《信息论与编码基础》课件 29 循环码的基本概念

§9.1循环码的基本概念§9循环码基本原理§9.2循环码的编码§9.3循环码的一般译码方法§9.1循环码的基本概念§9循环码基本原理§9.2循环码的编码§9.3循环码的一般译码方法§9.1循环码的基本概念什么是循环码？如何用代数理论来描述循环码？如何构造循环码？待解决的问题：(7,4)线性分组码所有码字(0000000)(0001011)(0010110)(0100111)(1000101)(0011101)(0101100)(1001110)(0110001)(1010011)(1100010)(0111010)(1011000)(1110100)(1101001)(1111111)(0000000)(0001011)(0010110)(0100111)(1000101)(0011101)(0101100)(1001110)(0110001)(1010011)(1100010)(0111010)(1011000)(1110100)(1101001)(1111111)§9.1循环码的基本概念100010110001010001011001011001011001011000011000111000100100111100111000111010111010111010011010011010011010011111111110000000§9.1循环码的基本概念具有循环移位特性的线性分组码就是循环码。

定义在任一个GF(q)(q为素数或素数幂)上的n维线性空间Vn中，一个n重子空间Vn,k∈Vn，若对任何一个C=(cn-1,cn-2,…,c0)∈Vn,k，恒有C1=(cn-2,…,c0,cn-1)∈Vn,k，则称Vn,k是循环子空间或循环码。一、循环码的定义§9.1循环码的基本概念二、循环码的多项式描述C=(cn-1,cn-2,…,c1,c0)C(1)=(cn-2,cn-3,…,c0,cn-1)√√左循环移位后§9.1循环码的基本概念码多项式C(2)=(cn-3,…,c0,cn-1,cn-2)

定理若C(x)是n长循环码中的一个码多项式，则xiC(x)按模xn+1运算的余式必为循环码中另一码多项式。§9.1循环码的基本概念二、循环码的多项式描述三、生成多项式

定理一个二进制(n,k)循环码中有唯一的非零最低次多项式g(x)，且其常数项为1。+g0=0g0=10001011011000100101101100010010110010001011011000000000001110101010011001110111010011001110111010001001111111111

定义

如果一个码的所有码多项式都是多项式g(x)的倍式，则称g(x)为该码的生成多项式。§9.1循环码的基本概念(7,4)循环码

定理GF(2)上的(n,k)循环码中，存在有唯一的n-k次首1多项式g(x)，使得每一码多项式C(x)都是g(x)的倍式，且每一小于或等于n-1次的g(x)的倍式一定是码多项式。

定理设g(x)是(n,k)循环码[C(x)]中的一个次数最低的多项式（g(x)≠0），则该循环码由g(x)生成，并且g(x)|(xn+1)。例可以构建出几种循环码？§9.1循环码的基本概念三、生成多项式码多项式码字（0010111）（0101110）（1011100）（0111001）（1110010）（1100101）（1001011）（0000000）只要知道了xn+1的因式分解，用它的各个因式的乘积，便能得到很多个不同的循环码。（7，3）循环码§9.1循环码的基本概念§9.1循环码的基本概念什么是循环码？如何用代数理论来描述循环码？如何构造循环码？已解决的问题：§9.1循环码的基本概念生成多项式与生成矩阵的关系？如何设计循环码的编码器？遗留的问题：思考与练习§9.1循环码的