函数连续性基础专项测评试卷

函数连续性基础专项测评试卷考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高中一年级

试标题:函数连续性基础专项测评试卷

一、选择题

1.下列函数中，在x=0处连续的是

A.f(x)={x^2,x>=0;-x^2,x<0}

B.f(x)={x,xrational;-x,xirrational}

C.f(x)={1,x=0;0,x!=0}

D.f(x)={1/x,x!=0;0,x=0}

2.函数f(x)=|x|在x=0处的左极限和右极限分别是

A.1,-1

B.-1,1

C.0,0

D.1,1

3.若函数f(x)在x=a处连续，则下列说法正确的是

A.f(a)必须存在

B.lim(x->a)f(x)必须存在

C.f(x)在x=a附近必须单调

D.A和B都正确

4.函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1处

A.连续

B.有可去间断点

C.有跳跃间断点

D.有无穷间断点

5.若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则下列结论不一定成立的是

A.f(x)在[a,b]上有界

B.f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值

C.f(x)在(a,b)内必存在零点

D.f(x)在[a,b]上黎曼可积

6.函数f(x)=tan(x)在x=π/2处

A.连续

B.有可去间断点

C.有跳跃间断点

D.有无穷间断点

7.函数f(x)=|x-1|在x=1处的导数是

A.1

B.-1

C.0

D.不存在

8.若函数f(x)在x=a处连续但不可导，则下列说法正确的是

A.f(x)在x=a处必有拐点

B.f(x)在x=a附近必存在水平切线

C.f(x)在x=a处图像必有垂直切线

D.f(x)在x=a附近必存在斜渐近线

9.函数f(x)=sqrt(x)在x=0处

A.连续

B.可导

C.左连续但右不连续

D.右连续但左不连续

10.下列函数中，在x=0处间断的是

A.f(x)=sin(1/x)

B.f(x)=e^x

C.f(x)=log(x+1)

D.f(x)=arcsin(x)

二、填空题

1.函数f(x)={x^2,x<=1;2-x,x>1}在x=1处的左极限是______

2.若函数f(x)在x=a处连续，且f(a)=-3，则lim(x->a)f(x)=______

3.函数f(x)=1/(x-2)在x=2处是______间断点

4.若函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，且f(0)=1，f(1)=-1，则存在c∈(0,1)，使得f(c)=______

5.函数f(x)=|x|在x=0处的导数是______

6.若函数f(x)在x=a处连续但不可导，且f(a)=5，则lim(x->a)[f(x)-f(a)]/(x-a)=______

7.函数f(x)=sin(x)+cos(x)在x=π/4处的值是______

8.函数f(x)=e^x在x=0处的泰勒展开式的前三项是______

9.若函数f(x)在x=0处连续，且lim(x->0)xf(x)=2，则f(0)=______

10.函数f(x)=arctan(x)在x=0处的导数是______

三、多选题

1.下列函数中，在x=0处连续的有

A.f(x)={x,xrational;-x,xirrational}

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=|x|

D.f(x)=1/x

2.函数f(x)=|x|在x=0处

A.连续

B.可导

C.左连续但右不连续

D.右连续但左不连续

3.若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则下列结论正确的有

A.f(x)在[a,b]上有界

B.f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值

C.f(x)在(a,b)内必存在零点

D.f(x)在[a,b]上黎曼可积

4.函数f(x)=tan(x)在x=π/2处

A.左极限存在

B.右极限存在

C.极限存在

D.不连续

5.函数f(x)=sqrt(x)在x=0处

A.左连续

B.右连续

C.连续

D.可导

6.下列函数中，在x=0处间断的有

A.f(x)=sin(1/x)

B.f(x)=e^x

C.f(x)=log(x+1)

D.f(x)=1/x

7.函数f(x)={x^2,x<=1;2-x,x>1}在x=1处

A.左连续

B.右连续

C.连续

D.可导

8.若函数f(x)在x=a处连续，且f(a)=0，则下列说法正确的有

A.lim(x->a)f(x)=0

B.存在δ>0，使得f(x)在(a-δ,a+δ)内全为0

C.f(x)在x=a附近必存在水平切线

D.f(x)在x=a处图像必有垂直切线

9.函数f(x)=e^x在x=0处

A.连续

B.可导

C.左连续

D.右连续

10.函数f(x)=arctan(x)在x=0处

A.连续

B.可导

C.左连续

D.右连续

四、判断题

1.若函数f(x)在x=a处有定义且极限存在，则f(x)在x=a处连续

2.函数f(x)=1/x在x=0处是无穷间断点

3.任何连续函数都有界

4.若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在(a,b)内必存在极值点

5.函数f(x)=|x|在x=0处可导

6.若函数f(x)在x=a处连续且可导，则lim(x->a)[f(x)-f(a)]/(x-a)=f'(a)

7.函数f(x)=sin(x)在所有x处都连续

8.函数f(x)=x^2在x=0处右连续但左不连续

9.若函数f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a附近必存在水平渐近线

10.函数f(x)=e^x在所有x处都可导

五、问答题

1.证明函数f(x)=x^2在x=1处连续

2.讨论函数f(x)={x,xrational;0,xirrational}在x=0处的连续性

3.举例说明一个在闭区间[a,b]上连续但在(a,b)内没有零点的函数

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：函数f(x)={1,x=0;0,x!=0}在x=0处有定义f(0)=1，且lim(x->0)f(x)=0≠f(0)，故不连续；A选项在x=0处极限存在但不等于函数值；B选项在x=0处极限不存在；D选项在x=0处极限不存在。

2.C

解析：f(0-0)=lim(x->0-)|x|=0，f(0+0)=lim(x->0+)|x|=0，故左极限和右极限都为0。

3.D

解析：根据连续性定义，f(a)必须存在且lim(x->a)f(x)=f(a)，故A和B都正确。

4.B

解析：f(x)=(x^2-1)/(x-1)=x+1(x!=1)，在x=1处极限存在且等于2，但f(1)无定义，故有可去间断点。

5.C

解析：根据介值定理，f(x)在[a,b]上必取到介于f(a)和f(b)之间的值，若f(a)和f(b)异号，则必存在零点；例如f(x)=x在[0,1]上连续有零点，但在(-1,1)上不连续。

6.D

解析：lim(x->π/2-)tan(x)=+∞，lim(x->π/2+)tan(x)=-∞，故极限不存在，有无穷间断点。

7.C

解析：f'(1+)=lim(x->1+)(x-1)/x-1=1，f'(1-)=lim(x->1-)(x-1)/x-1=-1，故导数不存在。

8.A

解析：例如f(x)=|x|在x=0处连续但不可导，且在x=0处有拐点。

9.A

解析：f(0)=sqrt(0)=0，且lim(x->0+)sqrt(x)=0=lim(x->0-)sqrt(x)=0=f(0)，故连续。

10.A

解析：lim(x->0)sin(1/x)不存在，故间断。

二、填空题答案及解析

1.1

解析：lim(x->1-)f(x)=lim(x->1-)x^2=1。

2.-3

解析：根据连续性，lim(x->a)f(x)=f(a)=-3。

3.无穷

解析：lim(x->2-)1/(x-2)=-∞，lim(x->2+)1/(x-2)=+∞，故为无穷间断点。

4.0

解析：根据介值定理，存在c∈(0,1)，使得f(c)=(f(0)+f(1))/2=(1-1)/2=0。

5.0

解析：f'(0)=lim(x->0)(|x|-0)/x=lim(x->0)sign(x)=0。

6.0

解析：根据导数定义，lim(x->a)[f(x)-f(a)]/(x-a)=f'(a)，由不可导知此极限为0。

7.√2/2

解析：f(π/4)=sin(π/4)+cos(π/4)=√2/2+√2/2=√2。

8.1+x+x^2/2

解析：e^x的泰勒展开式为1+x+x^2/2!+x^3/3!+...，前三项为1+x+x^2/2。

9.2

解析：lim(x->0)xf(x)=lim(x->0)f(x)/1/x=lim(x->0)f(x)=2=f(0)。

10.1

解析：arctan(x)的导数为1/(1+x^2)，在x=0处为1。

三、多选题答案及解析

1.B,C

解析：B选项sin(x)在所有x处连续；C选项|x|在所有x处连续。A选项在x=0处极限不存在；D选项在x=0处极限不存在。

2.A,D

解析：|x|在x=0处连续；|x|在x=0处右连续且左连续，故整体连续。|x|在x=0处导数不存在，故不是B；左右极限相等且等于函数值，故不是C。

3.A,B,D

解析：根据连续函数性质，A、B、D均正确；C不一定，例如f(x)=x在(0,1)上连续但无零点。

4.A,B,D

解析：tan(x)在x=π/2处左极限为-∞，右极限为+∞，故A、B正确，极限不存在，故C错误，不连续，故D正确。

5.A,B,C

解析：sqrt(x)在x=0处左极限为0，右极限为0，等于f(0)=0，故左连续、右连续、连续。不可导，故不是D。

6.A,D

解析：sin(1/x)在x=0处极限不存在，故间断；1/x在x=0处极限不存在，故间断。e^x和log(x+1)在x=0处连续。

7.A,B,C

解析：lim(x->1-)f(x)=1^2=1，lim(x->1+)f(x)=2-1=1，f(1)=1，故左连续、右连续、连续。不可导，故不是D。

8.A

解析：根据连续性，lim(x->a)f(x)=f(a)=0。B不一定，例如f(x)=x^2在x=0处连续但附近不为0。C不一定，例如f(x)=|x|在x=0处连续但无水平切线。D不一定，例如f(x)=|x|在x=0处连续但无垂直切线。

9.A,B,C,D

解析：e^x在所有x处连续、可导、左连续、右连续。

10.A,B,C,D

解析：arctan(x)在所有x处连续、可导、左连续、右连续。

四、判断题答案及解析

1.错误

解析：连续性要求函数在该点有定义、极限存在且极限等于函数值，仅满足前两个条件不一定连续。

2.正确

解析：lim(x->0)1/x=∞，故为无穷间断点。

3.错误

解析：例如f(x)=x在(-∞,∞)上连续但无界。

4.正确

解析：根据极值定理，闭区间上连续函数必在内部取到最值，最值点必为极值点。

5.错误

解析：f'(0+)=1，f'(0-)=-1，故导数不存在。

6.正确

解析：这是导数定义的直接推论。

7.正确

解析：sin(x)是基本初等函数，在所有x处连续。

8.错误

解析：f(0)=0，lim(x->0)x^2=0=f(0)，故连续。

9.错误

解析：例如f(x)=x在(-1,1)上连续但无水平渐近线。

10.正确

解析：e^x的导数为e^x，在所有x处可导。

五、问答题答案及解析

1.证明：证明f(x)=x^2在x=1处连续。

证明：首先f(1)=1^2=1。其次，lim(x->1)f(x)=lim(x->1)x^2=1^2=1。最后，lim(x->1)f(x)=1=f(1)。根据连续性定义，f(x)在x=1处连续。

2.讨论：讨论函数f(x)={x,xrational;0,xirrational}在x=0