贺信捷联惯导的仿真及其组合导航的研究

华中科技大学硕士学位论文PAGEPAGEII分类号 学号2005611860013学校代码10487 密级 硕士学位论文捷联惯导的仿真及其组合导航的研究学位申请人：贺信学科专业：模式识别与智能系统指导教师：明德烈副教授马杰副教授答辩日期:2007年6月4日AThesisSubmittedinPartialFulfillmentofheRequirementsfortheDegreeofMasterofEngineeringSimulationonStrapdownInertialNavigationSystemandResearchonItsIntegratedNavigationCandidate:HeXinMajor:PatternRecognitionandIntelligentSystemSupervisor: Ass.Prof.MingDelieAss.Prof.MaJieHuazhongWuhan430074,P.R.ChinaJun,2007PAGEPAGEIV独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：

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日摘要捷联式惯性导航系统是一种先进的惯性导航技术，是近年来惯性技术的一个发展方向。由于捷联系统具有一系列优点，捷联系统取代平台式惯性导航系统，已成为新世纪惯性技术发展的一大趋势。本论文详细讲述了捷联惯性导航系统的原理，并且建立捷联惯导的仿真平台，对其中关键技术进行了仿真研究；最后对组合导航的原理进行探讨，并且针对目前最为流行的INS/GPS组合导航进行初步研究。主要有一下几个方面内容：第一章介绍了导航的发展历史，对各种导航系统的优缺点进行对比，分析得出惯导作为新一代主要导航方式的原因，并且给出INS/GPS组合的必要性。第二章介绍了捷联惯导的原理。在捷联惯导姿态矩阵更新的算法中，介绍了四元数的原理，以及其在空间转动模型中的应用，同时给出了四元数法姿态矩阵更新算法；结合惯导的原理图，讲述了捷联惯导的原理，和数据处理的流程，然后用数学方法对每部分进行数学描述，建立捷联惯导的程序编排数学模型；用最常见的舰艇运动模型建立航迹仿真，为捷联惯导提供解析的数据；为了更接近真实的器件工作状态，进行惯性器件的误差仿真。第三章讨论捷联惯导的姿态矩阵的初始对准技术。讲述了粗对准的原理方法；在精对准中，介绍了卡尔曼滤波技术在其中的应用，通过模拟仿真，得出最后的误差估计。第四章研究组合导航的原理，给出常用的组合导航的方法。研究卡尔曼滤波器在组合导航中的作用；并且针对位置，速度组合导航模式，建立其综合滤波方程。关键词：捷联惯导，四元数，姿态矩阵，卡尔曼滤波器，组合导航ABSTRACTStrap-downinertialnavigationsystem(SINS)isakindofveryadvancedinertialnavigationtechnology,anditisadevelopingdirectionofinertialnavigation.ForSINShasaseriesofadvantages,ithasbecomeatrendthatSINSwilltaketheplaceofplatforminertialnavigationsysteminnewcentury.ThispaperexpatiatesontheprincipleofSINS,anddesignsanemluatorforthissystem.Somekeytechniquesaresimulated.Atlast,theprincipleofcombiningnavigationisstudiedinthispaper,andthemostpopularINS/GPScombiningnavigationisalsoresearched.Themostimportantcontentsareasfollows:1.Thispaperintroducesthehistoryofnavigation,liststheadvantagesandthedisadvantagesofthesenavigations,andgivesthereasonwhytheINSisthemostimportantnavigation.2.ThispaperexpoundstheprincipleofSINS.Inthealgorithmofupdatingattitudematrix,thequaternionanditsapplicationinthespacerotationmodelispresented,atthesametime,thealgorithmofupdatingattitudematrixofquaternionisshowed.UsingthepictureofSINSprinciple,theprincipleandthedataprocessingisexplained,mathematicsisusedtodescribeeverypart,andthemathmodelisdesignedintheprogramforsimulatingSINS.TheshipmovementmodelisusedtosimulatethetracktoofferthedataforSINSemulatormodel.Forgainingthetrueinertialdevicesdata,errorsofthedevicesaresimulated.3.Themethodsofinitialalignmentofattitudematrixaregiven.Theprinciplesofcoarsealignmentmethodandaccuratealignmentmethodarestudied.Kalmanfilterisintroducedintoaccuratealignmentmethod.4.Theintegratednavigationanditsprinciple,methodsarestudied.TheKalmanfilterisappliedinintegratednavigation.KalmanfilterequationsarebasedonGPS/INSposition&speedcombinedmethod.Keywords:strapdowninertialnavigationsystem(SINS),quaternion,attitudematrix,Kalmanfilter,integratednavigation目录TOC\o"1-2"\h\z\u摘要 IABSTRACT II第一章绪论1.1主要导航系统的简介 （1）1.2发展概况 （7）1.3组合导航的必要性 （8）1.4主要研究内容和意义 （9）第二章捷联惯导系统建模2.1导航系统中常用的坐标系 （10）2.2四元数理论 （11）2.3捷联惯导系统的基本原理 （13）2.4本章总结 （29）第三章捷联惯导系统仿真3.1捷联惯导的初始对准 （30）3.2初始对准仿真 （40）3.3捷联惯导系统仿真 （41）3.4本章总结 （52）第四章INS/GPS组合导航的研究4.1卡尔曼滤波原理与方程 （55）4.2组合导航的模式 （59）4.3GPS接收机数据的接受与处理 （62）4.4位置和速度综合导航 （67）第五章总结与展望 （76）致谢 （79）参考文献 （80）华中科技大学硕士学位论文PAGE26第一章绪论1.1主要导航系统的简介将航行载体从起始点引导到目的地的技术或方法称为导航。导航所需要的最基本的参数就是载体的即时位置、速度和航向。早期飞机上测量导航参数的仪表称为导航仪表，由于测量手段日趋完善和复杂，目前测量导航参数的设备称为导航系统[1]。从上个世纪20年代的仪表导航开始，已经研制出了无线电定位系统、惯性导航系统、多普勒导航系统以及70年代以后发展起来的GPS全球定位系统[3]。这些导航系统各自都有优点，当然也存在着不足之处。例如，惯性导航系统具有自主性和输出多种较高精度的导航参数，但误差随时间积累；无线电定位系统的定位精度不受使用时间的影响，但它的输出信息主要是载体的位置，对精确导航来说，定位精度也不是够高，且工作范围受地面台站覆盖区域的限制；多普勒导航系统必须采用外部导航向信号，否则载体上其它航向信号误差一般不能保证小于～，这样仅航向误差就使定位误差大于航程的1%～2%；70年代发展起来的GPS（全球定位系统）是一种高精度的全球三维实时导航的卫星导航系统，与其它导航方式相比，具有精度高，可用性好的优点。但是，载体的机动飞行，空间卫星的结构不能保证百分之百的完好性，影响GPS接收机对信号的接受，且GPS接收机输出信号的更新频率一般为1～2Hz，有时不能满足载体飞行控制对导航信息更新频率的要求，致使在载体上单独使用GPS接收机的方案受到限制。因此，目前GPS还只能作为一种辅助导航设备，而不能作为唯一的导航设备使用[2]。（一）．无线电定位系统无线电导航，是利用无线电技术测量导航参数，包括用多普勒效应测速、用雷达测距和测方位、用导航台定位等[3]。到目前为止，航空航海所依赖的导航系统仍然主要是一些路基无线电导航系统，比如VOR,DME,TACAN,PAR,ILS,MLS,LORAN-C,OMIGA等。这些系统都是在陆地上设置自己的实时位置。历史上路基无线电导航系统的发展，使导航信号逐渐覆盖了全球，全世界任何地方的航空和航海都可以得到导航服务。在交通稠密区和航海很窄的地方，路基无线电导航可以提供性能较高的服务，而在边远地区或越洋地区的服务性较低，但仍然基本上能保障航行的要求。因此，路基无线电导航的进步大大促进了世界空中和海上运输，为战后经济的发展作出了重要贡献。（二）．卫星导航系统卫星导航是继惯性导航以后导航技术的又一重大进展。可以说，卫星导航是天文导航与无线电导航的结合物，不过是把无线电导航台放在卫星上。因此，卫星导航仍属于无线电导航的范畴。属于卫星导航系统的有第一代卫星导航系统子午仪；1978年由法国国家空间研究中心、美国宇航局和美国国家和海洋及大气监督局发展起来的多普勒卫星系统（ARGOS）；1983年因商业需要而提出的世界上第一个能提供无线电测量、无线电导航及定位、双向数字通信和求助服务的商用网络系统；1985年由欧洲空间局开发的多用途卫星定位系统（NAVSAT）；原苏联开发的卫星导航系统（GLONASS）及美国的全球定位系统（GPS）.子午仪系统由6颗卫星组成，卫星轨道近似圆形，轨道倾角为90°左右，轨道高度约为1100公里，周期约107分钟，每颗卫星覆盖半径为3000～3500公里。对地面用户来说，1颗卫星每次通过天空仅有18分钟的跟踪观测弧度。卫星连续播发400MHz和150MHz两种载波信号，供用户对卫星进行观测。在400MHz的载波上调制有导航电文，它向用户提供卫星的位置和时间信息，用于用户的位置解算。由于子午仪系统具有诸如不能进行连续导航、定位时间间隔较长（1.5～4小时）等不足之处，美军提出了对子午仪的修改计划，同时在1964年开发海军的TIMATION计划及空军的621B系统。1973年12月，这两种系统合并成为现在的Navstar-GPS方案。GOONASS的起步晚于GPS九年。从前苏联于1982年10月12日发射第一颗GLONASS卫星开始，1995年初只有16颗GLONASS卫星在轨工作，1995年进行了三次成功发射，将9颗卫星送入轨道，完成了24颗工作工作卫星加1颗备用卫星的布局。经过数据加载，调整和检验，1996年1月18日，整个系统正常运行。GLONASS卫星星座的轨道为三个等间隔椭圆轨道，轨道面间的夹角为120度，轨道倾角64.8度，轨道的偏心率为0.01，每个轨道上等间隔地分布8颗卫星。卫星离地面高度19100Km，绕地运行周期约11小时15分，低迹重复周期8天，轨道同步周期17圈。由于GLONASS卫星的轨道倾角大于GPS卫星的轨道倾角，所以在高纬度（50度以上）地区的可视性较好。GLONASS系统可供国防民间使用，不带任何限制，也不计划对用户收费，该系统将在完全布满星座后遵照已公布的性能运行至少15年。民用的标准精度通道（CSA)精度数据为：水平精度50-70m，垂直精度75m，并声明不引入选择可用性（SA)。测速精度15cm/s，授时精度为1us[7]。GEOSTRA 系统由美国70年代提出，利用地球同步卫星进行导航定位和通信。GEOSTAR系统由沿赤道均匀分布的6颗卫星、地面中心站和用户设备组成。地面中心站用6500MHz的频率向1颗卫星发射咨询信号，卫星接收到咨询信号后将它转换为2492MHz的信号向各用户转发。用户收到卫星信号后随即作出响应，发出1618MHz的应答信号，经两颗卫星转发，将其送回地面中心站。中心站发出咨询信号的时刻和应答信号返回的时刻可计算出各个卫星至用户的距离，进而确定出用户的二维位置。GEOSTAR的特点是卫星数量少，结构简单，主要工作集中在地面中心站，用户设备简单，价格低廉，同时具备定位和通信服务功能。GPS定位系统导航定位原理。GPS系统的空间部分由21颗卫星组成，均匀分布在6个轨道面上，地面高度为20000余公里，轨道倾角为55度，扁心率约为0，周期约为12小时，卫星向地面发射两个波段的载波信号，载波信号频率分别为1575.442MHz（L1波段）和1227.6MHz（L2波段），卫星上安装了精度很高的原子钟，以确保频率的稳定性，在载波上调制有表示卫星位置的广播星历，用于测距的C/A码和P码，以及其它系统信息，能在全球范围内，向任意多用户提供高精度的、全天候的、连续的、实时的三维测速、三维定位和授时。GPS系统的控制部分由设在美国本土的5个监控站组成，这些站不间断地对GPS卫星进行观测，并将计算和预报的信息由注入站对卫星信息更新。GPS用户设备接受卫星发布的信息，根据星历信息，可以求得卫星发射信号是的位置。用户设备还测量卫星发射信号的时刻与信号达到用户接收机的时刻差。则卫星到用户的距离为（c为光速），由于是个未知量（用户接收机的位置再加上接收机钟差），因此用四颗卫星就能确定接收机的位置。（1-1）上式中表示接收机的位置，表示第颗卫星的坐标，为接收机时钟差。除了为用户提供位置信息和时间信息外，GPS还能提供接收机的三个速度分量，这是通过测量GPS载波信号的多普勒频移获得的伪距变化率，从而可建立另外四个方程：（1-2）上式中表示接收机的运动速度，表示第颗卫星的运动速度，表示接收机钟差变化率。从而，将GPS接收机接收的伪距和伪距变化率作为观测量，采用最优估计的方法计算出各状态参量。（三）．惯性导航系统惯性导航是一种自主式的导航。它完全依靠机载设备自主完成导航任务，和外界不发生任何光、电联系。因此隐蔽性好，工作不受气象条件的限制。这一独特的优点，使其成为航天、航空和航海领域中的一种广泛使用的主要导航方法。惯性导航的基本工作原理是以牛顿力学定律为基础的。在载体内部测量载体运动加速度，经积分运算得载体速度和位置等导航信息。图1.1表示平面导航时的原理图[1]。图1-1惯性导航原理图实际的惯性导航系统能完成空间的三维导航(航天、航空)或球面上的二维导航(航海)。从图1-1可以看出，惯性导航系统由以下几个部分组成[4]。加速度计用来测量载体运动的加速度。惯导平台模拟一个导航坐标系，把加速度计的测量轴稳定在导航坐标系，并用模拟的方法给出裁体的姿态和方位信息。为了克服作用在平台上的各种干扰力矩，平台必须有以陀螺仪作为敏感元件的稳定回路。为了使平台能跟踪导航坐标系在惯性空间的转动，平台还必须有从加速度计到计算机再到陀螺仪并通过稳定回路形成的跟踪回路。导航计算机完成导航计算和平台跟踪回路中指令角速度信号的计算。控制显示器给定初始参数及系统需要的其他参数，显示各种导航信息。图1-2表示平台式惯导系统各部分相互关系的示意图。图1-2平台式惯导系统原理图从结构上来说，惯导系统有两大类：平台式惯导和捷联式惯导。平台式惯导中，惯性元件安装在惯导平台上，利用陀螺仪通过伺服电机驱动平台，使它跟踪一个空间坐标系（导航坐标系）。三个加速计稳定在平台的三个方向上，测量三轴上的加速度。根据计算坐标系选取的不同，平台式惯导又分为两类：空间稳定式和当地水平式。空间稳定式在载体运动过程中一直模拟惯性坐标系，所有观测和计算都在惯性系中。当地水平式稳定平台模拟当地水平坐标系。观测的结果是东北天方向上的加速度。捷联式惯导是把加速度计和陀螺仪直接固连在载体上。惯导平台的功能由计算机来完成。有时也称作“数学平台”。捷联式惯导系统原理如图1-3所示。图1-3捷联式惯导系统原理图与平台式相比，捷联式的优点在于：（1）．整个系统的体积、重量和成本大大降低。通常陀螺仪和加速度计只占惯导平台重量的1/7。（2）．惯性仪表便于安装维护，也便于更换。（3）．惯性仪表可以给出载体轴向的线加速度和角速度，这些信息是控制系统所需要的。和平台式系统相比，捷联式系统可以提供更多的导航和制导信息。（4）．惯性仪表便于采用余度配置，提高系统的性能和可靠性。惯性仪表直接固联在载体上也带来了一些新的问题。（1）．惯性仪表固联在裁体上，直接承受载体的振动和冲击，工作环境恶劣。（2）．惯性仪表特别是陀螺仪直接测量载体的角运动，高性能歼击机角速度可达400(°)/s。这样，陀螺的测量范围为0.01(°)/s～400(°)/s，量程高达。这就要求捷联陀螺有大的施矩速度和高性能的再平衡回路。（3）．平台式系统的陀螺仪安装在平台上，可以相对重力加速度和地球自转角速度任意定向来进行测试，便于误差标定。而捷联陀螺则不具备这个条件，因而装机标定比较困难，从而要求捷联陀螺有更高的参数稳定性。惯导系统也可以按照采用的导航坐标系的不同来分类，主要有两类：当地水平惯导系统：采用当地水平坐标系做为导航坐标系。其中包括：指北方位惯导系统，自由方位惯导系统、游动方位惯导系统等。空间稳定惯导系统：导航坐标系采用惯性坐标系，即惯导平台稳定在惯性空间。这种惯导平台只有稳定回路，不需要跟踪回路。1.2发展概况捷联惯导系统目前广泛应用于飞机导航，例如“空中客车”，“波音757”等。其精度越为1－2nmile/h，（1n

mile=1852m

/1nmile/h=0.514m/s），属于中等精度惯导系统。20世纪80年代末，美国LITTON公司已研制出了高精度（0.2nmile/h）捷联惯导系统。回顾捷联惯导的发展，早在1956年美国就有了捷联惯导系统的专利。但当时由于缺乏用于捷联惯导的惯性器件和计算机，所以无法实现。60年代初期，美国联合飞机公司哈密尔顿标准中心研制的LM/ASA捷联系统，首先在“阿波罗”登月舱中得到应用，随后HONEYWELL公司的H-401型SINS，成功的制导了普莱姆飞行器。60年代后期，捷联系统有了很大的发展。1966-1973年，美国联合公司制造的SINS，先后装备了登月舱，三级火箭，登陆艇等。美国海军、空军于1969年决定为飞机和导弹研制捷联式惯性导航系统，其中较为出色的有：洛克威尔公司研制的采用静电陀螺的中等精度为1nmile/h，测速精度为5ft/s，平均故障间隔时间为2000h。LINS的定位精度为1nmile/h，测速精度为3ft/s,平均故障时间间隔为2500h；法国SEX-TANT公司的TOTEM－3000组合导航系统定位精度和测速精分别为0.5nmile/h、0.7m/s[6]。GPS,INS各自的优缺点和性能的互补性等客观应用的需要，促使二者组合在一起；而计算机技术的迅速发展，有条件提供了运算速度高，存储量大的机载计算机，这就为组合系统的发展创造了很好的技术条件；现代控制理论的成就，特别是最优估计理论的数据处理方法以及多传感器数据融合技术，为组合系统提供了理论基础。随着相关科学的成熟，本世纪70年代，现代组合导航系统在航海与航天等领域随着现代高科技的发展应运而生。随着电子计算机技术特别是微机技术的迅猛发展和现代控制理论的进步，从而70年代组合导航技术开始迅猛发展起来。过去单独使用的各种导航设备，通过微型计算机组合到一起，发挥各自的特点，扬长避短，加之使用卡尔曼滤波技术等数据处理方法，使系统导航能力，精度、可靠性和自动化程度大为提高，组合导航成为目前导航技术发展的方向之一。我国7、80年代开始研究组合导航技术，目前有成熟的技术可应用于各种类型的军用与民用的舰船上。组合导航系统是组合不同特点导航设备与导航方法，应用计算机技术对各种导航信息进行综合处理，以提高系统性能的导航方法、显示技术以及控制系统、数据处理等理论。仿真技术是以相似原理、信息技术、系统技术以及其应用领域有缘的专业技术为基础，以计算机和各种物理设备为工具，利用系统模型对实际的工作系统或假想的工作系统进行仿真研究的一种综合技术。仿真技术集成了现代科学中各种手段，正积极的扩大人类的视野和能力，在科学领域中产生日益重要的作用[41]。1.3组合导航的必要性惯导定位技术有完全自主式、保密性等优点，但误差随时间迅速积累增长，而且加温和初始对准所需要的时间也比较长。随时间增长，因而难以长时间的独立工作。解决这一问题的途径有两个，一是提高惯导系统本身的精度；另一个是采用综合导航技术。提高惯导系统的精度，主要依靠采用新材料、新工艺、新技术、提高惯性器件的精度，或研制新型高精度的惯性器件。实践已经证明，这需要花费很大的人力和财力，且惯性器件精度的提高是有限的。而综合导航则主要是通过软件技术来提高导航精度，实践也已证明，这是一种很有效的方法。因而，综合导航技术是目前导航技术发展的主要方向[40]。GPS全球定位系统是一种高精度的全球三维实时导航的卫星导航系统，其导航定位的全球性和高精度，使之成为一种先进的导航设备。但是GPS全球定位系统也存在着一些不足之处，主要是：(18+3)的星座对地球覆盖不完善，特别在中纬度地区，存在着所谓“间隙区”。另外，GPS接收机工作受飞行器机动的影响，当飞行器的机动超过GPS接收机的动态范围时，接收机会失锁，从而不能工作，或者动态误差太大，超过允许值，不能使用。当用在无人驾驶的飞行器上时，由于GPS接收机数据更新频率低(一般每秒一次)，因而难以满足实时控制的要求。由于上述不足，因此目前GPS全球定位系统还只能作为一种辅助导航设备(SupplementalNavigation)，而不能作为唯一的导航设备(Sole-meansNavigation)使用，但因GPS导航定位的全球性和高精度，将其作为惯性导航系统的一种辅助导航设备自然是一种比较理想的选择[16]。GPS/INS综合，克服了各自缺点，取长补短，使综合后的导航精度高于两个系统单独工作的精度，综合的优点表现为：对惯导系统可以实现惯性传感器的校准、惯导系统的空中对准、惯导系统高度通道的稳定等，从而可以有效地提高惯导系统的性能和精度；而对GPS全球定位系统，惯导系统的辅助可以提高其跟踪卫星的能力，提高接收机的动态特性和抗于扰性。另外，GPS/INS综合还可以实现GPS完整性的检测，从而提高了可靠性。GPS／INS综合还可以实现一体化，把GPS接收机放入惯导部件中，这样使系统的体积、重量和成本都可以减小，且便于实现惯导和GPS的同步，减小非同步误差。总之，GPS／INS综合可以构成一种比较理想的导航系统，是目前导航技术发展的主要方向。1.4主要研究内容和意义近年来，我国在导航方面虽然有很大的进步，但是与发达国家相比还是有很大的差距的。尤其在军用方面，武器系统的性能与导航的精度有很大的关系，所以导航精度的提高，对我国武器的质量和威慑力都有很大的促进作用。因此，对各种导航系统进行深入研究，探讨不同的组合导航方案和数据处理的方法事很有必要的。本文主要研究惯导的工作原理，并且在计算机上完成惯导的仿真。在此基础上，研究惯导的各种特性。最后利用仿真平台，研究惯导和GPS组合导航的方法以及它的一些特性。主要完成如下的工作：（1）根据惯性导航系统的原理，采用VC＋＋对惯性导航的工作原理进行仿真计算，构建一套惯导的仿真平台。（2）为了得到更加接近真实的惯性单元测量数据，对陀螺仪和加速计进行误差仿真。这样能更好的分析惯导的误差特性。（3）对初始对准进行研究。首先研究粗对准的原理和方法，并在静基座条件下用卡尔曼滤波，研究惯导的精准过程，用Matlab实现精对准中卡尔曼滤波器的设计与仿真。（4）根据多传感器数据融合理论，对SINS/GPS组合导航系统的位置、速度组合进行研究，给出初步的设计思想，推导出卡尔曼滤波方程。

第二章捷联惯导系统建模捷联式惯性导航系统的建模，主要是根据捷联式惯导的工作原理以及其数学解算的方法，采用矩阵变换及刚体转动的原理，使跟踪物理分量在不通坐标系之间转行，解算出需要的坐标系内的物理信息，这整个过程又称作力学编排或机械编排。它体现了从加速度计的输出到计算出即时速度和位置的整个过程。作为舰船运动，一般具有三个角运动及两个线运动自由度，欲想在这样的运动条件下达到舰船导航目的，首先应通过惯性敏感器——陀螺仪在舰般上建立一个基准坐标系，对于平台式的惯性导航系统，这个基准坐标系是通过平台来实现的，而捷联式惯性导航系统是通过计算机内的软件来实现的。然后由测得的方位加速度分量通过计算机积分计算出舰船的瞬时速度和位置。2.1导航系统中常用的坐标系为了叙述明了，对论文中涉及的导航用部分坐标系在这里作统一介绍[1]。（1）．惯性坐标系(简称系)导航中常用惯性坐标系作为参考坐标系。根据使用要求的不同，可选择不同指向的惯性坐标系。地心惯性坐标系：坐标系原点为地心，和轴在地球赤道平面内，轴指向春分点，春分点是天文测量中确定恒星时的起始点，轴指向地球极轴。地球卫星轨道惯性坐标系：围绕地球做惯性固轨道(或椭固轨道)飞行的卫星，也常用轨道平面内相互垂直的两轴以及通过轨道平面中心的法线组成地球卫星轨道惯性坐际系，作为测量卫星位置的基准。起飞点(发射点)惯性坐标系：有些飞行载体(例如导弹)，也常用起飞(发射)时刻的起飞点(发射点)地理坐际系，作为测量该载体飞行位置的基准。（2）．地球坐标系(简称e系)原点为地球中心，轴指向地球极轴，轴通过零子午线。（3）．地理坐标系(简称g系)原点为载体重心，轴指向东，即E；轴指向北，即N；轴指向天顶。有的导航系统也采用北西天或北东地作为地理坐标系的轴向。轴向的确定与沿用习惯、使用方便以及地处东半球还是西半球等情况有关，从导航计算方便的意义上讲差别是不大的。（4）．载体坐标系(简称b系)原点为载体重心，轴指向载体纵轴方向；轴指向载体竖轴方向。2.2四元数理论四元数理论是数学中的一个古老的分支，1943年由哈密顿首先提出来。四元数数学方法作为描述坐标系变换关系和求解姿态矩阵的方便工具，在捷联惯导技术中得到广泛应用[8]。本文采用四元数计算捷联矩阵并介绍四元数微分方程及其求解。（一）．用四元数表示刚体的转动由刚体绕定点运动的转动定理得知，刚体由一位置到另一位置的有限转动，可以通过绕定点的某一轴转过某一角度的一次转动来实现。即动坐标系相对参考坐标系的方位等效于动坐标系绕某个固定轴转动一个角度。固定轴叫欧拉轴，角度叫欧拉角。如果用表示欧拉轴向的单位矢量，则动坐标系的方位可以完全由和两个参数来确定。用和可构造四元数： （2-1）这里，，，是虚轴单位，是四元数的标量部分，，，是四元数的向量部分。也可以用下式进行表达：（2-2）假定矢量绕通过定点的某一转轴转动了一个角度θ，其对应的转动四元数为： （2-3）则转动后的矢量为，以四元数描述的和的坐标转换关系为： （2-4）其中为四元数乘法算子，为四元数的共轭四元数： （2-5）由于为单位四元数，因此 （2-6） （2-7）单位四元数的逆与其共轭四元数相等，即（2-8）对于三维空间中的位置矢量同样可以用四元数来表示，四元数的标量部分为0，向量部分对应位置矢量的相应部分。（二）．四元数微分方程如果己知载体转动四元数的四元,，，即可求出载体坐标系到参考坐标系的变换矩阵，进而进行捷联惯导系统的导航计算。在捷联惯导系统工作过程中，惯性测量装置中的陀螺仪，得到输出的转动角速度，并非直接测出载体的转动四元数。为了表示载体相对参考坐标系的转动四元数与转动角速度之间的关系，建立如下四元数微分方程[12]： （2-9）其中，为载体坐标系内陀螺的输出角速度。 （2-10）通过求解上式中的微分方程，可以得到不同时刻的转动四元数。但由于计算误差的存在，破坏了单位四元数四元平方和为1的条件，从而使得归一化条件不再存在，因此必须对进行归一化。采用下式实现四元数的最佳归一化： （2-11）作为运载体姿态的表征，姿态四元数和方向余弦阵之间存在如下关系：（2-12）这里，,，，是的四元数。2.3捷联惯导系统的基本原理捷联式惯性导航系统是把惯性元件，即陀螺仪和加速度计直接固定在运载体上，陀螺仪和加速度计分别测量载体相对于惯性空间的三个转动角速度和三个线加速度沿运载体坐标系的分量，经过坐标变换，把加速度信息转化为沿导航坐标系的加速度。经过计算，得到运载体的位置、速度、航向和水平姿态等各种导航信息[44]。加速度计装在惯性平台上。加速度计作为测量部件，惯性平台作为基准面，受陀螺仪和计算机的控制，随时踉踪地理坐标系。将这个系统固定在载体上，载体从某一已知点出发，运行到其他需要测定坐标的点上。沿途加速度计测定南北方向的加速度，加速计测定东西方向加速度。这两个加速度计时刻保持在水平位置。如图1-1所示。由于此处只讨论平面位置的测定，故未把垂向加速度计画出来。将测出的加速度信号进行一次积分后，可分别获得载体的速度分量，即东向速度和北向速度。再对速度进行一次积分，并顾及初始位置，，以及初速为零的情况，就得到载体的位置为[11]： 地面上点的位置通常用经、纬度表示，从图2-1中可以看出其转换关系。图中P点是载体的初始位置，其经纬度为，。经短时间t后，从点运行到点。在子午圈和卯酉圈上的分量为和。图2-1球面导航定位原理由图可知： （2-13）与此相应的经度、纬度的变化为： （2-14）故载体的经纬度为： （2-15）式中，分别为P点的子午圆，卯酉圈的曲率半径。2.3.1捷联惯导姿态矩阵的计算捷联式系统的主要特征是用计算机来完成导航平台的功能，即采用所谓“数字平台”。数字平台就是用捷联陀螺测量的载体角速度计算姿态矩阵，从姿态阵的元素中提取载体的姿态和航向信息，并用姿态矩阵把加速度计的输出从载体坐标系变换到导航坐标系，然后进行导航计算。由于载体的姿态方位角速率较大，可高达400°/s．所以姿态矩阵的实时计算对计算机提出了更高的要求。姿态方位实时计算也是捷联式系统主要技术关键之一[13]。载体的姿态和航向是载体坐标系和地理坐标系之间的方位关系。确定两个坐标系之间的方位关系问题，是借助力学中的刚体定点转动理论。描述动坐标系相对参考坐标系方位关系的方法有多种，我们简单地把它们分作三类，即三参数法、四参数法和九参数法。三参数法也叫欧拉角法；四参数法通常指四元数法；九参效法是方向余弦法，考虑到转动的不可交换性，有时用等效转动矢量加以辅助[5]。（一）．欧拉角法一个动坐标系相对参考坐标系的方位，可以完全由动坐标系依次绕三个不同的轴转动的三个角度来确定。如把载体坐标系作为动坐标系，把地理坐标系作为参考坐标系，则姿态角，和航向角即为一组欧拉角，如图2-2所示。图2-2欧拉角我们用表示载体坐标系相对地理坐标系的角速度在载体坐标系轴向的分量构成的列矢量。则从图2-2可以看出和姿态航向角速度，，的关系为 （2-16）(2-16)式即欧拉角微分方程。根据角速度可以求解,,三个角度。微分方程虽然只有三个，但每个方程都包含三角函数运算，且当＝时，方程出现“奇点”方程式退化，故不能全姿态工作。（二）．方向余弦法（1）．用方向余弦表示的姿态矩阵方向余弦法是用矢量的方向余弦来表示姿态矩阵的方法。用表示沿地理坐标系轴向的单位矢量，用表示沿机体坐标系轴向的单位矢量。在地理坐标系内的方位可以完全由的三个方向余弦来确定。其表达式为 （2-17）同样可以得到，。写成矩阵形式为（2-18）（2）．方向余弦矩阵微分方程及其求解由矢量的相对导数和绝对导数的关系式 （2-19）并以地理坐标系作为参考坐标系，用来代替惯性坐标系，在大小不变时，有，把这个式子在地理坐标系内表示，并写成矩阵的形式，即为 （2-20）式中 （2-21）(2-21)式是机体坐标系相对地理坐标系的转动角速度沿地理坐标系轴向的分量的反对称阵形式，通常用符号或表示。另外，从固定矢量的坐标系变换有 （2-22）两边求导，由于＝0得 （2-23）和(2-20)式相比得 （2-24）用于这是个变系数齐次微分方程，这个方程可用毕卡逼近式法进行求解。得到(2-25）其中 （2-26）由此得到姿态矩阵的算法为：一阶算法： （2-27）二阶算法： （2-28）三阶算法： （2-29）四阶算法：（2-30）（3）．方向余弦矩阵的正文化姿态矩阵应该是正交的，但由于陀螺的误差和计算误差，使计算得到的姿态阵失去正交性，从而给比力的变换带来误差。为了消除这种误差，需要对计算的姿态阵周期的进行正交化。矩阵的最优正交化，就是找一个最接近计算矩阵的正交阵。最接近的概念是正交阵和计算阵的差值范数最小，即欧氏空间的距离最短。我们用表示计算的矩阵，表示正交化后的矩阵。如果最小或最小，则称是的最优正交化矩阵。设，由，得 （2-31）用表示带入（2-31）式可以写成（2-32）取前两项，则 （2-33）写成迭代形式 （2-34）用(2-34)式进行矩阵正交化，迭代2~3次就可以了。用方向余弦法计算姿态阵，没有方程退化问题，可以全姿态工作，但需联立求解九个微分方程，计算量较大。（三）．四元数法（1）．四元数与方向余弦的关系将固定矢量的坐标变换即(2-4)式写成矩阵形式，并以地理坐标系为参考坐标系，则有 （2-35）其中，为四元数的共轭反对称矩阵形式，和的形式相同，只是上的元素互为转置，展开矩阵，把第一行第一列去掉．则得（2-36）按(2．82)式即可由四元数求得姿态矩阵[13]。（2）．四元数微分方程及其解由（2-9）和（2-10）式中的四元数的微分方程，对其求解，类似矩阵微分方程，可用毕卡逼近法求解。其解为 （2-37）式中 （2-38） 写成三角函数形式 （2-39）其中，的计算方法与方向余弦法中的计算方法一样。一阶算法： （2-40）二阶算法： （2-41）三阶算法： （2-42）四阶算法： （2-43） 和方向余弦法类似，在应用中可把四元数的校正分为载体坐标系的转动校正和导航坐标系的转动校正。前者用较高的迭代频率且用高阶算法，而后者用较低的选代频率且用低阶算法。四元效法是捷联姿态计算中常用的方法[23]。 和方向余弦阵的情况类似，由于计算中的误差，使计算的变换四元数的范数不再等于1，即计算的四元数失去规范性，因此对计算的四元数必须周期地进行规范化处理。 四元数的归一化按（2-11）式中的方法对更新后的四元数进行归一化。即 （2-44）（四）．等效转动矢量法在方向余弦法和四元效法中我们都用了角速度矢量的积分 （2-45）当不是定轴转动时，即矢量的方向在空间变化时，上式是不成立的，即角度不是矢量。故采用角速度矢量积分时，使计算产生了误差，称作转动不可交换性误差。只有积分区间很小时，上式才近似成立。使(2-45)式成立的方法是给加一个修正量使 （2-46）成立。这里称作等效转动矢量。修正量的表达式为 （2-47）故 （2-48）用等效转动矢量代替方向余弦法或四元效法中的，则可以避免转动不可交换性误差。在实际应用中可只取前两项，即 （2-49） （1）．等效转动矢量的单样子算法 （2-50）所以在方向余弦或四元数的一阶或二阶算法中，这个修正量可以略掉。在三阶算法中需要虑这个修正项，即或（2-51）（2）．等效转动矢量的双样子算法如果在一个迭代用期内对陀螺仪采样两次，即 （2-52）则类似单样子的情况可求得 （2-53）代入方向余弦阵和四元数的三阶算法中得或（2-54）等效转动矢量的迭代计算可用较高的频率如100Hz，通常称作快速回路。而用了等效转动矢量后的四元数或方向余弦阵的计算，则可用较低的迭代频率如20Hz，通常称作慢速回路。两种回路的结合构成了捷联姿态阵的计算。2.3.2捷联惯导的程序编排捷联惯导力学编排的任务就是按照合适的数学模型由观测量计算出导航定位参数。具体原理如图2-3所示。从原理上讲，捷联惯导的力学编排计算，可以在惯性坐标系、地理坐标系、或当地水平系、载体坐标系中的任一个坐标系中进行。一般在导航应用中采用当地水平坐标系，其基本力学编排如下：图2-3捷联惯导系统程序编排（一）．姿态矩阵的计算设载体坐标系固连在机体上，其,,轴分别沿载体的横轴、纵轴和竖轴。取地理坐标系为理想的平台坐标系。,,分别为载体的航向角、俯仰角和横滚角。从而，实现由载体坐标系到平台坐标系的坐标转换的姿态距阵(=)为（2-55）姿态距阵的计算采用四元数法，求出姿态四元数后，用四元数和姿态距阵元素的对应关系，计算出姿态距阵[16]。（1）．四元数的修正按照2.2节中的方法进行四元数的修正。假定在很小的采样间隔内角速度向量为常数，则四元数更新方程为 （2-56）其中 （2-57）再按（2-56）～（2-57）式对四元数进行更新后，存在舍入误差、截断误差以及交换误差等各种误差的存在，导致捷联距阵成为非正交阵，因此，对捷联距阵进行正交化处理可以消除引起不正交的算法误差源的影响。所以在四元数更新后，按照一定周期对四元数进行归一化，使转换矩阵的漂移误差最小。（2）．姿态矩阵的更新归一化后，进行姿态矩阵的计算，得（2-58）其中为归一化后的四元数。（二）．载体姿态位置信息的计算（1）．比力的坐标转换通常我们说“用加速度计测量载体的运动加速度”，实际上这个说法并不确切，因为加速度计测量的不是载体的运动加速度，而是载体相对惯性空间的绝对加速度和引力加速度之差，称作“比力”。载体相对地球运动，地球又相对惯性空间运动，因此，对地球而言，载体的惯性加速度包含了相对加速度和哥氏加速度等。要求得载体相对地球的运动，就要建立这些加速度之间的关系式，即比力方程。 （2-59）加速度计测量的比力通过姿态距阵可转换为，即 （2-60）（2）．速度的更新由加速计得到的比力信息，经过转换得到，根据比力方程得到， （2-61）写成矩阵形式，得（2-62）的更新可以求解上边方程组来，求解时可以采用四阶龙格－库塔法来做。（3）．位置的更新在指北系统中，位置的计算用下边方程组来求得： （2-63）其中，为子午圈曲率半径，为卯酉圈曲率半径，为地球长半径，为6378.393km，为地球椭球率，为。解上式得到位置。（4）．位置矩阵的更新位置距阵可以通过求解下列的矩阵微分方程而得: （2-64）将位置距阵与姿态距阵的即时更新相比较可以看出，由于位置距阵的变化比姿态距阵慢得多，所以它要求的即时修正的频率也要慢得多，而且不存在明显的非正交化误差，无需进行正交化处理。采用方向余弦法可直接求出位置距阵，因此采用方向余弦法进行位置阵的更新。（5）．姿态角的计算 姿态距阵可表示为姿态角,,的关系，即（2-65）由上式所表示的距阵的元素,,,,。可由下式计算,,的主值 （2-66）由，，判断其真值,,的公式是 （2-67） （2-68） （2-69）（三）．各种角速率的计算在姿态距阵计算和导航计算中，要用到姿态速度、位置角速度、地球自转角速，其计算公式如下：（1）．位置角速度的计算 （2-70）其中，为子午圈曲率半径，为卯酉圈曲率半径，为地球长半径，为6378.393km，为地球椭球率，为。（2）．地球自转角速度的计算 （2-71）其中。（3）．姿态角速度的计算 （2-72）其中所对应的，，从三个陀螺仪提取，，。（四）．初始条件的给定与初始数据的计算上边的各种计算都需要知道数据，一类是开始计算时给定的初始条件，另一类是通过计算获得的初始数据。捷联惯导系统的初始化包括：给定初始位置和初始速度;惯导平台的初始对准;计算初始数据。（1）．给定的初始数据初始数据包括初始位置，，，以及初始速度，,。（2）．惯性平台的初始对准捷联惯导系统的初始对准的目的就是确定捷联距阵（）的初始值。对于指北方位捷联惯导系统，理想的平台系p即为地理坐标系，即。在静基座条件下，捷联惯导系统的加速度计的输入量为，陀螺仪的输入量为地球自转角速。因此，就成为初始对准的基准。将陀螺仪与加速度计的输出引入计算机，通过计算机就可计算出捷联距阵的初始值。进行初始对准时，经纬度是已知的。因此重力加速度和地球自转角速度。在地理坐标系中的各分量都是确定的，它们可表示为: （2-73） （2-74）然后由和构成一个新向量即 （2-75）根据地理坐标系与载体坐标系之间的转换距阵可得到下列公式: （2-76）由以上三个向量等式可以写出九个标量方程。由于与可以测得，而、、、均可以通过计算得到，因此联立求解九个标量方程就一可以求出的各元素的值，从而得到捷联距阵。由于陀螺仪和加速度计的输出存在误差，因此得到的为近似值。至此完成了解析粗对准。在此基础上进一步进行精对准，以达到对准的要求。（3）．初始数据的计算初始姿态的计算：可以由初始对准后的中的元素计算得到。初始四元数的计算： （2-77）初始角速度的计算：和分别由式(2-70)和(2-71)计算。2.4本章总结捷联惯导的原理，从根本上讲就是相对运动的问题。由于惯性器件所测量的信息是载体相对于惯性系的信息，我们要得到的位置和速度信息是载体相对于地理坐标系的信息。由于地球自转的影响，所以要想从载体相对于惯性系得到载体相对于地理坐标系，那么就要知道地理坐标系相对于地球坐标系，地球坐标系相对于惯性系，这两个关系。根据相对运动的原理，即可得到载体相对于地理坐标系的信息。捷联惯导系统建模，关键是按照图2-3建立其各个部分的数学模型。由于捷联惯导的“平台”部分是有姿态矩阵来实现的，所以捷联惯导中，姿态矩阵的计算显得格外重要，它是整个捷联惯导的核心，它完成了主要坐标系，即载体系到当地水平系之间的变化，也是捷联惯导中姿态计算的直接来源，所以它的精度和稳定性直接关系到捷联惯导的性能。

第三章捷联惯导系统仿真根据第二章的捷联惯导的程序编排，用计算机程序实现各个部分的功能；同时，为了给惯导提供三个加速度和三个角速度供解析计算，必须有载体的航迹姿态模拟部分；在惯导进入工作之前，还要进行惯导的初始对准，初始对准就是确定初始时刻的姿态矩阵。本章针对以上问题进行程序的实现和仿真研究。3.1捷联惯导的初始对准惯性导航系统在进入正常工作状态之前，必须解决积分运算的初始条件、姿态角的确定、陀螺漂移的确定等问题。初始条件包括初始速度和初始位置。在静基座条件下，初始速度为零，初始位置即当地的经纬度和高程。赋予系统的初始速度及位置的操作过程很简单，只要将这些初始数据输入至计算机即可。初始调整是使平台坐标系与导航坐标系重合，在指北方位系统中就是使平台坐标系与地理坐标系重合。惯导系统是一种自主式导航系统。只要给定导航的初始条件(如初始速度、位置等)，便可根据系统中的惯性敏感元件测量的比力和角速率通过计算机实时的计算出各种导航参数。由于“平台”是测量比力的基准，因此“平台”的初始对准就非常重要。对于平台惯导系统，初始对准的任务就是要将平台调整在给定的导航坐标系的方向上。若采用游动方位系统，则需要将平台调水平，称为水平对准，并将平台的方位角调至某个方位角处，称为方位对准。对于捷联惯导系统，由于捷联矩阵T起到了平台的作用，因此导航工作一开始就需要获得捷联矩阵T的初始值，以完成导航任务。显然捷联惯导系统的初始对准就是确定捷联矩阵的初始值。在静基座条件下，捷联惯导系统加速度计的输入量为，陀螺的输入量为地球自转角速度。因此与就成了初始对准的基准。将陀螺与加速度计的输出引入计算机，可计算出捷联矩阵T的初始值。由以上的分析可以看出，陀螺与加速度计的误差会导致对准误差，对准时载体的干扰运动也是产生对准误差的重要因素。因此滤波技术对捷联系统尤其重要。由于初始对准的误差将对捷联惯导系统的工作造成难以消除的影响，因此研究初始对准时的误差传播方程是非常必要的。在静止载体上，完成初始对准称为静基座对准。其导航的初始条件为：初速度为零，初始位置为当地的经纬度。3.1.1初始对准的基本原理初始对准是通过确定初始的捷联矩阵将平台坐标系选定在一定的导航坐标系上。若导航坐标系选为地理坐标系，轴指向北，轴指向东，轴指向天顶方向。从而在初始时刻平台坐标系与地理坐标系重合。在此基础上来确定平台坐标系与载体坐标系之间的转换矩阵的初始值T[4]。初始对准的原理如图3-1所示：图3-1初始对准的原理图由于静基座条件下，，因此加速计的理想输入为 （3-1）上式中的物理意义是指由重力的反作用力引起的加速度计的输出，其方向与重力的方向相反。然而由于加速度计误差，以及载体干扰加速度的存在，加速度计的输出不是，而是。同样，由于陀螺的测量误差及载体干扰角速度的存在，陀螺的输出也不是而是。这时的平台坐标系是通过计算得到的地理坐标系。而则是在初始对准时通过计算获取的。图3-1中将经过坐标转换获得的和作为对准信息引入对准回路，经过滤波并进行坐标转换获得修正角速度去修正。当未进行对准修正时，=0，几个角速度之间的关系为 （3-2）考虑到陀螺的测量误差及载体的干扰运动而引起的误差，则有，设表示了由于各种干扰及仪表误差而引起的测量误差。为减小减而引入了修正，即 （3-3）3.1.2初始对准的误差传播方程（一）．坐标系转动小角度的矩阵表示法当坐标系沿分别转动后，得到新的坐标系，当转动角度很小时，则两个坐标系之间的关系可用如下的矩阵方程来表示[28]： （3-4）显然，当两个坐标系之间转动为小角度时，根据小角度是向量原理，可以将相对于的微小位置变化用小角度向量表示，可写成 （3-5）式中，可看成沿轴的投形分量。向量的反对称矩阵中可写成 （3-6）从而可将式(3-3)写成 （3-7）式(3-5)为坐标系转动的小角度的矩阵表示法。（二）．初始对准的误差传播方程设计算地理坐标系为G，与地理坐标系g之间的夹角为，表示初始对准的误差，并表示为 （3-8）向量的反对称矩阵为 （3-9）根据式（3-4）到（3-7），由地理坐标系g至计算地理坐标系G的坐标转换矩阵可表示 （3-10）反之，由计算地理坐标系G至地理坐标系g的坐标转换矩阵。考虑到为正交阵，则有 （3-11）理想的方向余弦微分方程可表示为 （3-12）为的反对称矩阵。而可表示为 （3-13）对于静基座＝0有 （3-14）对于计算地理坐标系，其方向余弦矩阵的微分方程可表示为 （3-15）其中，为的反对称矩阵。理想矩阵应为常量；而的变化率则反映了计算地理坐标系G相对地理坐标系g的误差的变化规律。因此由式（3-15）可推导初始对准的误差传播方程。另外，当求得后又可根据式（3-15）对进行即时修正。只要初始对准误差传播具有收敛性，捷联矩阵的值也可逐渐修正得更加精确。为推导初始对准的误差传播方程，将式（3-3）所示的的反对称矩阵形式带入式（3-15），可得 （3-16）又因为 （3-17）由式（3-3）和式（3-17）可得 （3-18）式中反映了由于误差角而引起的误差。令 （3-19）由上式可以看出，反映了由于载体的干扰及仪表误差而引起的测量误差。由式（3-19）可将式（3-18）写成 （3-20）令为的反对称矩阵，并将式（3-20）的反对称矩阵代入式（3-15），可得 （3-21）由矩阵转换关系可得 （3-22）根据矩阵的微分方程对上式进行微分，可得 （3-23）对于理想情况有，故=0。得 （3-24）因为的倒数为，代入式（3-24）可得 （3-25）于是 （3-26）根据相似变换定理，可得与相对应的向量形式，即 （3-27）考虑到，上式可写为 （3-28）得到 （3-29）和分别为地球自转速度的北向分量和垂直分量。加速度计所测的比力经坐标转换可得 （3-30）在陀螺的测量误差中包括陀螺仪漂移和载体干扰运动角速度，即 （3-31）而在加速度计的测量误差中包括加速度计的零点漂移和载体干扰运动加速度，即 （3-32）在静基座条件下的修正角速度可根据速度误差及计算出，并有 （3-33）其中 （3-34）从而，捷联式“平台”误差方程可表示为（3-35）而加速度计输出的比力在计算坐标系的分量为 （3-36）对式（3-36）只取比力的水平分量，略去其中的二阶分量，式（3-35）与式（3-36）可写成 （3-37）式（3-37）即为初始对准的误差传播方程[29]。3.1.3初始对准的方法捷联惯导系统初始对准的目的是确定捷联矩阵。而只有通过计算机算出，计算得到的捷联矩阵为。由上一节的分析可知，当求得以后，若能求得误差角矩阵则根据式（3-10）和式（3-22）可知 （3-38）利用上式的关系便可对进行修正，从而获得更准确的，即 （3-39）（一）．解析式粗对准矩阵可以通过加速度计和陀螺仪的测量值来计算。在进行初始对准时，当地的经度和纬度是己知的，因此重力加速度和地球自转速度在地理坐标系中的分量都是确定的，可表示为 （3-40） （3-41）然后由和构成一个新向量即 （3-42）根据地理坐标系与载体坐标系之间的转换矩阵可得到下列公式: （3-43）由以上三个向量等式可以写出九个标量方程。由于与可以测得，而、、、均可以通过计算得到，因此联立求解九个标量方程就可以求出的各元素的值，从而得到捷联矩阵。但由于各种误差的存在，需要在此基础上进一步进行精对准，以达到对准的要求[31]。由式（3-43）可得 （3-44）在测出和的基础上，计算出，，然后按式（3-44）计算出初始矩阵。（二）．精对准当考虑系统为随机系统时，要采用状态反馈控制，必须对状态进行估计。常用的状态估计器就是卡尔曼滤波器。采用卡尔曼滤波技术进行初始对准的任务，就是将平台误差角估计出来，通过对系统的校正，使平台坐标系和导航坐标系对准。另外，也希望尽可能地把惯性仪表的误差（陀螺仪漂移和加速度计零偏）估计出来。由于地面对准时间不长，因此，陀螺漂移和加速度计零偏都可以看作是随机常数。对随机系统，根据分离定理，最优估计和最优控制可以分离开单独考虑。下面我们仅考虑用卡尔受滤波对平台误差角及惯性器件的误差进行估计的问题。当对系统采用开环校正时在理想的情况下，系统校正后的精度和滤波精度相同,这就是一般所谓的协方差分析方法[29][30]。精对准采用卡尔曼滤波器，状态变量包括三个失准角，三个陀螺漂移误差，两个加速度计误差共8维状态变量。在跟踪回路断开的情况下，即加速度计的输出不对陀螺施矩，此时平台误差角方程为[33] （3-45）把陀螺漂移和加速度计零偏都看作随机常数扩充到状态中，则得状态方程为 （3-46）其中，，，，，式中，为加速度计输出中除零偏以外的白噪声误差。3.2初始对准仿真根据上述方法，假定载体静止在经纬度为(，)的情况下，陀螺漂移为，。加速度计零偏为，初始误差角为＝20″，＝20″，＝30″。Q=0，则初始均方误差矩阵为，初始的状态值全为0，初始测量噪声矩阵为，系统噪声矩阵为0。经仿真计算后，结果如图3-2所示。经滤波估计后，得到三个轴的误差估计角为1.44″，0.015″，0.015″。从图形结果可以看出，,的估计速度很快，但是的估计速度很慢，大约要15分钟。对准时间是惯性导航系统初始对准性能的重要指标，而时间与精度是相互矛盾的。为了在不损害精度的情况下缩短对准时间，在惯性仪表已确定的情况下，就必须引入外部信息进行校正，以缩短导航系统的初始对准时间。图3-2精对准卡尔曼滤波估计的平台角误差3.3捷联惯导系统仿真计算机技术的飞速发展使得捷联惯导系统的设计与分析工作，特别是系统误差的分析工作可以首先在计算机上进行，在整个系统误差中，很多难以用解析的方法得出的误差都可以用数学仿真的方法得到。在此基础上可以进行对系统硬件（包括陀螺、加速度计和导航计算机等）及系统软件（包括姿态算法、比力转换算法及采样周期的选择等）的设计和选择[4]。根据上一节中讨论的指北方位捷联惯导系统的力学编排，编制了捷联惯导系统的仿真程序，并利用舰艇的摇摆运动形成的轨迹和姿态对捷联惯导系统进行了仿真。仿真中取惯导系统输出值与轨迹仿真器输出值之差作为捷联惯导系统的误差，记为：图3-3为捷联惯导的系统仿真图。航迹仿真器航迹仿真器SINS解算加速计仿真器陀螺仿真器图3-3捷联惯导系统仿真原理框图XtrueXinsΔX3.3.1航迹仿真对于给定的动态环境、航行任务，航迹仿真器可为数字仿真提供姿态、位置、速度等导航参数的理论值，为导航计算值提供比较基准，并且为惯性器件的模拟输入提供基础[17]。 假设舰船东向、北向加速度分别为，速度和位置的初始值分别为，，，（这些值由航行轨迹模块提供），由式（3-47）和式（3-48）可计算出舰船当前的速度和经纬度值。机上执行算法时采用递推方式进行求解[10]。 （3-47） （3-48）其中为导航计算周期。舰船的摇摆运动主要由横摇、纵摇和航向三种运动组合而成。摇摆轨迹可近似为正弦振荡，振荡的周期、幅值和船体初始姿态由初始模块给定。设船舶的纵摇角为，横摇角为，航向角为，为固定航向，则船体当前姿态信息为 （3-49）其中，、、为摇摆的角度，、、为摇摆的频率，、、为摇摆的初始相位。对上式求导，得 （3-50）式（3-49）和式（3-50）可以为初始对准中姿态和速度的求解提供精确的姿态基准[10]。真实航迹的导航坐标系信息转换到惯性系信息的方法如图3-4所示。图3-4航迹仿真到惯性信息的转换图3.3.2惯性器件的仿真捷联系统通过解算惯性器件的输出来得到载体的导航信息，因此需要根据设定好的仿真环境、运动路径，模拟出对应的惯性器件的输出信息。木文采用指北方位系统[15]。（一）．陀螺仪的仿真陀螺仪是敏感载体角运动的元件，由于陀螺仪本身存在误差，因此陀螺仪的输出为[20] （3-51）式中为载体相对惯性空间的角速度，为陀螺元件的误差。（1）．的计算可以由载体航迹仿真中模拟的姿态和航迹信息来得到。 （3-52）其中 （3-53） ，和可以由式(2-70)，(2-71)和(2-55)得到。 （3-54）陀螺仪漂移误差模型包括随机常数、随机斜坡、长相关时间的指数相关随机分量和短相关时间的指数随机分量。在一般分析时，为了简单起见，可把陀螺漂移看成是一个随机常数，白噪声和一阶马尔可夫过程的组合[17][18]。（2）．的计算这里仅考虑随时间漂移误差。假设三个陀螺误差模型相同，取陀螺漂移为 （3-55）式中：为随机常数，为一阶马尔柯夫过程，为白噪声，其方差为。数学模型为 （3-56）上式中为相关时间，驱动白噪声，其方差为。图3-5为陀螺仪的仿真器框图。图3-5陀螺仪仿真原理图（二）．加速计的仿真加速度计是敏感载体线运动的元件。由于加速度计本身存在误差，因此加速度计的输出为 （3-57）上式中为加速度计测得的比力，为加速度计的误差。的计算，根据惯导的基本方程计算得到： （3-58）计算中所需的位置、速度及姿态等参数由轨迹仿真器提供。加速度计的随机误差模型是随机偏置、随机斜坡和两种马尔可夫过程的组合，同陀螺漂移的误差模型类似，在简单的情况下，可以考虑为一个一阶马尔可夫过程的误差模型[19]。假设加速度计在三个轴向的误差结构相同，考虑为一阶马尔柯夫过程，则有： （3-59）上式中为相关时间，驱动白噪声，其方差为。加速度计仿真器框图如图3-6所示。图3-6加速计仿真原理图3.3.3捷联惯导系统仿真根据以上分析，可画出仿真的程序框图，如图3-7所示。为简单起见，仿真中不进行初始对准的仿真，而是假定初始对准进行完毕，直接由初始条件给出姿态误差角、、，然后由下式计算捷联矩阵的初值[1]： （3-60）其中而可由式(2-55)求出。仿真的初始条件见表3-1，采用四阶龙格－库塔法解微分方程。图3-7为捷联惯导的仿真程序流程图。表3-1初始条件初始位置40°，60°姿态角误差20″，20″，30″陀螺仪白噪声漂移0.001°陀螺仪常值漂移0.1°陀螺仪一阶马尔科夫漂移0.1°，7200s加速计一阶马尔科夫漂移0.1ug，1800s图3-7捷联惯导的仿真程序流程图仿真的的参数设置如图3-8到图3-10所示，仿真时间设为500s，由于采样系统的采样时间为0.02s，所以各个图的时间显示的是数据的个数，乘以0.02s即得时间。图3-11到图3-13为加速计和陀螺仪的噪声图，由于三个加速计和三个陀螺仪的误差模型一样，这里只给出X轴向的误差形式。图3-8仿真平台界面图3-9航迹参数设置界面图3-10惯性器件噪声参数设置图3-11加速计的一阶马尔科夫过程噪声图3-12陀螺仪的白噪声图3-13陀螺仪的一阶马尔科夫过程噪声图3-14纬度误差曲线图3-15精度误差曲线结果分析，如图3-14到图3-15，由于陀螺仪误差的存在，局部分析可以看出，经纬度的误差曲线是振荡中逐渐扩大的，这些振荡是由于陀螺仪的误差噪声引起，这就为我们对位置误差进行卡尔曼滤波提供了前提。与GPS进行组合，这些振荡误差，可以作为卡尔曼滤波器的观测值，进行滤波，可以估计出陀螺仪，加速计，位置的误差，进行综合导航。同时，我们可以发现200s之前位置误差比较小，但是过了200s，位置误差迅速扩大，可见惯导只有在开始一段时间内是定位精度是很高的，过了一定时间，误差将成指数增长。这说明单单依靠惯导进行长时间导航是不行的，必须由其他导航系统进行辅助，这样才能长久保持高精度导航。由于惯导的高度信息具有发散的性质，所以很少用到它的高度信息，这里没有进行高度的解析。3.3.4仿真系统的应用 在激光雷达地形匹配的项目中，由惯导提供主导航，激光雷达地形匹配提供辅助导航，由于试验项目没有惯导支持，所以要在此项目中规划出一条惯导的航迹，让飞行器在这条轨迹上运行，然后由激光雷达进行匹配辅助导航，来检验地形匹配导航的精度。 在航迹规划过程中，我们为了检验此套系统的稳定性和准确性，从测绘学院得到一组惯导和GPS输出的原始数据，来作为仿真系统中惯导仿真模块的输入信息。由于数据量太小（只有129.02s，采样时间为0.02s），我们对数据进行了扩展。扩展的方法为：该组数据按采样出来的时间顺序排列，为第一组数据；让其按时间的倒序排列为第二组数据；再按时间的顺序排列为第三组数据，依次。然后，把各组数据尾首相连，这可可以保证每组数据间的跳跃性不大，更符合真实的数据。其加速度和姿态信息如图3-16到图3-20所示，采样时间为0.02s，横轴为数据个数，乘以0.02s得到相应的时间值。图3-16东向加速度图3-17北向加速度图3-18航向角图3-19俯仰角图3-20横滚角图3-21纬度误差图3-22经度误差 其中，坐标轴横轴为数据量，每个数据的采样时间是0.02s，则其仿真时间为180s。 从仿真结果图3-21到图3-22来看，惯导模块仿真结果符合真实情况。误差随着时间而不断积累，到到一定时间后，基本成指数上涨。所以单独的惯性导航是不能满足高精度定位的需求，需要用其他导航方法对其进行修正。3.4本章总结通过仿真各个组成部分，可以很好了解捷联惯导的工作原理，分析各种误差的特性。由于惯性器件误差和计算误差的存在，惯导是以积分的形式来得到位置和速度信息，所以误差的逐次积分使得位置的误差越来越大，最后成指数形式发散。这就要求用其他导航系统进行辅助导航。姿态矩阵的初始对准，是根据陀螺仪和加速计在静基座的情况下的输出来进行对准，但是由于其误差