等价无穷小替换专项考核卷

等价无穷小替换专项考核卷考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高三/理科班

试标题:等价无穷小替换专项考核卷

一、选择题

1.当x趋于0时，下列函数中与x^3等价的无穷小是

A.x^2

B.x^2+x^3

C.x^3-x^4

D.x^4

2.下列极限计算中，不能使用等价无穷小替换的是

A.lim(x→0)(sinx-x)

B.lim(x→0)(1-cosx)/x^2

C.lim(x→0)(e^x-1)/x

D.lim(x→0)(ln(1+x)-x)

3.当x趋于0时，下列说法正确的是

A.sinx~x+x^3

B.(1-cosx)/x~x/2

C.(e^x-1)/x~1+x/2

D.tanx~x-x^3

4.函数f(x)=xsin(x^2)+cos(x^2)-1，当x趋于0时，f(x)等价于

A.x^3

B.x^2

C.x

D.0

5.极限lim(x→0)(x-sinx)/x^3的值为

A.1/6

B.0

C.-1/6

D.1/3

6.当x趋于0时，下列等价无穷小关系正确的是

A.sqrt(1+x)-1~x/2

B.(1-x)/(e^x-1)~-1

C.arctanx~x^2

D.1-cos(x^2)~x^4

7.函数f(x)=(x^2+1)^3-1，当x趋于0时，f(x)等价于

A.x^6

B.3x^2

C.x^2

D.6x

8.极限lim(x→0)(e^xsinx-xcosx)/x^3的值为

A.1/3

B.0

C.1/2

D.1

9.当x趋于0时，下列说法错误的是

A.(1-cosx)/x^2~1/2

B.(e^x-1-x)/x^2~1/2

C.(sqrt(1+x)-1)/x~1/2

D.(tanx-x)/x^3~1/3

10.函数f(x)=sinx-x+x^3/6，当x趋于0时，f(x)等价于

A.x^3

B.x^2

C.x

D.0

二、填空题

1.当x趋于0时，(1-cosx)/x^2等价于______

2.当x趋于0时，(e^x-1)/x^2等价于______

3.当x趋于0时，sqrt(1+x)-1等价于______

4.极限lim(x→0)(sinx-xcosx)/x^3的值为______

5.当x趋于0时，(arctanx-x)/x^3等价于______

6.函数f(x)=(1+x)^10-1，当x趋于0时，f(x)等价于______

7.极限lim(x→0)(1-cosx)/(xtanx)的值为______

8.当x趋于0时，(ln(1+x^2)-x^2)/x^4等价于______

9.函数f(x)=sin^2x/x^2，当x趋于0时，f(x)等价于______

10.极限lim(x→0)(e^x-cosx)/x^2的值为______

三、多选题

1.下列函数中当x趋于0时与x等价的有

A.sin(2x)

B.tan(3x)

C.sqrt(1+x)-1

D.(e^x-1)/x

2.下列极限计算中可以使用等价无穷小替换的有

A.lim(x→0)(sinx-x^3)/x^5

B.lim(x→0)(1-cosx)/x^2

C.lim(x→0)(e^x-1)/sinx

D.lim(x→0)(ln(1+x)-x^2)/x^3

3.当x趋于0时，下列等价无穷小关系正确的是

A.(1-x^2)/(e^x-1)~1

B.arctanx~x

C.1-cosx~x^2/2

D.sqrt(1+x)-1~x/2

4.函数f(x)=x-sinx+x^3/6，当x趋于0时，下列说法正确的是

A.f(x)~x

B.f(x)~x^3/6

C.f(x)~x-x^3/6

D.f(x)~0

5.下列极限计算中正确的有

A.lim(x→0)(sinx-x)/x^3=-1/6

B.lim(x→0)(1-cosx)/x=0

C.lim(x→0)(e^x-1)/x=1

D.lim(x→0)(ln(1+x)-x)/x^2=-1/2

四、判断题

1.当x趋于0时，(1-cosx)/x^2与1/2等价是正确的

2.当x趋于0时，tanx与x+x^3/3等价是错误的

3.当x趋于0时，sqrt(1+x)-1与x/2等价是正确的

4.极限lim(x→0)(x-sinx)/x^3的值为0是错误的

5.当x趋于0时，(e^x-1)/x与1-x/2等价是错误的

6.函数f(x)=sinx-x+x^3/6，当x趋于0时，f(x)等价于x^3/6是错误的

7.当x趋于0时，(1-cosx)/x^2等价于x^2/2是错误的

8.极限lim(x→0)(sinx-xcosx)/x^3的值为1/3是错误的

9.当x趋于0时，(arctanx-x)/x^3等价于-1/3是正确的

10.函数f(x)=(1+x)^10-1，当x趋于0时，f(x)等价于10x是错误的

五、问答题

1.当x趋于0时，如何判断两个函数是否为等价无穷小？

2.请列举5个常用的等价无穷小公式，并说明它们在极限计算中的应用。

3.在使用等价无穷小替换求极限时，需要注意哪些问题？请结合实例说明。

试卷答案

一、选择题

1.C

解析：当x趋于0时，x^3-x^4=x^3(1-x)，由于x^3趋于0的速度比x^4快，所以x^3-x^4与x^3等价。

2.A

解析：lim(x→0)(sinx-x)=0，但sinx-x与x不是等价无穷小，因为它们的极限不为0。

3.B

解析：lim(x→0)(1-cosx)/x=lim(x→0)(2sin^2(x/2))/x=lim(x→0)sin(x/2)*sin(x/2)/(x/2)=0，所以(1-cosx)/x与x/2等价。

4.A

解析：f(x)=xsin(x^2)+cos(x^2)-1，当x趋于0时，cos(x^2)趋于1，所以f(x)约等于xsin(x^2)，而sin(x^2)约等于x^2，因此f(x)约等于x^3。

5.C

解析：lim(x→0)(x-sinx)/x^3=lim(x→0)(x-(x-x^3/6+o(x^3)))/x^3=lim(x→0)(x^3/6)/x^3=1/6。

6.A

解析：sqrt(1+x)-1=(1+x)^(1/2)-1，当x趋于0时，利用二项式展开可得(1+x)^(1/2)约等于1+x/2，所以sqrt(1+x)-1约等于x/2。

7.B

解析：f(x)=(x^2+1)^3-1，当x趋于0时，(x^2+1)^3约等于1+3x^2，所以f(x)约等于3x^2。

8.A

解析：e^xsinx-xcosx=(1+x+x^2/2+o(x^2))*(x-x^3/6+o(x^3))-x*(1-x^2/2+o(x^2))=x+x^2/2-x^3/6+o(x^3)-x+x^3/2+o(x^3)=x^2/2+x^3/3+o(x^3)，所以lim(x→0)(e^xsinx-xcosx)/x^3=1/3。

9.D

解析：lim(x→0)(tanx-x)/x^3=lim(x→0)(sinx/cosx-x)/x^3=lim(x→0)(sinx-xcosx)/(x^3cosx)=lim(x→0)(sinx-xcosx)/x^3=1/3。

10.A

解析：sinx-x+x^3/6=(x-x^3/6+o(x^3))-x+x^3/6+o(x^3)=o(x^3)，所以f(x)等价于x^3。

二、填空题

1.1/2

解析：利用等价无穷小公式(1-cosx)/x^2~x^2/2。

2.1/2

解析：利用等价无穷小公式(e^x-1)/x^2~1/2。

3.x/2

解析：利用等价无穷小公式sqrt(1+x)-1~x/2。

4.1/6

解析：lim(x→0)(sinx-xcosx)/x^3=lim(x→0)(sinx-xcosx)/x^3=1/6。

5.-1/3

解析：利用等价无穷小公式(arctanx-x)/x^3~-1/3。

6.10x

解析：利用二项式展开(1+x)^10~1+10x。

7.1/2

解析：lim(x→0)(1-cosx)/(xtanx)=lim(x→0)(x^2/2)/(x*x)=1/2。

8.1/4

解析：利用等价无穷小公式ln(1+x^2)-x^2~x^4/2，所以(ln(1+x^2)-x^2)/x^4~1/2。

9.1

解析：sin^2x/x^2=(sinx/x)^2~1。

10.1

解析：lim(x→0)(e^x-cosx)/x^2=lim(x→0)(1+x+x^2/2+o(x^2)-(1-x^2/2+o(x^2)))/x^2=1。

三、多选题

1.ABCD

解析：sin(2x)~2x，tan(3x)~3x，sqrt(1+x)-1~x/2，(e^x-1)/x~1，都与x等价。

2.BCD

解析：A选项不能直接使用等价无穷小替换，因为sinx-x^3~x-x^3与x^5不是等价无穷小。

3.ABCD

解析：都是正确的等价无穷小关系。

4.AB

解析：f(x)~x+x^3/6，所以A和B正确。

5.ACD

解析：B选项错误，因为lim(x→0)(1-cosx)/x=0，不是0。

四、判断题

1.正确

解析：利用等价无穷小公式(1-cosx)/x^2~x^2/2。

2.错误

解析：tanx~x+x^3/3。

3.正确

解析：利用等价无穷小公式sqrt(1+x)-1~x/2。

4.错误

解析：lim(x→0)(x-sinx)/x^3=1/6。

5.错误

解析：利用等价无穷小公式(e^x-1)/x~1。

6.错误

解析：f(x)~x^3/6。

7.错误

解析：(1-cosx)/x^2~x^2/2。

8.错误

解析：lim(x→0)(sinx-xcosx)/x^3=1/3。

9.正确

解析：利用等价无穷小公式(arctanx-x)/x^3~-1/3。

10.错误

解析：f(x)~10x。

五、问答题

1.当x趋于0时，判断两个函数是否为等价无穷小的方法是看它们的极限是否为0，且它们的比值是否趋于1。即如果lim(x→0)f(x)/g(x)=1，则f(x)与g(x)等价。

2.常用的等价无穷小公式有：x~sinx~tanx，(1-cosx)~x^2/2，(e^x-1)~x，(ln(1+x))~x，(1+x)^alpha-1~alph