2026年高考数学排列组合二项式定理基础题

2026年高考数学排列组合二项式定理基础题一、选择题（每题5分，共10题）第1题（5分）某班级有4名男生和3名女生，现需从中选出3人组成一个小组，要求小组中至少有1名女生，则不同的选法共有多少种？第2题（5分）从5名志愿者中选出3名分别负责A、B、C三个岗位，且每人只能负责一个岗位，若甲不能负责A岗位，乙不能负责B岗位，则不同的安排方法共有多少种？第3题（5分）已知集合A={1,2,3,4}，从集合A中任取两个不同的元素相乘，所得积不大于6的取法共有多少种？第4题（5分）用5种不同的颜色给一个正方体的6个面染色，要求相邻的两个面颜色不同，且其中两个对面必须染成同一种颜色，则不同的染色方案共有多少种？第5题（5分）在平面直角坐标系中，从点集{(x,y)|x,y∈{1,2,3,4}}中任取两个不同的点，使得两点之间的距离不超过√2，则这样的取法共有多少种？第6题（5分）将3个不同的红球和2个不同的白球放入编号为1、2、3的三个盒子里，每个盒子里至少放一个球，则不同的放法共有多少种？第7题（5分）在二项式(2x-1)^n的展开式中，第4项的二项式系数为70，则n的值为多少？第8题（5分）已知(3+2x)^m的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则m的值为多少？第9题（5分）在(1-x)^10的展开式中，x^3的系数与x^5的系数互为相反数，则x^7的系数是多少？第10题（5分）在二项式(1+3x)^6的展开式中，x^3的系数与x^4的系数之比为9:8，则x^5的系数是多少？二、填空题（每题6分，共5题）第11题（6分）从6名男生和4名女生中选出4人参加比赛，要求其中男生人数不少于2人，则不同的选法共有______种。第12题（6分）将4个相同的红球和3个相同的白球排成一列，要求红球不连续，则不同的排法共有______种。第13题（6分）在二项式(2ab-3)^7的展开式中，a^4b^3的系数是多少？第14题（6分）在(1-2x)^9的展开式中，各项系数的和是多少？第15题（6分）在二项式(3x^2-2/x)^8的展开式中，常数项是多少？三、解答题（共5题，总分40分）第16题（8分）某学校组织一次数学竞赛，共有6道选择题，每题答对得5分，答错或不答扣2分。若某参赛者答对4道题，且总得分不低于18分，问该参赛者还有多少种答题方式？第17题（8分）将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，要求每人至少分得1本书，则不同的分法共有多少种？第18题（10分）在二项式(1+2x)^n的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为4:5，且x^4的系数为280，求n的值。第19题（10分）在平面直角坐标系中，从点集{(x,y)|x,y∈{1,2,3,4,5}}中任取3个不同的点，使得这三点组成的三角形为直角三角形，且直角位于其中一条边的中点，则这样的取法共有多少种？第20题（10分）在二项式(1-x)^6的展开式中，求x^4的系数，并解释为什么x^4的系数与-x^4的系数之和为0。答案与解析一、选择题第1题（5分）解：小组中至少有1名女生的选法可分为两种情况：①1名女生和2名男生：C(3,1)×C(4,2)=3×6=18种；②2名女生和1名男生：C(3,2)×C(4,1)=3×4=12种。总数：18+12=30种。答案：30种。第2题（5分）解：总安排方法数为A(5,3)=60种。其中甲负责A岗位的方法数为A(4,2)=12种；乙负责B岗位的方法数为A(4,2)=12种；甲负责A且乙负责B的方法数为A(3,1)=3种。根据容斥原理，不符合条件的方法数为12+12-3=21种。符合条件的方法数为60-21=39种。答案：39种。第3题（5分）解：积不大于6的取法包括：1×1=1，1×2=2，1×3=3，1×4=4，2×1=2，2×2=4，3×1=3，4×1=4。其中重复的为2，共8种。答案：8种。第4题（5分）解：先染两个对面，有C(5,1)种方法；再染其余四个面，要求相邻面不同色，相当于在剩余4个位置上排列4种颜色，即A(4,4)=24种。总数：C(5,1)×24=120种。答案：120种。第5题（5分）解：两点距离不超过√2的点对包括：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,3)、(3,4)、(4,4)。共10种取法。答案：10种。第6题（5分）解：先考虑球的分配方式：3个红球分成三组，有C(3,1)=3种；2个白球分成两组，有C(2,1)=2种。分配到盒子中，有A(3,3)=6种方法。总数：3×2×6=36种。答案：36种。第7题（5分）解：第4项的二项式系数为C(n,3)=70，解得n=10。答案：10。第8题（5分）解：第3项与第5项的二项式系数相等，即C(m,2)=C(m,4)，解得m=6。答案：6。第9题（5分）解：系数条件为C(10,3)=-C(10,5)，即120=-252，矛盾，故无解。答案：无解。第10题（5分）解：x^3的系数为C(6,3)×3^3=20×27=540，x^4的系数为C(6,4)×3^4=15×81=1215，系数之比为540:1215=4:9，则x^5的系数为C(6,5)×3^5=6×243=1458。答案：1458。二、填空题第11题（6分）解：分情况：①2男2女：C(6,2)×C(4,2)=15×6=90种；②3男1女：C(6,3)×C(4,1)=20×4=80种；③4男0女：C(6,4)=15种。总数：90+80+15=185种。答案：185种。第12题（6分）解：先排3个白球，形成4个空位，从4个空位中选3个放红球，有C(4,3)=4种。答案：4种。第13题（6分）解：a^4b^3的系数为C(7,3)×(-3)^4=35×81=2835。答案：2835。第14题（6分）解：令x=1，各项系数和为(1-2)^9=-1。答案：-1。第15题（6分）解：常数项对应指数方程2k-1=0且k=0，无解。答案：0。三、解答题第16题（8分）解：设答对题数为x，答错题数为y，则x+y=4，5x-2y≥18。代入x=4，得5×4-2y≥18，解得y≤3。情况：x=4,y=0；x=3,y=1；x=2,y=2。方法数：C(4,4)+C(4,3)+C(4,2)=1+4+6=11种。答案：11种。第17题（8分）解：先分组，有C(5,2)×C(3,1)×C(1,1)=30种；再分配，有A(3,3)=6种。总数：30×6=180种。答案：180种。第18题（10分）解：C(n,2)/C(n,3)=4/5，解得n=10。x^4的系数为C(10,4)×2^4=210×16=3360，与题意280矛盾，故无解。答案：无解。第19题（10分）解：直角位于中点的条件为：(1,1)与(2,2)、(3,3)、(4,4)等，共10种；(2,1)与(3,2)、(3,1)、(4,3)等，共10种。总数：2