薛定谔方程+一维势阱04zyc

量子力学建立于1923~1927年间，两个等价理论——矩阵力学和波动力学.

相对论量子力学（1928

年，狄拉克）：描述高速运动粒子波动方程.薛定谔（Erwinchrodinger，1887~1961）奥地利物理学家.1926年建立了以薛定谔方程为基础波动力学,并建立了量子力学近似方法...第1页薛定谔是奥地利著名理论物理学家，量子力学主要奠基人之一，同时在固体比热、统计热力学、原子光谱及镭放射性等方面研究都有很大成就。薛定谔波动力学，是在德布罗意提出物质波基础上建立起来。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔方程量子力学波动方程。薛定谔方程在量子力学中占有极其主要地位，它与经典力学中牛顿运动定律价值相同。在经典极限下，薛定谔方程能够过渡到哈密顿方程。薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子(如电子等)运动状态基本定律，在粒子运动速率远小于光速条件下适用。薛定谔对分子生物学发展也做过工作。因为他影响，不少物理学家参加了生物学研究工作，使物理学和生物学相结合，形成了当代分子生物学最显著特点之一。薛定谔对原子理论发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。(1887—1961)第2页在量子力学中，微观粒子运动状态由波函数来描写；状态随时间改变遵照着一定规律。1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理基础上，建立了势场中微观粒子微分方程,并提出了一系列理论体系，当初被称作波动力学，现在统称量子力学。１、是一个复指数函数，本身无物理意义3、t时刻，在（x,y,z）处体积元d

内

粒子出现几率。2、波函数模平方代表时刻t

，在

r处粒子出现几率密度。波函数回顾：4、波函数标准化条件5、波函数归一化条件:第3页§7薛定谔方程1、薛定谔方程建立应满足条件

（1）波函数应满足含有时间微商微分方程

（2）要建立方程是线性，即假如

1

、

2是方程解，则

1

和

2线性叠加a

1+b

2

也应是方程解。(量子力学态叠加原理)（3）这个方程系数不应含有状态参量（动量、能量等）

（4）经典力学中自由粒子动量与能量关系（非相对论关系）E=p2/2m在量子力学中仍成立。

第4页都满足：

但该方程不含有普遍性，因它只能满足特定动量P和能量E波。

比如：对于

第5页沿x方向运动动能为E和动量为P自由粒子波函数2、单能粒子（沿x方向匀速直线运动）

若现在利用E=P2/2m

消去E、P将得到一个含非线性方程，不满足条件（2），所以再微分

第6页一维自由运动粒子薛定谔方程

利用E=P2/2m第7页3、单能势场中运动粒子（沿x方向匀速直线运动）

此时粒子含有能量：

势场中一维运动粒子薛定谔方程

利用E=P2/2m+V一样导出：

第8页对三维运动粒子

引入拉普拉斯算符：则有

再引入哈密顿算符：则有

普通薛定谔方程

第9页4、定态薛定谔方程（即V(x,y,z)是不随时间改变）若作用在粒子上势场V(r)不显含时间

t

时，在经典力学中这对应于粒子机械能守恒情况，薛定谔方程可用分离变量法求它特解。两边除以可得：第10页因为空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边必须等于同一个常数，设为E则有：定态薛定谔方程可见E含有能量量纲与自由粒子波函数类比它代表粒子能量。把常数A归到时间部分，薛定谔方程特解为：定态波函数第11页对应几率密度与时间无关。即：处于定态下粒子含有确定能量E，粒子在空间概率密度分布不随时间改变，而且力学量测量值几率分布和平均值都不随时间改变。量子力学处理方法（1）已知粒子m，势能函数V，即可给出薛定谔方程（2）由给定初、边值条件，求出波函数

（3）由波函数给出不一样地点、时刻粒子几率密度||2下面以一维无限深势阱为例，求解定态薛定谔方程第12页§8一维无限深方势阱1、以一维定态为例，求解已知势场定态薛定谔方程。了解怎样确定定态能量E，从而看出能量量子化是薛定谔方程自然结果.粒子在势阱内受力为零，势能为0。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大斥力。称为一维无限深势阱。其定态薛定谔方程：已知粒子所处势场为：第13页在阱内粒子势能为零，满足：在阱外粒子势能为无穷大，满足：方程解必处处为零：依据波函数标准化条件，在边界上所以，粒子被束缚在阱内运动。第14页在阱内薛定谔方程可写为：类似于简谐振子方程，其通解：所以，n不能取零，不然无意义。代入边界条件得：第15页因为结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它能量是量子化。结论由归一化条件:第16页称n为量子数；为本征态；为本征能量。讨论1、零点能存在称为基态能量。2、能量是量子化。是由标准化条件而来。能级间隔：当能级分布可视为连续。一维无限深方势阱中运动粒子其波函数：第17页在一些极限条件下，量子规律能够转化为经典规律.势阱中相邻能级之差能量能级相对间隔当时，，能量视为连续改变.第18页

当很大时，，量子效应不显著，能量可视为连续改变，此即为经典对应.物理意义例：电子在势阱中.（近似于连续）当时,（能量分立）第19页一维无限深方势阱中粒子能级、波函数和几率密度第20页2、势垒贯通（隧道效应）在经典力学中,若,粒子动能为正,它只能在I区中运动。OIIIIII定态薛定谔方程解又怎样呢？第21页令：IIIIII三个区间薛定谔方程化为：第22页若考虑粒子是从I区入射，在I区中有入射波反射波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III区，在III区只有透射波。粒子在处几率要大于在处出现几率。其解为：依据边界条件：第23页求出解形式画于图中。IIIIII隧道效应量子力学结果分析：（1）E>V0情况在经典力学中，该情况粒子能够越过势垒运动到x>a区域，而在量子力学中有一部分被反弹回去，即粒子含有波动性详细表达。（2）E<V0情况在经典力学中，该情况粒子将完全被势垒挡回，在x<0区域内运动；而在量子力学中结果却完全不一样，此时，即使粒子被势垒反射回来，但它们仍有粒子穿透势垒运动到势垒里面去，所以我们将这种量子力学特有现象称“隧道效应”。第24页隧道效应和扫描隧道显微镜STM1981年在IBM企业瑞士苏黎士试验室工作宾尼希和罗雷尔利用针尖与表面间隧道电流随间距改变性质来探测表面结构，取得了实空间原子级分辨图象，为此取得1986年诺贝尔物理奖。因为电子隧道效应，金属中电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。只要将原子线度极细探针以及被研究物质表面作为两个电极，当样品与针尖距离非常靠近时，它们表面电子云就可能重合。第25页若在样品与针尖之间加一微小电压Ub电子就会穿过电极间势垒形成隧道电流。隧道电流对针尖与样品间距离十分敏感。若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上高度改变就能反应样品表面起伏。因为隧道电流对针尖与样品间距离十分敏感。控制针尖高度不变，经过隧道电流改变可得到表面态密度分布；利用STM能够分辨表面上原子台阶、平台和原子阵列。能够直接绘出表面三维图象空气隙STM工作示意图样品探针第26页使人类第一次能够实时地观察到单个原子在物质表面上排列状态以及与表面电子行为相关性质。在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有着重大意义和辽阔应用前景。利用光学中受抑全反射理论，研制成功光子扫描隧道显微镜（PSTM)。1989年提出成象技术。它可用于不导电样品观察。STM样品必须含有一定程度导电性；在恒流工作模式下有时对表面一些沟槽不能准确探测。任何一个技术都有其不足。下面是用扫描隧道显微镜观察到一些结果第27页这是用扫描隧道显微镜搬动48个Fe原子到Cu表面上组成量子围栏。1991年IBM企业“拼字”科研小组创造出了“分子绘画”艺术。这是他们利用STM把一氧化碳分子竖立在铂表面上、分子间距约0.5纳米“分子人”。这个“分子人”从头到脚只有5纳米，堪称世界上最小人形图案。第28页1994年初，中国科学院真空物理实验室研究人员成功地利用一个新表面原子操纵方法，经过STM在硅单晶表面上直接提走硅原子，形成平均宽度为2纳米(3至4个原子)线条。从STM取得照片上能够清晰地看到由这些线条形成“100”字样和硅原子晶格整齐排列背景。用扫描隧道显微镜观察到砷化镓表面砷原子排列图以下第29页用扫描隧道显微镜观察到硅表面7×7重构图硅表面硅原子排列第30页例1、已知粒子处于宽度为a一维无限深方势阱中运动波函数为