复合函数求导综合专项试卷

复合函数求导综合专项试卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三/理科班

试标题:复合函数求导综合专项试卷

一、选择题

1.函数f(x)=sin(x^2)+cos(2x)的导数f'(x)等于

A.2xcos(x^2)-2sin(2x)

B.2xcos(x^2)+2sin(2x)

C.2xcos(x^2)-sin(2x)

D.2xcos(x^2)+sin(2x)

2.若函数g(x)=sqrt(x^2+1)在x=1处的切线斜率为k，则k的值为

A.1

B.2

C.1/2

D.sqrt(2)

3.函数h(x)=e^(ax)ln(x)的导数h'(x)中，x>0，则下列选项正确的是

A.ae^(ax)ln(x)+e^(ax)/x

B.ae^(ax)ln(x)-e^(ax)/x

C.e^(ax)ln(x)+ae^(ax)/x

D.e^(ax)ln(x)-ae^(ax)/x

4.函数F(x)=(x^3-1)/(x^2+1)在x=0处的导数值F'(0)等于

A.-1

B.1

C.0

D.2

5.函数f(x)=arctan(x^2)的导数f'(x)等于

A.2x/(1+x^4)

B.x/(1+x^4)

C.2x/(1+x^2)

D.x/(1+x^2)

6.函数g(x)=log_a(x^2+x)的导数g'(x)等于

A.2x/(x^2+x)ln(a)

B.2xln(a)/(x^2+x)

C.x/(x^2+x)ln(a)

D.xln(a)/(x^2+x)

7.函数h(x)=tan(sqrt(x))的导数h'(x)等于

A.sec^2(sqrt(x))/2sqrt(x)

B.sqrt(x)sec^2(sqrt(x))

C.1/(2sqrt(x))sec^2(sqrt(x))

D.2sqrt(x)sec^2(sqrt(x))

8.函数f(x)=sin(x)cos(x)的导数f'(x)等于

A.sin(x)-cos(x)

B.cos(x)-sin(x)

C.sin^2(x)-cos^2(x)

D.cos^2(x)-sin^2(x)

9.函数g(x)=(e^x+e^-x)/2的导数g'(x)等于

A.(e^x-e^-x)/2

B.(e^x+e^-x)/2

C.e^x+e^-x

D.e^x-e^-x

10.函数h(x)=x^(1/2)-x^(-1/2)的导数h'(x)等于

A.(1/2)x^(-1/2)+(1/2)x^(-3/2)

B.(1/2)x^(-1/2)-(1/2)x^(-3/2)

C.(1/2)x^(1/2)-(1/2)x^(-3/2)

D.(1/2)x^(1/2)+(1/2)x^(-3/2)

二、填空题

1.函数f(x)=(x^2+1)^3的导数f'(x)=________

2.函数g(x)=arccos(3x)的导数g'(x)=________

3.函数h(x)=x^2ln(x)的导数h'(x)=________

4.函数F(x)=sqrt(1+x^2)的导数F'(x)=________

5.函数f(x)=e^(sin(x))的导数f'(x)=________

6.函数g(x)=log_2(x^3-2x)的导数g'(x)=________

7.函数h(x)=sin^2(x)cos^2(x)的导数h'(x)=________

8.函数F(x)=(x-1)/(x+1)的导数F'(x)=________

9.函数f(x)=arctan(2x)的导数f'(x)=________

10.函数g(x)=x^3-3x^2+2x的导数g'(x)=________

三、多选题

1.下列函数中，导数等于x的函数有

A.f(x)=x^2/2

B.g(x)=x^3/3

C.h(x)=ex

D.F(x)=ln|x|

2.函数f(x)=cos(x)+sin(x)在x=π/4处的导数值f'(π/4)可能为

A.0

B.1

C.-1

D.sqrt(2)

3.函数g(x)=e^(ax)ln(bx)的导数g'(x)中，下列哪些项正确

A.ae^(ax)ln(bx)+e^(ax)/x

B.ae^(ax)ln(bx)-e^(ax)/x

C.e^(ax)ln(bx)+ae^(ax)b/x

D.e^(ax)ln(bx)-ae^(ax)b/x

4.函数h(x)=sqrt(x^2+1)的导数h'(x)在x=0处的值为

A.0

B.1

C.-1

D.sqrt(2)

5.函数F(x)=arctan(x^2)+arccot(x^2)的导数F'(x)等于

A.2x/(1+x^4)

B.-2x/(1+x^4)

C.0

D.2x/(1+x^2)

四、判断题

1.函数f(x)=(x^3+1)^2的导数f'(x)等于6x^2(x^3+1)。

2.若函数g(x)=sin(x)cos(x)，则g'(x)=cos^2(x)-sin^2(x)。

3.函数h(x)=e^(x^2)的导数h'(x)等于2xe^(x^2)。

4.函数F(x)=ln(x^2)的导数F'(x)等于2/x。

5.函数f(x)=arctan(x)+arccot(x)的导数f'(x)等于0。

6.函数g(x)=sqrt(1+x)的导数g'(x)等于1/(2sqrt(1+x))。

7.函数h(x)=x^(1/3)的导数h'(x)等于(1/3)x^(-2/3)。

8.函数F(x)=cos(x)的导数F'(x)等于sin(x)。

9.函数f(x)=log_3(x)的导数f'(x)等于1/(xln(3))。

10.函数g(x)=tan(x)的导数g'(x)等于sec^2(x)。

五、问答题

1.求函数f(x)=x^2ln(x)在x=1处的导数值。

2.求函数g(x)=arccos(x/2)的导数g'(x)。

3.求函数h(x)=e^(ax)sin(bx)的导数h'(x)。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：利用链式法则，sin(x^2)的导数是2xcos(x^2)，cos(2x)的导数是-2sin(2x)，相加得2xcos(x^2)-2sin(2x)。

2.A

解析：sqrt(x^2+1)的导数是(x^2+1)^(-1/2)*2x，在x=1处，斜率为2*1*(1^2+1)^(-1/2)=1。

3.A

解析：利用乘积法则和链式法则，e^(ax)ln(x)的导数是ae^(ax)ln(x)+e^(ax)/x。

4.B

解析：利用商法则，(x^3-1)/(x^2+1)的导数是[(3x^2)(x^2+1)-(x^3-1)(2x)]/(x^2+1)^2，在x=0处，分子为-1，分母为1，得1。

5.A

解析：arctan(x^2)的导数是1/(1+(x^2)^2)*2x=2x/(1+x^4)。

6.A

解析：log_a(x^2+x)的导数是1/(x^2+x)ln(a)*(2x+1)=2x/(x^2+x)ln(a)。

7.A

解析：tan(sqrt(x))的导数是sec^2(sqrt(x))*(1/(2sqrt(x)))。

8.A

解析：sin(x)cos(x)的导数是cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)=cos^2(x)-sin^2(x)。

9.A

解析：((e^x+e^-x)/2)的导数是(e^x-e^-x)/2。

10.B

解析：x^(1/2)-x^(-1/2)的导数是(1/2)x^(-1/2)-(1/2)x^(-3/2)。

二、填空题答案及解析

1.6x(x^2+1)^2

解析：利用链式法则，(x^2+1)^3的导数是3(x^2+1)^2*2x=6x(x^2+1)^2。

2.-3/(sqrt(1-9x^2))

解析：arccos(3x)的导数是-1/(sqrt(1-(3x)^2))*3=-3/(sqrt(1-9x^2))。

3.2xln(x)+x

解析：利用乘积法则，x^2ln(x)的导数是2xln(x)+x^2*(1/x)=2xln(x)+x。

4.x/(sqrt(1+x^2))

解析：sqrt(1+x^2)的导数是1/(2sqrt(1+x^2))*2x=x/(sqrt(1+x^2))。

5.e^(sin(x))cos(x)

解析：e^(sin(x))的导数是e^(sin(x))*cos(x)。

6.3x^2-2/(x^3-2x)ln(2)

解析：log_2(x^3-2x)的导数是1/(x^3-2x)ln(2)*(3x^2-2)=(3x^2-2)/(x^3-2x)ln(2)。

7.2sin(x)cos(x)(cos^2(x)-sin^2(x))

解析：sin^2(x)cos^2(x)的导数是2sin(x)cos(x)*cos^2(x)+sin^2(x)*2cos(x)(-sin(x))=2sin(x)cos(x)(cos^2(x)-sin^2(x))。

8.(2x+2)/(x^2+1)^2

解析：((x-1)/(x+1))的导数是[(1)(x+1)-(x-1)(1)]/(x+1)^2=(2)/(x+1)^2。

9.2/(1+4x^2)

解析：arctan(2x)的导数是1/(1+(2x)^2)*2=2/(1+4x^2)。

10.3x^2-6x+2

解析：x^3-3x^2+2x的导数是3x^2-6x+2。

三、多选题答案及解析

1.AB

解析：x^2/2的导数是x，x^3/3的导数是x^2，均等于x；ex的导数是ex，不等于x；ln|x|的导数是1/x，不等于x。

2.AD

解析：cos(π/4)+sin(π/4)=sqrt(2)/2+sqrt(2)/2=sqrt(2)，其导数为-sin(π/4)+cos(π/4)=sqrt(2)/2-sqrt(2)/2=0；sqrt(2)是可能的导数值。

3.AC

解析：e^(ax)ln(bx)的导数是ae^(ax)ln(bx)+e^(ax)/x*b=ae^(ax)ln(bx)+be^(ax)/x；另外项中系数和符号错误。

4.BD

解析：sqrt(x^2+1)的导数是x/(sqrt(x^2+1))，在x=0处，导数为0/sqrt(1)=0；在x=1处，导数为1/sqrt(2)=sqrt(2)/2，不是sqrt(2)。

5.AC

解析：arctan(x^2)的导数是2x/(1+x^4)，arccot(x^2)的导数是-2x/(1+x^4)，相加得0；arctan(x^2)+arccot(x^2)=π/2，导数为0。

四、判断题答案及解析

1.错

解析：正确导数应为2(x^3+1)*3x^2=6x^2(x^3+1)。

2.错

解析：正确导数应为cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)=cos^2(x)-sin^2(x)。

3.对

解析：正确导数应为2xe^(x^2)。

4.错

解析：正确导数应为2/x。

5.对

解析：正确导数应为1/(1+x^2)-1/(1+x^2)=0。

6.对

解析：正确导数应为1/(2sqrt(1+x))。

7.对

解析：正确导数应为(1/3)x^(-2/3)。

8.对

解析：正确导数应为-sin(x)。

9.对

解析：正确导数应为1/(xln(3))。

10.对

解析：正确导数应为sec^2(x)。

五、问答题答案及解析

1.1

解析：f(x)=x^2ln(x)的导数是2xln(x)+x^2/x=2xln(