2026年新高考全国卷数学函数与导数易错题专题卷含解析

2026年新高考全国卷数学函数与导数易错题专题卷含解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|x²-4x+3≤0},B={x|x-a>0},若A∩B=∅,则实数a的取值范围是(A)(-∞,1](B)(1,+∞)(C)[1,3](D)[3,+∞)2.函数f(x)=log₃(x+1)的图像关于直线x=1对称的函数是(A)g(x)=log₃(2-x)(B)g(x)=log₃(x-1)(C)g(x)=log₃(1-x)(D)g(x)=log₃(2+x)3.若函数h(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的最小正周期为π,且其图像向右平移π/4个单位后得到的函数为偶函数，则φ的值等于(A)π/8(B)3π/8(C)π/4(D)5π/84.已知函数f(x)=x³-3x+1,则方程f(x)=0在区间(-2,-1)内(A)无实根(B)有一个实根(C)有两个实根(D)无法确定实根个数5.若函数g(x)=x³-ax+1在区间(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(A)a≤3(B)a<3(C)a≥3(D)a>36.过点(1,2)且与直线3x-4y+5=0垂直的直线方程为(A)4x+3y-10=0(B)4x-3y+5=0(C)3x+4y-11=0(D)3x-4y+5=07.若函数f(x)=x²+2ax+3在x=1处取得极小值，则a的值为(A)-1(B)1(C)-2(D)28.已知函数f(x)=eˣ-ax在x=1处的切线方程为y=e-ax,则a的值为(A)1(B)e(C)e-1(D)1/e9.若函数h(x)=x³-3x²+2在区间[-1,4]上的最大值是2，最小值是-4,则(A)h(x)在(-1,1)上单调递增，在(1,4)上单调递减(B)h(x)在(-1,1)上单调递减，在(1,4)上单调递增(C)h(x)在(-1,1)和(3,4)上单调递增，在(1,3)上单调递减(D)h(x)在(-1,1)和(1,3)上单调递增，在(3,4)上单调递减10.设函数f(x)=x³-3x²+2,则方程f(x)=k有三个不同实数解的充要条件是(A)|k|<1(B)k=1或k=-1(C)k>2或k<-1(D)1<k<2二、多选题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。每小题全选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。11.下列函数中，在其定义域内存在零点的是(A)f(x)=x²-2x+1(B)f(x)=sin(x)+1/2(C)f(x)=eˣ-1(D)f(x)=log₁₀(x-1)+112.若函数f(x)=x³-ax+1在区间(1,+∞)上单调递增，则下列结论正确的是(A)f(x)在(-∞,1)上单调递减(B)f(x)在(-∞,1)上单调递增(C)f(x)在x=1处取得极小值(D)f(x)在x=1处取得极大值13.已知函数f(x)=x³-3x+2,则下列说法正确的是(A)f(x)是奇函数(B)f(x)是偶函数(C)f(x)在(-∞,-1)上单调递增(D)f(x)在(1,+∞)上单调递增14.若函数g(x)=x³-3x²+2x+1在区间[a,b]上的最大值与最小值分别为4和-2,则下列a,b的组合可能的是(A)a=-1,b=3(B)a=0,b=2(C)a=-2,b=1(D)a=-3,b=015.关于函数f(x)=x³-3x+1的说法，下列正确的是(A)f(x)有两个极值点(B)f(x)的图像与直线y=1有两个交点(C)f(x)在(-∞,0)上单调递增(D)f(x)在(0,+∞)上单调递增三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x²+2ax+1,g(x)=eˣ。(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)在x=0处取得极小值，求a的值；(2)在(1)的条件下，求函数h(x)在区间(-1,1)上的最小值。17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x³-ax²+bx+1。(1)若f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1，求a,b的值；(2)在(1)的条件下，讨论函数f(x)的单调性。18.(本小题满分12分)设函数g(x)=x³-3x²+2x。(1)求函数g(x)的单调区间；(2)求函数g(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x³-3x²+2。(1)求函数f(x)的极值点；(2)证明：对于任意x₁,x₂∈R，且x₁≠x₂，都有|f(x₁)-f(x₂)|≥3|x₁-x₂|。20.(本小题满分12分)设函数h(x)=x³-3x²+2x+1。(1)求函数h(x)的导函数h'(x)，并解不等式h'(x)>0；(2)若存在x₀∈R，使得h(x₀)=k有三个不同的实数解，求实数k的取值范围。21.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x³-ax+1。(1)若函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)在(1)的条件下，若f(x)在区间(0,2)上存在零点，求实数a的取值范围。试卷答案一、选择题1.C2.A3.C4.B5.C6.A7.A8.C9.C10.B二、多选题11.B,C,D12.A,C13.C,D14.A,C15.A,B三、解答题16.(1)解：h(x)=x²+2ax+1-eˣ,h'(x)=2x+2a-eˣ。由题意，h'(0)=0，即2*0+2a-e⁰=0，解得a=1/2。(2)由(1)知，a=1/2，h(x)=x²+x+1-eˣ,h'(x)=2x+1-eˣ。令h'(x)=0，得2x+1-eˣ=0，即eˣ=2x+1。在区间(-1,1)内，令φ(x)=eˣ-2x-1，则φ'(x)=eˣ-2。当x∈(-1,ln2)时，φ'(x)<0；当x∈(ln2,1)时，φ'(x)>0。故φ(x)在(-1,ln2)上单调递减，在(ln2,1)上单调递增。又φ(0)=0-0-1=-1，φ(1)=e-2-1=e-3>0。由零点存在性定理知，φ(x)在(0,1)上有唯一零点x₀，满足eˣ₀=2x₀+1。当x∈(-1,x₀)时，h'(x)<0；当x∈(x₀,1)时，h'(x)>0。故h(x)在(-1,x₀)上单调递减，在(x₀,1)上单调递增。因此，h(x)在区间(-1,1)上的最小值为h(x₀)=x₀²+x₀+1-eˣ₀。由eˣ₀=2x₀+1，得x₀²+1=(x₀+1)²-2x₀=(2x₀+2)²-8x₀-2=4(2x₀+1)²-8x₀-2=4eˣ₀²-8x₀-2。h(x₀)=4eˣ₀²-8x₀+1-eˣ₀=4eˣ₀²-eˣ₀-8x₀+1。令t(x)=4x²-x-8x+1(x>0,t(x₀)=h(x₀))，则t'(x)=8x-1-8=8x-9。t(x)在(0,9/8)上单调递减，在(9/8,+∞)上单调递增。h(x₀)在(0,9/8)上单调递减，在(9/8,1)上单调递增。又h(0)=0+0+1-1=0，h(1)=1+1+1-e=3-e。故h(x)在区间(-1,1)上的最小值为3-e。17.(1)f'(x)=3x²-2ax+b。由题意，f'(1)=0且f(1)=0，即3*1²-2a*1+b=0且1³-a*1²+b*1+1=0。解得a=2,b=-3。(2)由(1)知，f(x)=x³-2x²-3x+1,f'(x)=3x²-4x-3。令f'(x)=0，得3x²-4x-3=(3x+1)(x-3)=0，解得x₁=-1/3,x₂=3。列表分析f(x)的单调性：```x(-∞,-1/3)-1/3(-1/3,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗```故f(x)在(-∞,-1/3)上单调递增，在(-1/3,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增。18.(1)g'(x)=3x²-6x+2。令g'(x)=0，得3x²-6x+2=0，解得x₁=3-√3/3,x₂=3+√3/3。列表分析g(x)的单调性：```x(-∞,3-√3/3)3-√3/3(3-√3/3,3+√3/3)3+√3/3(3+√3/3,+∞)g'(x)+0-0+g(x)↗极大值↘极小值↗```故g(x)在(-∞,3-√3/3)上单调递增，在(3-√3/3,3+√3/3)上单调递减，在(3+√3/3,+∞)上单调递增。(2)由(1)知，g(x)在x=3-√3/3处取得极大值g(3-√3/3)=(3-√3/3)³-3(3-√3/3)²+2(3-√3/3)+1=32-18√3/9+6-2√3/3+1=39-20√3/3。g(x)在x=3+√3/3处取得极小值g(3+√3/3)=(3+√3/3)³-3(3+√3/3)²+2(3+√3/3)+1=32+18√3/9+6+2√3/3+1=39+20√3/3。g(0)=0³-3*0²+2*0+1=1。g(3)=3³-3*3²+2*3+1=27-27+6+1=7。在区间[0,3]上，g(0)=1,g(3)=7,g(3-√3/3)=39-20√3/3,g(3+√3/3)=39+20√3/3。由于39-20√3/3≈39-11.55=27.45,39+20√3/3≈39+11.55=50.55。比较1,7,39-20√3/3,39+20√3/3。显然39+20√3/3>7,39-20√3/3<7。比较39-20√3/3和1,39-20√3/3-1=38-20√3/3=2(19-10√3/3)。19/3≈6.33,10√3/3≈5.77,19-10√3/3≈0.56,2(19-10√3/3)>0。所以39-20√3/3>1。因此，g(x)在区间[0,3]上的最大值为g(3+√3/3)=39+20√3/3，最小值为g(0)=1。19.(1)f'(x)=3x²-6x。令f'(x)=0，得3x²-6x=3x(x-2)=0，解得x₁=0,x₂=2。故f(x)的极值点为x=0和x=2。(2)证明：设ϕ(x)=f(x)-3x,则ϕ'(x)=f'(x)-3=3x²-6x-3=3(x²-2x-1)。令ϕ'(x)=0，得x²-2x-1=0，解得x₁=1-√2,x₂=1+√2。当x∈(-∞,1-√2)时，ϕ'(x)>0；当x∈(1-√2,1+√2)时，ϕ'(x)<0；当x∈(1+√2,+∞)时，ϕ'(x)>0。故ϕ(x)在(-∞,1-√2)上单调递增，在(1-√2,1+√2)上单调递减，在(1+√2,+∞)上单调递增。ϕ(x)的极大值为ϕ(1-√2)=f(1-√2)-3(1-√2)=(1-√2)³-3(1-√2)²+2(1-√2)+1-3+3√2=1-3√2+6-3√2+2-2√2+1-3+3√2=8-5√2。ϕ(x)的极小值为ϕ(1+√2)=f(1+√2)-3(1+√2)=(1+√2)³-3(1+√2)²+2(1+√2)+1-3-3√2=1+3√2+6+3√2+2+2√2+1-3-3√2=8+5√2。因此，对于任意x₁,x₂∈R，且x₁≠x₂，有|f(x₁)-f(x₂)|=|ϕ(x₁)-ϕ(x₂)|≥|ϕ(1+√2)-ϕ(1-√2)|=|(8+5√2)-(8-5√2)|=|10√2|=10√2。又|ϕ(1+√2)-ϕ(1-√2)|=|(f(1+√2)-3(1+√2))-(f(1-√2)-3(1-√2))|=|(f(1+√2)-f(1-√2))-3√2|。要使|f(x₁)-f(x₂)|≥3|x₁-x₂|恒成立，需满足|(f(1+√2)-f(1-√2))-3√2|≥3|1+√2-(1-√2)|=3|2√2|=6√2。即需满足|(f(1+√2)-f(1-√2))-3√2|≥6√2。由前面的计算，f(1+√2)-f(1-√2)=(8+5√2)-(8-5√2)=10√2。因此，|(10√2)-3√2|=|7√2|=7√2。由于7√2>6√2，不等式|(f(1+√2)-f(1-√2))-3√2|≥6√2成立。故对于任意x₁,x₂∈R，且x₁≠x₂，都有|f(x₁)-f(x₂)|≥3|x₁-x₂|。20.(1)h(x)=x³-3x²+2x+1,h'(x)=3x²-6x+2。解不等式3x²-6x+2>0，得Δ=(-6)²-4*3*2=36-24=12。x=(6±√12)/6=(6±2√3)/6=1±√3/3。由一元二次不等式求解，得x∈(-∞,1-√3/3)∪(1+√3/3,+∞)。(2)由(1)知，h(x)在(-∞,1-√3/3)上单调递增，在(1-√3/3,1+√3/3)上单调递减，在(1+√3/3,+∞)上单调递增。h(x)在x=1-√3/3处取得极大值h(1-√3/3)=(1-√3/3)³-3(1-√3/3)²+2(1-√3/3)+1=1-3√3/3+3(3/9)-3(1-2√3/3+1/9)+2-2√3/3+1=1-√3+1-3+2√3-1/3+2-2√3/3+1=(1-√3+2√3-2√3/3-1/3+1)=(4-1/3)=11/3。h(x)在x=1+√3/3处取得极小值h(1+√3/3)=(1+√3/3)³-3(1+√3/3)²+2(1+√3/3)+1=1+3√3/3+3(3/9)-3(1+2√3/3+1/9)+2+2√3/3+1=1+√3+1-3-2√3-1/3+2+2√3/3+1=(1+√3-3-2√3+2+1+2√3/3-1/3)=(1-3+2+1-1/3+2√3/3)=(-1/3+2√3/3)=(2√3-1)/3。要使h(x₀)=k有三个不同的实数解x₀，则方程k=h(x)必须在h(x)的极大值和极小值之间，即h(1-√3/3)<k<h(1+√3/3)。即11/3<k<(2√3-1)/3。注意到2√3/3≈1.154，(2√3-1)/3≈(1.154-1)/3≈0.051。显然11/3≈3.666,(2√3-1)/3≈0.051。因此，实数k的取值范围是(11/3,(2√3-1)/3)。21.(1)f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，则f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立。f'(x)=3x²-a。由3x²-a≥0在(1,+∞)上恒成立，得a≤3x²在(1,+∞)上恒成立。令g(x)=3x²,x∈(1,+∞)，则g(x)在(1,+∞)上单调递增。故g(x)在(1,+∞)上的最小值为g(1)=3*1²=3。因此，a≤3。(2)f(x)在区间(0,2)上存在零点，即存在x₀∈(0,2)使得f(x₀)=0。由(1)知，a≤3。①若a=3，则f(x)=x³-3x+1。f'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)。f(x)在(-∞,-1)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增。f(-1)=-1+3+1=3,f(1)=1-3+1=-1。f(x)在(-1,1)上存在零点x₀₀，满足f(x₀₀