.5-1

求图1.25电路的功率，并说明是供出功率还是消耗功率。1.5-2

将图1.26各电路用一个电源表示。1.5-3

求图1.27各电路中消耗的功率，并指出是哪个电源供出的。图1.25题1.5-1图图1.26题1.5-2图图1.27题1.5-3图1.6基尔霍夫定律支路:单个电路元件或是若干个电路元件的串联，构成电路的一个分支，一个分支上流经的是同一个电流，电路中每个分支都称为支路，如图1.28中，abc、adc、ac为三条支路。其中abc、adc支路包含电源，称为有源支路,ac支路无电源称为无源支路。节点：三条或三条以上支路的连接点称为节点。在图1.28中，a、c为节点，b、d不是节点。回路:由支路构成的任一闭合路径称为回路。网孔:其内部不含任何支路的回路称网孔。在图1.28中，abcda、abca、adca都是回路;abca、adca是网孔。图1.28电路名词用图1.6.1基尔霍夫电流定律(KCL)

基尔霍夫电流定律反映了电路中与节点相连的各支路电流间的约束关系，简称KCL,其内容是：对于集总参数电路，任意时刻，连接在任一节点的各支路电流的代数和恒为零。如对于图1.29中的节点a，在图示各电流的参考方向下，依KCL,有

I1+I3+I5-I2-I4=0其一般形式为(1-11)图1.29基尔霍夫电流定律用图规定流入节点的电流为“+”，流出节点的电流为“-”（亦可做相反规定）。注意：各电流前的“+”或“-”与电流本身由参考方向形成的正、负无关。式(1-11)称为节点电流方程（简写为KCL方程）。KCL不仅适用于节点，把它加以推广还可用于包围几个节点的闭合面。在图1.30所示的电路中，将节点1、2、3包围在一个闭合面内，对该闭和面亦应有∑I=0，即I1-I2+I3=0

节点1: I1+I6-I4=0

节点2: -I2+I4-I5=0

节点3: I3+I5-I6=0将以上三式相加,得I1-I2+I3=0可见，流入(或流出)一个闭合面的各支路电流的代数和恒为零,此即广义的KCL方程。图1.30KCL适合一个闭合面

例1.7

在图1.31所示电路中，已知R1=2Ω，R2=5Ω，US=10V。求各支路电流。

解由于Uab=US=10V，根据欧姆定律，有对节点a列KCL方程，有-I1+I2+I3=0I3=I1-I2=5-(-2)=7A

图1.31例1.7图1.6.2基尔霍夫电压定律(KVL)基尔霍夫电压定律反映了回路中各支路电压间的约束关系，简称KVL,其内容是：对于集总参数电路，任意时刻，任一回路的各支路电压的代数和恒为零。即(1-12)式(1-12)称为回路的电压方程。简写为KVL方程。在列写KVL方程时,首先应设定绕行方向，凡电压的参考方向与绕行方向一致的，则该电压前取“+”号,否则取“-”号。如图1.32所示绕行方向为顺时针方向，则有U1+U2-U3-U4+U5=0图1.32KVL用图

KVL不仅适用于实际回路,还可用于假想回路。如图1.32中，可假想有abca回路,绕行方向不变。根据KVL,则有U1+U2+Uca=0由此可得Uca=-U1-U2即Uca=-Uca=U1+U2

应用KVL时，回路的绕行方向是任意设定的,一经设定，回路中各电压前的正、负号也将随之确定,即凡与绕行方向一致者取正号,不一致者取负号。应当注意,这与电压本身由参考极性造成的正、负无关。对于经常遇到的电压源和电阻组成的电路，KVL可表示为∑RI=∑US，即回路各电阻电位降的代数和等于各电压源电位升的代数和（这在第3章将用到）。

例1.8

电路如图1.33所示，有关数据已标出，求UR4、I2、I3、R2、R4及US的值。

解设左边网孔绕行方向为顺时针方向，依KVL,有-US+2I1+10=0代入数值后,有US=2×4+10=18V对于节点a,依KCL,有I2=I1-I3=4-2=2A图1.33例1.8图则对右边网孔设定顺时针方向为绕行方向，依KVL,有则练习与思考1.6-1

求图1.34所示电路中的未知电流I。

图1.34题1.6-1图1.6-2

图1.35为某电路中的一个回路，试求U3。图1.35题1.6-2图图1.36题1.6-3图

1.6-3

列出图1.36所示电路中各节点的KCL方程及各网孔的KVL方程。1.7用电位的概念分析电路1.7.1电位及其参考点为了计算电压而引入电位这一物理量。电路中，某点的电位是将单位正电荷由该点沿电路所约束的路径移至参考点电场力所做的功。电路中每一点都有一定的电位，就如同空间每一处都有一定的高度一样，这个高度从什么地方算起，要选定参考点，这个参考点是海平面。同样，计算电位也需要有一个参考点，即零电位点。参考点原则上可以任意选取（实用中则要看分析计算问题的方便而定），但一经选定,各点电位的计算即以参考点为准。参考点变了,则各点的电位也随之改变，即电位随参考点的选择不同而异。在电路中不设定参考点而谈电位是没有意义的。参考点处用接地符号“⊥”表示。1.7.2电位的计算既然参考点的电位为零，则电路中某一点a的电位

φa=Ua0

因此计算电位与计算电压的方法相同。同样，电位也是代数量。计算电路中某点电位的常用方法有：（1）根据电位定义计算：从该点到参考点选取任一路径，此路径各段电压求代数和。（2）根据已知点的电位和两点电压计算，依Uab=φa-φb，得φa=φb+Uab，即a点电位等于b点电位（已知），加上a、b两点的电压（已知）。（3）电路分析方法：第3章将要讲的节点电位法。图1.37例1.9图

例1.9如图1.37(a)所示电路，当分别以b、c为参考点时，求开关S打开及闭合两种情况下的φa。解

(1)当S打开时，有当以b为参考点时，即φb=0，则或φa=Uab=9-2I=9-2×2=5V当以c为参考点时(即φc=0)，则φa=Uac=4I=8V或(2)当S闭合时，依图1.37(b)电路可知，此时b、c为同一点，以此两点为参考点，即φb=φc=0，故或1.7.3有接地点电路的习惯画法图1.38(a)所示电路，当d为参考点时，则φa=US1，φc=-US2，可将其画成如图1.38(b)的形式，电子技术课程中常用此画法，称其为“习惯画法”。顺便提及等位点概念，把电路中电位相同的点称为等位点，对于两个等位点可以将其短路（或开路），都不会对电路产生任何影响。这一点在简化电路时很有用。图1.38电位分析用图及电路的习惯画法例1.10

试求图1.39(a)所示电路中的φa、φb及Uab。图1.39例1.10图

解若不习惯这种画法,可将其改画成图1.39(b)所示的形式，依图有或φa=Uac=-3×6+14=-4Vφb=Ubc=3×6+1×6-10=14VUbc=φa-φb=-4-14=-18V练习与思考1.7-1

计算如图1.40所示电路中的各点电位。图1.40题1.7-1图1.7-2

对于图1.41所示电路,I0应为多少?为什么?图1.41题1.7-2图

1.7-3

计算图1.42所示电路中，S打开或闭合时的φa、φb及Uab。图1.42题1.7-3图小结

1.电流、电压、功率和电位电流和电压是电路分析的基本变量，其参考方向和关联方向很重要。计算电路时，必须首先设定其参考方向才会使计算结果有意义。在关联参考方向下，功率P=UI，在非关联参考方向下，P=-UI。P>0，电路消耗功率；P<0，电路提供功率。电路中某点到参考点的电压就是该点的电位，其计算方法与计算电压相同。

2.电压源、电流源和电阻它们都是电路中的基本二端元件，电压源的端电压总是定值US或一定的时间函数；电流源的电流总是定值IS或一定的时间函数。电压源和电流源都是分析实际电源非常有用的工具。电阻元件是电路的主要元件，其伏安关系虽然简单，但其分析思路和方法都是分析动态元件的基础。

3.欧姆定律和基尔霍夫定律它们都是电路理论中的重要定律，欧姆定律确定了电阻元件上电压和电流之间的约束关系，通常称为特性约束。KCL定律确定了电路中各支路电流之间的约束关系，其内容为：对电路中任一节点在任一时刻，有∑I=0；KVL确定了回路中各电压之间的约束关系，其内容为：对电路中任意回路，在任一时刻，有∑U=0。基尔霍夫定律表达的约束关系通常称为拓扑约束。两种约束关系是分析电路的基础。习题1

1.1

图示电路中，已知U1=2V,U2=10V,U4=2V，求电压U3,U5及U6。题1.1图1.2

求图示电路中的电压Uab和U1。题1.2图

1.3

图示电路中，已知U1=1V,U2=-3V,U4=-4V，U5=7V，求电压Ubd。题1.3图

1.4

上题图中若已知I1=2A,I2=1A,I3=1A，求元件1、3、4、6所吸收或供出的功率。

1.5

求图示电路中的电压Uab、Uac和Uad。

1.6

求图示电路中的电压U。题1.5图题1.6图1.7

求图示电路中各电流及各电压的值。题1.7图1.8

求图示电路中的Uab和Ucd。题1.8图1.9

图示电路中，若I5=0，求R4的值。题1.9图

1.10

求图示电路中的各电压值。题1.10图

1.11

求图示电路中的电阻R及电压源发出的功率。(提示：根据KVL先求15Ω电阻上的电压。)题1.11图1.12

求图示电路中的IS和U。题1.12图

1.13

图示电路中，已知I=-2A，Uab=6V,求电阻R1和R2的值。（提示：先求4Ω支路电流和电压。）

题1.13图1.14

求图示电路中电位φ1、φ2和φ3的值。题1.14图1.15

电路如图所示，求S打开和闭合时a点的电位值。题1.15图自测题1

1-1

图示为某复杂电路中的一部分，求I、US、R及电压源发出的功率。(20分)自测题1-1图

1-2

求图示电路中的电压Uac和Uad。(20分)自测题1-2图

1-3

求图示电路中的U、I及元件N消耗的功率。(20分)自测题1-3图1-4

在图示电路中，已知Ubd=4V，求Ubc及US的值。(20分)自测题1-4图1-5

图示电路中，已知Uab=5V，求US。(20分)自测题1-5图第2章电路的等效变换2.1电阻的串、并、混联2.2△形和Y形电阻电路的等效变换2.3两种电源模型的等效变换*2.4受控源及其等效变换小结

习题22.1电阻的串、并、混联2.1.1电阻的串联若电路中两个或两个以上电阻首尾相接、中间无分支，在电源作用下，通过各电阻的电流都相同，则称此连接方式为电阻的串联。图2.1(a)所示为三个电阻串联。设电压和电流的参考方向如图2.1(a)中所示，则根据KVL，有

U＝U1+U2+U3

(2-1)又由欧姆定律，可得U1=R1IU2=R2IU3=R3I(2-2)由式(2-1)及式(2-2)可得

U＝(R１+R２+R３)·I

(2-3)式(2-3)表明了图2.1(a)所示电路外端钮上电压与电流的关系，若用一个电阻

R＝R1+R2+R3

(2-4)来替代图2.1(a)中的三个电阻，如图2.1(b)所示，则外端钮上电压与电流的关系不变。换言之，它们对外电路具有相同的效果，这就是等效变换，称R为等效电阻，称图2.1(b)为图2.1(a)的等效电路。显然，n个电阻相串联，其等效电阻等于n个电阻之和。图2.1电阻串联及其等效电路串联电路中，若已知总电压，根据式(2-3)和式(2-4)可求出各电阻电压：(2-5)式(2-5)为串联电阻的分压公式；由此可得U１∶U２∶U３

=R１∶R２∶R３

上式说明：串联电阻上的电压分配与电阻大小成正比。使用分压公式时，注意各电压的参考极性。若给式(2-1)两边同乘电流I，则得UI=U１I+U２I+U３IP=P１+P２+P３

即上式表明，串联电路消耗的总功率等于串联各电阻消耗功率之和。各电阻消耗的功率可写成：

P1=I2R1，P2=I2R2

，P3=I2R3故有P１∶P２∶P３

=R１∶R２∶R３

上式说明：电阻串联时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比。

例2.1

有一量程为100mV，内阻为1kΩ的电压表。如欲将其改装成量程为U1=1V和U2=10V的电压表，试问应采用什么措施?图2.2例2.1图

解根据串联电阻分压概念，用一个电阻与电压表相串联，可以分去所扩大部分的电压。由于要求扩大为两个量程，故应串入两个电阻(也可以说是将一个电阻一分为二)，其原理如图2.2所示，各量程标注在相应的端钮上。图中Rg为电压表内阻，Ug为其量程，R１、R２为分压电阻。当用U1量程时，U２端钮断开，此时分压电阻只有R１；当用U２量程时，U１端钮断开，分压电阻为R１+R２。根据串联电阻分压关系可得则所以R2=99-R1=90kΩ2.1.2电阻的并联若电路中有两个或两个以上的电阻，其首尾两端分别连接于两个节点之间，每个电阻两端的电压都相同，则称这种连接方式为电阻的并联，如图2.3(a)为三个电阻并联的电路。图2.3电阻并联及其等效电路设电压和电流的参考方向如图2.3(a)中所示，依KCL有I=I１+I２+I３

(2-6)又由欧姆定律，可得(2-7)上式中G１、G２、G３分别为各电阻的电导。由式(2-6)和式(2-7)可得I=(G１+G２+G３)U

(2-8)若用一个电导G=G１+G２+G３(2-9)来替代图2.3(a)中三个电导并联之和，如图2.3(b)所示，则在对外端钮a、b上U与I的关系不变。换言之，它们对于外电路具有相同的效果，则电导G称为G１、G２、G３相并联的等效电导。称图2.3(b)为图2.3(a)的等效电路，很显然：当有n个电导并联时，其等效电导等于n个电导之和。若将式(2-9)用电阻形式表示，则有(2-10)其中，为R１、R２、R３并联后的等效电阻。并联电路中，若已知总电流，根据式(2-8)和式(2-9)可求出各电导支路电流：(2-11)式(2-11)为并联电导的分流公式，由此可得I１∶I２∶I３=G１∶G２∶G３

上式说明，并联电导中电流的分配与电导大小成正比，即与电阻成反比。若给式(2-6)两边各乘以电压U，则得UI=UI１+UI２+UI３

P=P１+P２+P３

即上式表明，并联电路消耗的总功率等于并联各电导消耗功率之和。各电导功率可写成：故有P１∶P２∶P３=G１∶G２∶G３

上式说明，各并联电导所消耗的功率与该电导的大小成正比，即与电阻成反比。由以上讨论可知，在串联电路中用电阻方便，而在并联电路中用电导比较方便。但由于电阻元件习惯于用电阻表示，因此式(2-10)也经常应用，特别是两个电阻并联的情况更经常遇到。通常两个电阻并联时记作R１∥R２。其等效电阻可用下式求出：(2-12)此时的分流公式为(2-13)顺便指出，使用分流公式时，应注意各电流的参考方向。

例2.2

有一量程为100μA，内阻为1.6kΩ的电流表，如欲将其改装成量程I1=500μA和I2=5mA的电流表。试问应采取什么措施?

解根据并联电阻分流的概念，用一个电阻与电流表并联，可以分去所扩大部分的电流，而使流过电流表的电流始终不超过100μA。由于要扩大为两个量程，故应将并入的电阻分成两个部分(即由两个电阻串联而成)，其原理如图2.4所示，各量程标注在相应的端钮上。图2.4例2.2图

图中Rg为电流表内阻，Ig为其量程，R1、R2为分流电阻。先求出量程I1的分流电阻，此时，I2端钮断开，分流电阻为R1+R2

，根据并联电阻分流关系，有所以

当量程I2=5mA时，分流电阻为R2，而R1与Rg相串联，根据并联电阻分流关系，有故R1=400-40=360Ω2.1.3电阻的混联既有串联又有并联的电路称为混联电路。对于电阻混联电路，可以应用等效的概念，逐次求出各串、并联部分的等效电路，最终将其简化成一个无分支的等效电路，通常称这类电路为简单电路；若不能用串、并联的方法简化的电路，则称为复杂电路。例2.3

求图2.5(a)所示电路中的电流I和电压Uab。图2.5例2.3图

解对此种电路的分析方法可归纳为三步：设电位点；画直观图；利用串、并联方法求等效电阻。据此可将原电路改画成如图2.5(b)所示，则由分流关系，有或例2.4

求图2.6(a)所示电路中a、b两端的等效电阻。

解按三步处理法逐步化简，可得图2.6(b)、(c)、(d)，由此可得Rab=2+3=5Ω图2.6例2.4的电路

例2.5求图2.7所示电路中R4上的功率P。

解

ab端口的等效电阻由分流关系可知图2.7例2.5图练习与思考2.1-1

求图2.8所示各电路中的等效电阻Rab。图2.8题2.1-1图

2.1-2

有一个120V电源与100Ω电阻串联的电路，为了使电阻上的功率不超过100W，问至少应再串入多大的电阻R?电阻R上所消耗的功率为多少?

2.1-33A电流源通过2Ω电阻和一未知电阻R相并联的电路，要使流过电阻R的电流为2/3A，试问R取值应为多少?

本节内容对应习题为2.1~2.7。２.２△形和Y形电阻电路的等效变换无源三端式电路,如图2.9所示，其中图(a)为△形电路，图(b)为Y形电路。图2.9无源三端电路△形和Y形电路之间的相互变换也应满足外部特性相同的原则，直观地说：就是任意两对应端的电阻应相等。具体地说，就是当第3端断开时，两电路中每一对应端的电阻相等。如图2.9(a)和(b)中，当第3端断开时，两电路中1、2端的电阻应相等，即(2-14)同理有(2-15)(2-16)

将△形变换成Y形，即已知△形电路的R12、R23、R31，求Y形电路的R1、R2、R3。为此，将式(2-14)、(2-15)和式(2-16)相加后除以2，可得(2-17)从式(2-17)中分别减去式(2-15)、(2-16)和式(2-14)，可得(2-18)(2-19)(2-20)以上三式就是△形电路变换为等效Y形电路的公式。三个公式可概括为当R12=R23=R31=R△时，则(2-21)

将Y形变换成△形，即已知Y形电路的三个电阻R１、R２、R3，求△形电路的R１２、R２３、R３１。将式(2-18)、(2-19)和式(2-20)两两相乘后再相加，经化简后可得(2-22)将式(2-22)分别除以式(2-20)、(2-18)和式(2-19)，可得(2-23)(2-24)(2-25)以上三式就是Y形电路变换为等效△形电路的公式。三个公式可概括为

当R１=R２=R３=RY时,则(2-26)R12=R23=R31=3RY

应当指出，上述等效变换公式仅适用于无源三端电路。例2.6在图2.10(a)所示电路中，（1）欲使R５支路无电流，则应满足什么条件？（2）若已知R1=10Ω,R２=30Ω,R３=22Ω,R４=4Ω,R５=60Ω，UＳ=22V,求电流I。

解（1）这是一个电桥电路，电阻R1、R2、R3、R4称为电桥的四个臂，对角线ac支路为桥路，另一对角线bd为电源支路。欲使R5中无电流，即φa=φc。由此可通过计算φa和φc的值而得出相应条件（即电桥平衡的条件）。依题意拿掉R5支路将不会影响电路的其余部分，则原电路可等效成图2.10(b)所示。选取d为参考点，则有依φa=φc可得

I1R4=I2R3，I1R1=I2R2将两式相除，可得或 R1R3=R2R4

这个结论很重要，利用它在某些情况下求解电路十分方便。图2.10例2.6图再用串、并联的方法求出等效电阻Rbd则电流I为（2）该电路既含有△形电路又含有Y形电路，因此等效变换方案有多种，现仅选一种，如图2.10(c)所示。根据式(2-18)、(2-19)和式(2-20)可得例2.7

求图2.11(a)所示电路中a、b两端的等效电阻。图2.11例2.7图

解将三个1Ω电阻组成的Y形连接等效变换成△形连接，如图(b)所示，故可得练习与思考2.2-1

求图2.12所示电路中的等效电阻Rab。图2.12题2.2-1图2.2-2

利用电路的对称性求图2.13所示电路中的等效电阻Rab。图2.13题2.2-2图

2.2-3

如果要将图2.14(a)所示电路，利用△—Y形等效变换成图2.14(b)所示电路，从何处着手比较方便?为什么?图2.14题2.2-3图2.3两种电源模型的等效变换第1章讲到，一个实际电源可用电压源与电阻串联和电流源与电阻并联两种模型来表征，实际上这就是两种电源模型的等效互换，当然这也是等效原则下的互换，这种互换在分析计算电路时经常用到，为明确其等效互换的条件，现将两种电源模型重画于图2.15。图2.15两种电源模型(a)电压源模型；(b)电流源模型对于图2.15(a)，根据KVL,有U=US－RＳＵI

(2-27)对于图2.15(b),根据KCL,有即U=RSIIS－RSII(2-28)比较式(2-27)和式(2-28)，若(2-29)则这两种电源模型的外部电压、电流关系完全相同，因此，对外电路而言,它们是等效的。式(2-29)也可以写成另一种形式，即(2-30)式(2-29)和式(2-30)为两种电源模型等效的条件。注意：

①两种电源模型进行等效变换时，其参考方向应满足图2.15的关系，即IS的箭头方向由US的“-”指向“+”。②两种电源模型相互等效是指其外部，其内部并不等效。如同在开路状态下，电压源既不产生功率，其内阻也不消耗功率；而电流源则产生功率，并且全部被内阻所消耗。理想电压源与理想电流源之间不能等效互换。因为理想电压源的伏安特性为平行于电流轴的直线，而理想电流源的伏安特性为平行于电压轴的直线，二者不可能有相同的伏安特性，即不满足等效变换的条件。说明：两种电源的等效互换方法可以推广运用，即一个电压源与电阻相串联的组合和一个电流源与电阻相并联的组合也可以等效互换，而这个电阻不一定是电源内阻。例2.8

将图2.16(a)所示电路简化成电压源和电阻的串联组合。

解利用电源串、并联和等效变换的方法，按图2.16(b)、(c)、(d)所示顺序逐步化简，可得到等效电压源和电阻的串联组合。图2.16例2.8图例2.9

如图2.17(a)所示电路，求电位φA。图2.17例2.9图

解两个接地点即为等位点，可将其用短路线连接。再应用电阻串、并联及电源等效变换将图2.17(a)依次等效为图2.17(b)、(c)，由(c)图可得故φA=4I=4×2.5=10V例2.10

试求图2.18(a)所示电路的电流I和I１。图2.18例2.10图

解依电源模型的等效变换将原图依次变换为图2.18(b)、(c)、(d)，由(d)图可得由图2.18(b)及分流关系得练习与思考

2.3-1两种电源模型等效互换的条件是什么?如何确定等效后的US和IS的参考方向?

2.3-2

将图2.19所示各电路化成单个电源的电路。图2.19题2.3-2图2.3-3

求图2.20所示电路中的电流I及图(b)中的Uab。图2.20题2.3-3图*2.4受控源及其等效变换第1章介绍的电压源和电流源,因其电压和电流均为定值或一定的时间函数，故称为独立源。除独立源外，实用中还有受控源。受控源的电压或电流受电路中某处电压或电流的控制,因此，受控源亦称非独立源。其符号用菱形代替圆形。受控源有输入和输出两对端钮。输出端电压或电流受输入端电压或电流的控制，按照控制量和被控制量的组合情况，理想受控源电路有四种形式，如图2.21所示。图2.21四种理想受控源(a)VCVS;(b)CCVS;(c)VCCS;(d)CCCS

图2.21(a)为压控电压源(VCVS)，电压u１为控制量，μu１为被控制量；图2.21(b)为流控电压源(CCVS)，i１为其控制量，γi１为被控制量；图2.21(c)为压控电流源(VCCS),电压u１为其控制量,gu１为被控制量；图2.21(d)为流控电流源(CCCS),βi１为被控制量。受控源符号用菱形表示，以与独立源的符号相区别。μ、γ、g和β为相关控制系数，其中μ=u2/u1称为电压放大系数，无量纲；γ=u2/i1

称为转移电阻，具有电阻量纲；g=i2/u1称为转移电导，具有电导量纲；β=i2/i1称为电流放大系数，无量纲。当这些控制系数为常数时，被控制量与控制量成正比，则称为线性受控源。例如图2.22(a)所示的晶体管共射组态电路，其微变等效电路用图2.22(b)所示的CCCS来表征，其输出特性反映了基极电流ib对集电极电流ic的控制作用，其数值关系为ic=βib，其中β为晶体管共射组态的电流放大系数。图中ri为晶体管的输入电阻。图2.22受控源举例应当指出，尽管受控源也称为电源，但与独立源相比，却有本质区别。独立源在电路中起“激励”作用，有了它电路中就产生电压和电流(称为“响应”)；而受控源不起激励作用，其电压（或电流）反受电路中其它电压或电流控制。控制量存在，受控源就存在，控制量为零，受控源也为零。它仅仅表示这种“控制”与“被控制”的关系，是一种电路现象而已。

例2.11

试求图2.23所示电路中的US。

解

0.2I电流源(CCCS)与4Ω电阻相串联，流经4Ω电阻的电流为此电流应与CCCS的电流相等，即0.2=0.2I

所以

根据KCL有所以根据KVL有所以图2.23例2.11图例2.12

化简图2.24所示的电路。图2.24例2.12图

解将0.4I与1kΩ并联的受控电流源等效变换成400I与1kΩ相串联的受控电压源，如图2.25(b)所示，其中U与I的关系为U=－400I+2000I+16=1600I+16令上式中的I=0，则U=16就是电压源的开路电压UOC，该电压源的内阻为据此关系式可得到等效电路如图2.24(c)所示。例2.13

求图2.25(a)所示电路的输入电阻Ri。图2.25例2.13图

解因含受控源，不能直接用电阻串、并联化简，此时可以设想在入口两端施加一电压源US，则会产生端钮电流IS，如图2.25(b)所示。故Ri可由下式计算：

对于图2.25(b)，有则Ri为负值，意味着Ri所消耗的功率为负，说明该电路是向外电路提供能量的。例2.14

求图2.26(a)所示电路中的电流I1及电压U。图2.26例2.14图

解将图2.26(a)电路等效成图2.26(b)所示电路，依图有解得I1=2A，所以U=3I1=6V。练习与思考2.4-1

求图2.27所示电路中的输入电阻Rab。2.4-2

求图2.28所示电路中的输入电阻Rab

。2.4-3

在图2.29所示电路中，能否将受控源3I1与10Ω电阻等效变换成一个受控电压源?如果可以，受控量I1应如何处理?图2.27题2.4-1图图2.28题2.4-2图图2.29题2.4-3图小结

本章内容始终贯穿着“等效”这条主线，这是电路理论中一个非常重要的概念。所谓两个结构和元件参数完全不同的电路“等效”，是指它们对外电路的作用效果完全相同，即它们对外端钮上的电压和电流的关系完全相同。因此将电路中的某一部分用另一种电路结构与元件参数代替后，不会影响原电路中留下来未作变换的任何一条支路中的电压和电流。据此便可推出各种电路的等效变换关系，从而极大地方便了电路分析和计算。1.电阻串联电路

(1)通过各电阻的电流相同。(2)等效电阻R等于各电阻之和，即

R=R1+R2+R3+…

(3)电路的总电压等于各电阻上电压之和，即

U=U1+U2+U3+…

(4)分压公式2.电阻并联电路(1)各电阻两端的电压相同。(2)等效电导等于各电导之和，即

G=G１+G２+G３+…

当只有两个电阻并联时，等效电阻为(3)电路中的总电流等于各电流之和，即Ｉ=Ｉ１+Ｉ２+Ｉ3+…

(4)分流公式两电阻并联的分流公式为3.△Y

在等效原则下得出的△形和Y形电路的等效互换公式，使无源三端式电路的化简变得容易，特别是当△形或Y形电路的电阻相等时，使用公式Ｒ△=3RY

或进行两种电路之间的相互变换尤显方便。

4.两种电源模型的等效变换

一个具有内阻的实际电源，可用电压源模型或电流源模型来表征，即两种电源模型对外电路可以等效互换。这样将使我们在求解电路时，思路更广阔、办法更多样。

5.受控源及其等效变换

受控源与独立源虽有本质的不同，既然也被称作电源，则它们之间的等效互换与独立源完全相同，只需做到在整个变换过程中，控制量所在的支路保持不动即可。习题2

2.1

电位计分压电路如图所示。已知，输入电压Ui=20Ｖ，R1=350Ω,Rp=200Ω，R2=450Ω，试求输出电压Uo的变化范围。题2.1图

2.2

有一磁电式微安表，内阻为1500Ω，量程为100μＡ，今欲将其改装成量程为30V、100V的电压表如题2.2图所示，试计算分压电阻R1和R2。题2.2图

2.3

两个电阻串联接到120V电源上，电流为3A；并联接到同样的电源上时，电流变为16A，试求这两个电阻的值。

2.4

磁电式微安表量程为200μA,内阻为1500Ω，若扩大其量程为I1=1mA和I2=5mA，如题2.4图所示，试计算分流电阻R1和R2的数值。题2.4图2.5

试通过计算证明图示两电路中的电流I相等。题2.5图2.6

求图示电路中电压表的读数(设电压表内阻为无穷大)。题2.6图2.7

计算图示各电路中的等效电阻Rab。题2.7图2.8

计算图示各电路的等效电阻。题2.8图2.9

电路如图所示，求电流I1和I2。题2.9图2.10

电路如图所示，设各电阻均为1Ω，试求各支路电流。题2.10图2.11

电