【《LLC谐振变换器扩展描述函数与小信号分析综述》6300字】

LLC谐振变换器扩展描述函数与小信号分析综述目录TOC\o"1-3"\h\u19444LLC谐振变换器扩展描述函数与小信号分析综述 1261031.1描述函数 122971.2扩展描述函数 245421.3扩展描述函数法的假设条件 349281.4LLC谐振变换器小信号建模过程 3101681.4.1建立非线性状态方程 366611.4.2谐波近似 410131.4.3用扩展描述函数表示非线性环节 5214581.4.4谐波平衡 627231.4.5小信号扰动线性化 8175741.4.6小信号模型的建立 12179621.5小结 141.1描述函数描述函数法，也称谐波平衡，是研究非线性系统频域稳定性的一种方法。在时域上利用傅立叶级数和傅里叶变换得到反映系统响应频率与激励频率之间关系的数学模型，从而求出系统稳定时对应于该模型下的特征方程。然而，利用描述函数对非线性系统进行线性化有其局限性，即：1）非线性系统可以简化为线性部分部分和非线性部分；2）非线性部分的输入和输出是奇对称；3）线性系统有良好的低通滤波特性。针对特性不随时间变化的非线性环节，输入是正弦函数x(t)=Asinωt，非线性稳态输出yty(3-1)根据条件2）可以得出，A0=0；根据条件3），高次谐波被衰减，所以只有一次谐波分量存在，进而（3-1）公式可改写为yt≈y1(t)=A1cosωt+B1sinωt=Y1sin（ωt+φ1）因此，稳态输出可看作是频率相同但幅值相位不同的正弦函数。非线性部分的描述函数定义为输出信号的基波分量与输入信号的复数比，用N(A,ω)表示。即N(A,ω)=Y1Aexp（jφ11.2扩展描述函数变换器通常是一个非线性的环节，它的状态方程为：x=ƒ[x，u，s(t)](3-4)其中，x是状态变量，u是输入电压向量或其他，s(t)是驱动信号。该状态变量的波形周期性变化，由不同工作点的不同参数决定，如u和p，其中p为驱动信号的控制参数，在稳态下，可以傅里叶展开为：xt其中：Xk同样，公式(3-4)也可以傅里叶展开：ƒ[x,u,s(t)]=k=−∞∞Fk(X,u,p)ejkω由此我们发现{Fk1.3扩展描述函数法的假设条件为了简化建模过程，我们需要对变换器进行对应的假设：1）扰动是小信号级别扰动；2）电路图中都是理想开关，无损耗、寄生参数和惯性；3）开关频率远大于转折频率；4）无源器件都是线性的，损耗利用对应的耗用电阻来表示，如谐振电感的Rr和滤波电容的Rco。根据以上假设，可得出如图1.1等效电路图。图1.1LLC谐振变换器等效电路图根据假设2，忽略驱动信号死区时间，占空比是d，而理想变压器的变比为n=NmNn：1。由上文得出的等效电路图1.1和1.3的条件，我们可以根据EDF法小信号建模的步骤对LLC变换器进行小信号分析，用vHB1.4LLC谐振变换器小信号建模过程1.4.1建立非线性状态方程由图1.1可知，输入输出分别为vHB、vo，我们选择vcr、vco、iLr、iLm作为状态变量，而由基尔霍夫定律可以得出以下非线性状态方程：LrdiLrdt+vcr+LmdiLLmdiLmdt=nsgn(iCrdvcrdt=(1+RcoR0)COdvcodtv0=RcoRoRco其中，sgn(iLr1，iLrsgn(iL-1,iL1.4.2谐波近似若扰动属低频小信号级别，调频信号就可用一个正弦和余弦信号的叠加表示，幅值是时变的。由线性微分方程，当激励是正弦信号的叠加时，方程的特解和激励的格式一样，状态变量可以近似为一个正弦和余弦信号的叠加：iLrt≈iLrstsin(ωtiLmt≈iLmstsinvcrt≈vcrstsin(vcot≈vcostsin(其中，iLrt的正弦分量是iLrst，余弦分量是把(3-10)对t求导可得出下式：diLrdt=(diLrsdt−ωiLrc)sindiLmdt=(diLmsdt−ωiLmc)dvcodt=(dvc0sdt−ωvcoc)sindvcrdt=(dvcrsdt−ωvcrc)sin如果达到稳态，上述的正弦分量和余弦分量都会成为常数，所以对应的导数就会变成0。1.4.3用扩展描述函数表示非线性环节由图1.1可以看出，vHB是谐振槽的输入电压，其与各状态变量是同频正弦量，因此，如果把vHB傅里叶展开，只有基波有效，其他的高次都被衰减。所以：VHB1(t)=2πvinsin(πd)sin(ωt其中，ves=2πvinsin(πd)，是vHB的正弦分量，而半桥开关网络的输出电压是奇函数特性，所以无余弦分量，即v从方程组(3-8)中可以发现有三个非线性项，分别是vHB、nvosgn(iLr−iLm)和ivHB≈vHB1(t)=f1(vin,d)sin(ωt)nvosgn(iLr−iLm)≈f2(iLrs−iLms,vco)iR≈f4(线性方程组(3-13)中，f1(vin,d)表示vHB的基波分量幅值；f2(iLrs−iLms,vco)表示输出电压正弦分量幅值；f1(vg,d)=2πvinsin(πd)=vf2(iLrs−iLms,vf3(iLrc−iLmc,f4(iLrs其中，ip=(iLrs−iLms)2+(iLrc−1.4.4谐波平衡谐波平衡就是在等式两边的不同阶数谐波分量的系数对应相等，此时将(3-14)带入(3-13)得到：vHB=2πvinsin(πd)sin(nvosgn(iLr−iLm)=(4nπ∙iLrs−iLmsiR=继续将(3-15)、(3-10)和(3-11)都带入(3-8)，并根据各分量的对应系数相等可以得出下面的大信号方程组：(diLrsdt−ωiLrc)Lr+RriLrs+vcrs+4n(diLrcdt−ωiLrs)Lr+RriLrc(diLmsdt−ωiLmc)L(diLmcdt+ωiLms)LmiLrs=(dvcrsdtiLrc=(dvcrcdt(1+RcoRo)COdvcov0=2πRcoRoR以上就得到了LLC谐振变换器的大信号模型，进行下一步分析前，我们可对图1.1进行化简如下：图1.2LLC谐振变换器简化等效图其中电阻Rac由副边负载利用基波分析法折算而来，与之前RL的关系为：Rac=8n2π而且由电路图1.2可知：vp=(iLr–iLm)Rac(3-18)进而得到vps=(iLrs–iLms)Racvpc=(iLrc–iLmc)Rac(3-19)综合以上各式，且当稳态时，大信号模型的状态变量都不会变化，当给定工作点(Vin,D,Ω，Rac，Io)，方程中各导数为0，可用稳态来替代，所以得到：ILrs(Rr+Rac)–LrΩILrc+Vcrs–ILmsRac=2πVin=VesLrΩILrs+ILrc(Rr+Rac)+Vcrc–ILmcRac=0=VecILrs+CrΩVcrc=0ILrc+CrΩVcrs=0(3-20)ILrsRac–ILmsRac+LmΩILmc=0ILrcRac–ILmcRac+LmΩILms=0根据方程组(3-20)，我们可以进一步将其化为矩阵表达式：X×Y=UO(3-21)其中X=RUo=Ves0其中，U0是输入变量，Y是状态变量。1.4.5小信号扰动线性化根据系统的稳定工作点，为了下述方便，定义iLr–iLm=ip，在上节得到的模型中加入小信号扰动可以得到下式：vin=Vin+vind=D+dω=Ω+ωvps=Vps+vpsvpc=Vpc+vpcips=Ips+ipsipc=Ipc+ipcip=Ip+ivco=Vco+vcoiLms=ILms+iLmsiLmc=ILmc+iiLrs=ILrs+iiLrc=ILrc+ivcr=Vcr+vvcrs=Vcrs+vvcrc=Vcrc+vvo=Vo+vves=Ves+ves1）开关网络输出电压线性化：将上述式带入(3-16)，得到：Ves+ves=2π(Vin+vin)[sin(πD)+πcos(πD化简并忽略二阶扰动，将稳态和扰动分离：ves=2πsin(πD)vin+2Vincos(πD=A1vin+A2其中A1=2πsin(πD)，A2=2Vincos(πD2）变压器原边电压线性化：Vps+vps=4πIps+i同理：vps=4nVcoπIpc=B1ips+B2ipc+B同理其余弦分量：vpc=–4nVcoπI=C1ips+C2ipc+C3）谐振电流一阶导的线性化：将(3-22)带入(3-16)得到：[d(ILrs+iLrs)dt−(Ω+ω)(ILrc+iLrc)]Lr+(3-28)同理：ves=LrdiLrsdt+RriLrs–LrΩiLrc–LrILrc将(3-24)、(3-26)带入(3-29)得：diLrsdt=–Rr+B1LriLrs+LrΩ−(3-30)其中，fsnvec=LrdiLrcdt+RLiLrc+LrΩiLrs+L且diLrcdt=–LrΩ+C1LriLrs–R4）谐振电流线性化：将(3-22)带入(3-16)得到Cr[d(Vcrs+vcrs)dt–(Ω+ω)(Vcrc+同理iLrs=Crdvcrsdt–CrΩvcrc–ωrC同理余弦部分谐振电流线性化为：iLrc=Crdvcrcdt–CrΩvcrs–ωrC5）励磁电流一阶导的线性化：将(3-22)带入(3-16)得到：[d(ILms+iLms)dt−(Ω+LmdiLmsdt−LmΩiLmc−L将(3-26)带入上式得到：diLmsdt=B1LmiLrs+B2Lm同理，余弦分量的线性化为：LmdiLmcdt−LmΩiLms−L将(3-27)带入上式得到：diLmcdt=C1LmiLrs+C2LmiLrc−6）输出电容电压一阶导的线性化(1+RcoRo)COdvco而iRp=nip=n(iRp=nIpsI带入(3-41)得到(1+RcoRo)COdvcodt=D1ips又iLr−idvcodt=D1RoCo(Rco+Ro(3-45)7）输出电压线性化：Vo+vo=2πRcoRoRco+Ro同理：vo=2nπRco=D1RcoRoRco+RoiLrs+1.4.6小信号模型的建立综上所述，我们可以整理出LLC谐振变换器小信号模型：d