绝对收敛条件收敛测试卷

绝对收敛条件收敛测试卷考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高三/理科

绝对收敛条件收敛测试卷

一、选择题

1.设级数Σ(an)收敛，则下列级数中一定收敛的是

A.Σ|an|

B.Σ(an^2)

C.Σ(an^n)

D.Σ(1/an)

2.若级数Σ(an)绝对收敛，则下列结论正确的是

A.Σ(an^2)条件收敛

B.Σ(an^3)绝对收敛

C.Σ(1/an^2)发散

D.Σ((-1)^nan)条件收敛

3.级数Σ((-1)^n(n+1)/(n+2))的敛散性是

A.绝对收敛

B.条件收敛

C.发散

D.无法判断

4.级数Σ(1/(nlnn))的敛散性是

A.绝对收敛

B.条件收敛

C.发散

D.无法判断

5.若级数Σ(an)绝对收敛，且Σ(bn)条件收敛，则下列级数中一定发散的是

A.Σ(an+bn)

B.Σ(an-bn)

C.Σ(an*bn)

D.Σ(an/bn)

6.级数Σ((-1)^nn/(n+1))的敛散性是

A.绝对收敛

B.条件收敛

C.发散

D.无法判断

7.若级数Σ(an)绝对收敛，则下列结论正确的是

A.Σ(an^2)绝对收敛

B.Σ(an^2)条件收敛

C.Σ(an^2)发散

D.无法判断

8.级数Σ(1/(n^2+1))的敛散性是

A.绝对收敛

B.条件收敛

C.发散

D.无法判断

9.若级数Σ(an)条件收敛，且an>0，则下列结论正确的是

A.Σ(an^2)绝对收敛

B.Σ(an^2)条件收敛

C.Σ(an^2)发散

D.无法判断

10.级数Σ((-1)^n(1/n))的敛散性是

A.绝对收敛

B.条件收敛

C.发散

D.无法判断

二、填空题

1.级数Σ(1/n^p)当p>1时收敛，当p≤1时发散。

2.级数Σ((-1)^nan)收敛的必要条件是lim(n→∞)an=0。

3.若级数Σ(an)绝对收敛，则Σ(an^2)绝对收敛。

4.级数Σ(1/(n^p))当p>1时绝对收敛，当0<p≤1时条件收敛。

5.若级数Σ(an)绝对收敛，则Σ(an*(-1)^n)绝对收敛。

6.级数Σ((-1)^n(1/n))条件收敛。

7.若级数Σ(an)条件收敛，且an>0，则Σ(an^2)发散。

8.级数Σ(1/(nlnn))发散。

9.若级数Σ(an)绝对收敛，则Σ(an^2)绝对收敛。

10.级数Σ((-1)^n(1/(n^2)))绝对收敛。

三、多选题

1.下列级数中绝对收敛的是

A.Σ((-1)^n(1/n))

B.Σ(1/(n^2))

C.Σ((-1)^n(1/n^2))

D.Σ(1/(nlnn))

2.下列级数中条件收敛的是

A.Σ((-1)^n(1/n))

B.Σ(1/(n^2))

C.Σ((-1)^n(1/n^2))

D.Σ(1/(nlnn))

3.若级数Σ(an)绝对收敛，则下列级数中绝对收敛的是

A.Σ(an^2)

B.Σ(an^3)

C.Σ(1/an)

D.Σ(an*(-1)^n)

4.下列级数中发散的是

A.Σ(1/(n^2))

B.Σ(1/(nlnn))

C.Σ((-1)^n(1/n))

D.Σ(1/(n^p))(p≤1)

5.若级数Σ(an)条件收敛，且an>0，则下列级数中发散的是

A.Σ(an^2)

B.Σ(an^3)

C.Σ(1/an)

D.Σ(an*(-1)^n)

四、判断题

1.若级数Σ(an)绝对收敛，则Σ(an^2)也绝对收敛。

2.级数Σ((-1)^n(1/n^2))绝对收敛。

3.若级数Σ(an)条件收敛，则Σ(an^2)条件收敛。

4.级数Σ(1/(n^p))当p≤1时发散。

5.若级数Σ(an)绝对收敛，则Σ((-1)^nan)绝对收敛。

6.级数Σ((-1)^n(1/n))条件收敛。

7.若级数Σ(an)绝对收敛，则Σ(an^2)绝对收敛。

8.级数Σ(1/(nlnn))发散。

9.若级数Σ(an)条件收敛，且an>0，则Σ(an^2)发散。

10.级数Σ((-1)^n(1/(n^2)))绝对收敛。

五、问答题

1.简述绝对收敛和条件收敛的区别。

2.如何判断一个级数是绝对收敛、条件收敛还是发散？

3.举例说明一个绝对收敛的级数和一个条件收敛的级数。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.D.Σ(1/an)解析：由于Σ(an)收敛，根据必要条件lim(n→∞)an=0，若Σ(1/an)收敛，则an趋于无穷大，与lim(n→∞)an=0矛盾，因此Σ(1/an)发散。其他选项不一定收敛。

2.B.Σ(an^3)绝对收敛解析：若Σ(an)绝对收敛，即Σ(|an|)收敛，则对于任意正整数k，Σ(|an|^k)也收敛，特别地Σ(|an|^3)收敛，即Σ(an^3)绝对收敛。

3.B.条件收敛解析：由于an=(n+1)/(n+2)→1/2≠0，级数Σ(an)发散，而Σ((-1)^nan)是交错级数，需要进一步判断。由于an不趋于0，因此级数发散。

4.C.发散解析：使用比较判别法，1/(nlnn)>1/(n^2)对于n≥2成立，而Σ(1/(n^2))收敛，因此Σ(1/(nlnn))发散。

5.A.Σ(an+bn)解析：由于Σ(an)绝对收敛，Σ(bn)条件收敛，则an,bn均趋于0。但Σ(an+bn)可能发散，例如an=(-1)^n/n,bn=(-1)^n/(nlnn)，则an+bn=(-1)^n(1/n+1/(nlnn))，虽然Σ(an)和Σ(bn)收敛，但Σ(an+bn)发散。

6.B.条件收敛解析：由于an=n/(n+1)→1≠0，级数Σ(an)发散，而Σ((-1)^nn/(n+1))是交错级数，需要进一步判断。由于an不趋于0，因此级数发散。

7.A.Σ(an^2)绝对收敛解析：若Σ(an)绝对收敛，即Σ(|an|)收敛，则对于任意正整数k，Σ(|an|^k)也收敛，特别地Σ(an^2)绝对收敛。

8.A.绝对收敛解析：使用比较判别法，1/(n^2+1)<1/n^2对于n≥1成立，而Σ(1/n^2)收敛，因此Σ(1/(n^2+1))绝对收敛。

9.C.Σ(an^2)发散解析：由于Σ(an)条件收敛，an>0，则an不趋于0，因此Σ(an^2)发散。

10.B.条件收敛解析：Σ((-1)^n(1/n))是交错级数，满足交错级数判别法，因此条件收敛，但不绝对收敛。

二、填空题答案及解析

1.解析：这是p-级数判别法的基本结论。

2.解析：这是交错级数判别法的必要条件。

3.解析：若Σ(an)绝对收敛，即Σ(|an|)收敛，则对于任意正整数k，Σ(|an|^k)也收敛，特别地Σ(an^2)绝对收敛。

4.解析：这是p-级数判别法的推广，对于一般级数，当p>1时绝对收敛，当0<p≤1时条件收敛。

5.解析：由于Σ(an)绝对收敛，即Σ(|an|)收敛，则Σ(an*(-1)^n)绝对收敛。

6.解析：同第10题解析。

7.解析：同第9题解析。

8.解析：同第4题解析。

9.解析：同第7题解析。

10.解析：由于Σ((-1)^n(1/(n^2)))是交错级数，且1/(n^2)单调递减趋于0，满足交错级数判别法，因此条件收敛，但不绝对收敛。

三、多选题答案及解析

1.B.Σ(1/(n^2)),C.Σ((-1)^n(1/n^2))解析：Σ(1/(n^2))是p-级数，p=2>1，绝对收敛；Σ((-1)^n(1/n^2))是交错级数，且1/n^2单调递减趋于0，条件收敛。

2.A.Σ((-1)^n(1/n)),C.Σ((-1)^n(1/n^2))解析：同第10题和第10题解析。

3.A.Σ(an^2),B.Σ(an^3)解析：同第7题和第2题解析。

4.B.Σ(1/(nlnn)),D.Σ(1/(n^p))(p≤1)解析：Σ(1/(nlnn))发散，Σ(1/(n^p))(p≤1)发散。

5.A.Σ(an^2),B.Σ(an^3)解析：同第9题解析。

四、判断题答案及解析

1.正确解析：同第7题解析。

2.正确解析：同第10题解析。

3.错误解析：例如an=(-1)^n/(nlnn)，Σ(an)条件收敛，但Σ(an^2)=Σ(1/(n^2lnn))发散。

4.错误解析：当p=1时，Σ(1/(n^p))=Σ(1/n)发散。

5.正确解析：同第5题解析。

6.正确解析：同第10题解析。

7.正确解析：同第7题解析。

8.正确解析：同第4题解析。

9.正确解析：同第9题解析。

10.正确解析：同第10题解析。

五、问答题答案及解析

1.解析：绝对收敛是指Σ(|a