计算方法1、解线性方程组的直接方法(5.15.4)

计算方法解线性方程组直接方法4/25/20261第1页第五章解线性方程组直接方法

§5.1引言解线性方程组两类方法：直接法:经过有限次运算后可求得方程组准确解方法(不计舍入误差)迭代法：从解某个近似值出发，经过结构一个无穷序列去迫近准确解方法。（普通有限步内得不到准确解）4/25/20262第2页n阶线性方程组4/25/20263第3页4/25/20264第4页§5.2高斯消去法转化为同解方程组4/25/20265第5页§5.2.1高斯消去法计算过程4/25/20266第6页4/25/20267第7页4/25/20268第8页4/25/20269第9页4/25/202610第10页系数矩阵与常数项：4/25/202611第11页回代过程:4/25/202612第12页4/25/202613第13页消去第一列n-1个系数要计算n*(n-1）

个乘法。§5.2.2高斯消去法计算量4/25/202614第14页每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk§5.2.3矩阵三角分解4/25/202615第15页4/25/202616第16页i+1行

i+1行依次递推4/25/202617第17页定理7（矩阵LU分解）设A为n阶矩阵，假如A次序主子式Di≠0（i=1，2，…，n-1），则A可分解为一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U乘积，且这种分解是

唯一。4/25/202618第18页4/25/202619第19页§5.3高斯主元素消去法为防止此种情况发生，可经过交换方程次序，选取绝对值大元素作主元。§5.3.1列主元素消去法4/25/202620第20页选取或称此方法为全主元素高斯消去法称此方法为列主元素高斯消去法4/25/202621第21页34/25/202622第22页4/25/202623第23页定理8（列主元素三角分解定理）假如A为非奇异矩阵，则存在排列矩阵P使

PA=LU其中L为单位下三角阵，U为上三角阵。4/25/202624第24页§5.3.2高斯—若当消去法4/25/202625第25页4/25/202626第26页本章作业P17674/25/202627第27页§5.4矩阵三角分解法

§5.4.1直接三角分解法将高斯消去法改写为紧凑形式，能够直接从矩阵A元素得到计算L,U元素递推公式，而不需要任何中间步骤，这就是直接三角分解法。因为A=LU，求解Ax=b问题就等价于求解两个三角形方程组①Ly=b，求y；②Ux=y，求x.4/25/202628第28页1、不选主元三角分解法A=LU其中L为单位下三角阵，U为上三角阵（4.1）4/25/202629第29页一、直接计算ALU分解(例)4/25/202630第30页4/25/202631第31页二、普通计算公式4/25/202632第32页三、LU分解求解线性方程组4/25/202633第33页矩阵A直接分解法称为杜利特尔（Doolittle）分解4/25/202634第34页例1：将方程组系数矩阵A作LU分解，并求方程组解4/25/202635第35页解LU分解紧凑格式为4/25/202636第36页推出：4/25/202637第37页由Ux=y，即用回代法解得即为线性方程组解4/25/2026