湖南省雅礼中学2026届下学期高三月考试卷（七）数学试卷

湖南省雅礼中学2026届下学期高三月考试卷（七）数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．[2026春·高三·长沙市雅礼中学·月考]在复平面内，复数对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：复数，其在复平面内所对应的点位于第四象限，故选：D.2．[2026春·高三·长沙市雅礼中学·月考]已知符号函数，则“”是“”的(

)A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：若，则，同号，所以或，即或，即，所以“”是“”的充要条件.故选：A.3．[2026春·高三·长沙市雅礼中学·月考]已知向量，，与的夹角为，则(

)A. B. C. D.答案：C解析：由题，，，，所以，.故选：C.4．[2026春·高三·长沙市雅礼中学·月考]下列结论中，错误的是(

)A.数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6B.若随机变量，，则C.已知经验回归方程为，且，，则D.根据分类变量X与Y成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001答案：D解析：A选项，数据4，1，6，2，9，5，8排序后得到1，2，4，5，6，8，9，，故选取第5个数据作为第60百分位数，即为6，A正确；B选项，因为，根据对称性可知，故，B正确；C选项，已知经验回归方程为，且，，则，解得，C正确；D选项，，故不能得到此结论，D错误故选：D.5．[2026春·高三·长沙市雅礼中学·月考]白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如玉，薄如纸”的特点.如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形为圆柱.现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为，则该茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为(

)（单位：）A. B. C. D.答案：D解析：圆台的体积即为该茶杯容量，如图，cm，cm，过点A，B分别作，于点E，F，则cm，cm，其中圆台的高为cm，故圆台体积为.故选：D.6．[2026春·高三·长沙市雅礼中学·月考]已知，，则(

)A. B. C. D.答案：B解析：由.由.由.所以.故选：B.7．[2026春·高三·长沙市雅礼中学·月考]已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是(

)A. B. C. D.答案：D解析：由于函数，定义域为R，满足，得是奇函数，且在R上为减函数.在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立.令，，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，，，即a的取值范围为，故选：D.8．[2026春·高三·长沙市雅礼中学·月考]设N为正整数，在平面直角坐标系中，若（，，且）恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则N的一个可能取值为(

)A.12 B.8 C.7 D.5答案：C解析：根据题意，为椭圆，则，从个数，，，…，中选两个不同的数作为系数，当N为偶数时，去掉重复的数有个数，，，…，，则任取两个数的排列数为个，当N为奇数时，去掉重复的数有个数，，，…，，则任取两个数的排列数为个，由于现在恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则当N为偶数时，，得，当N为奇数时，，得，所以C正确.故选：C.二、多项选择题9．[2026春·高三·长沙市雅礼中学·月考]已知函数（，，）的部分图象如图所示，若将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的是(

)A.函数的解析式为B.函数的解析式为C.函数在区间上单调递增D.函数图象的一条对称轴是直线答案：ABC解析：由图可知，，，所以，解得，故.因为图像过点，所以，即.因为点位于单调增区间上，且，所以，故.故A项正确；若其纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得到的函数解析式为，再向右平移个单位长度，所得到的函数解析式.故B项正确；令，得，故函数的单调增区间是，当时，在区间上单调递增，故C项正确；当时，，即时，不取最值，故不是函数的一条对称轴，所以D项不正确.故选：ABC.10．[2026春·高三·长沙市雅礼中学·月考]已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于点A，B（A在第一象限），以AB为直径的圆E与C的准线相切于点D.若，则下列说法正确的是(

)A.A，B，F三点共线 B.l的斜率为C. D.圆E的半径是4答案：ACD解析：连接DE，则DE为圆E的半径，过A作准线的垂线，垂足为S，过B作准线的垂线，垂足为T，连接，，如图，对于A，，则A，B，F三点共线，A正确；对于B，由AB为直径，得，而，则，而为等腰三角形，则，，于是，即直线l的倾斜角为60°，其斜率为，B错误；对于C，点，直线AB的方程为，由得，解得，，则，，即，C正确；对于D，由，，得，则圆E的直径是8，其半径为4，D正确.故选：ACD.11．[2026春·高三·长沙市雅礼中学·月考]如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则(

)A.存在点Q，使B，N，P，Q四点共面B.存在点Q，使平面MBNC.过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为D.经过C，M，B，N四点的球的表面积为答案：AB解析：选项A，连接，，，正方体中易知，P，N分别是，中点，则，所以，即，P，N，B四点共面，当Q与重合时满足B，N，P，Q四点共面，A正确；选项B，如图，取中点为Q，连接，，，因为M，N分别是，中点，则与平行且相等，是平行四边形，所以，又P是中点，所以，所以，平面，平面，所以平面，B正确；选项C，正方体中，M，N分别是，中点，则，Q在上，如图，作交于E，连接，延长交延长线于点K，连接延长交延长线于点T，连接交于点G，交于点F，为所过M，N，Q三点的截面，由正方体的对称性可知梯形与梯形全等，由面面平行的性质定理，，从而有，由正方体性质，设，，则，，N是中点，，则，所以，同理，，，，，梯形是等腰梯形，高为，截面面积，设，，，在上递增，，，所以，C错；选项D，取中点U，中点V，连接，，，，则是正四棱柱（也是长方体），它的外接球就是过B，C，M，N四点的球，所以球直径为，半径为，表面积为，D错.故选：AB.三、填空题12．[2026春·高三·长沙市雅礼中学·月考]若曲线的一条切线为，其中a，b为正实数，则的取值范围是_________.答案：解析：设切点为，由所以，且过切点的直线为，所以有：，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，故答案为：.13．[2026春·高三·长沙市雅礼中学·月考]已知双曲线的左、右焦点分别为、，点，点是第一象限内双曲线上的一点，满足.记、的面积分别为、，则_____________.答案：8解析：如图，设的内切圆与三边分别相切于D，E，G，可得，，，又由双曲线定义可得，则，又，解得，则E点横坐标为a，即内切圆圆心横坐标为a.又，可得，化简得，即，即是的平分线，由于，，可得P即为的内心，且半径r为2，则.即.故答案为：8.14．[2026春·高三·长沙市雅礼中学·月考]锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，满足，，则的周长的取值范围为_________.答案：解析：因为，，所以，故，所以，即，因为，所以，，所以，故或（舍），即，由正弦定理可得，所以，因为是锐角三角形，所以，解得，令，则，所以的周长的取值范围为.故答案为：.四、解答题15．[2026春·高三·长沙市雅礼中学·月考]已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，是与的等差中项.（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）因为是与的等差中项，所以，所以，因为数列的各项均为正数，所以，所以，所以，所以数列是公差为1，首项为的等差数列；（2）因为数列是公差为1，首项为的等差数列，所以，所以，当时，，当时，，所以，所以，.16．[2026春·高三·长沙市雅礼中学·月考]在直角梯形中，，，，如图（1）.把沿翻折，使得平面平面.（1）求证：；（2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.答案：（1）证明见解析（2）存在点N，此时解析：（1）因为，且，，可得，，又因为，可得，所以，则，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因为平面，所以；（2）因为平面，且平面，所以，如图所示，以点D为原点，建立空间直角坐标系，可得，，，，所以，.设平面的法向量为，则，令，可得，所以，假设存在点N，使得与平面所成角为，设，（其中），则，，所以，整理得，解得或（舍去），所以在线段上存在点N，使得与平面所成角为，此时.17．[2026春·高三·长沙市雅礼中学·月考]有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同.某人做摸球答题游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的概率均为当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙罐无球.（1）求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；（2）设第n（，）次答题后游戏停止的概率为.问：是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由.答案：（1）（2）存在，最大值为解析：（1）记“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一球”，记“第i次摸出红球，并且答题正确”，，记“第j次摸出黑球，并且答题正确”，，记“第k次摸出黑球或红球，并且答题错误”，，所以，又，，，所以，同理，所以.（2）①第n次后游戏停止的情况是：前次答题正确恰好为4次，答题错误次，且第n次摸出一球时答题正确，所以.②由①知，，所以，令，解得，令，解得，即，，所以的最大值是.18．[2026春·高三·长沙市雅礼中学·月考]已知点，，动点T满足，动点T的轨迹记为C.（1）求C的方程；（2）直线与x轴交于点M，B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q.①证明：直线，，的斜率成等差数列；②经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由.答案：（1）（2）①证明见解析；②存在，解析：（1）因为，所以C的轨迹是以，为焦点，且长轴长为4的椭圆，设C的轨迹方程为，则，可得.又，所以，所以C的方程为.（2）设，易知过B且与C相切的直线斜率存在，设直线方程为，联立，消去y得，由，得设两条切线，的斜率分别为，，则，.①证明：设的斜率为，则，因为，所以，，的斜率成等差数列.②法1：在中，令，得，所以，同理，得，所以的中垂线为.易得的中点为，所以的中垂线为，联立解得，所以，，要使，则，即，整理得，而，所以，解得，，因此，故存在符合题意的点B，使得，此时.法2：在中，令，得，因此，同理可得，所以的中垂线为.易得的中点为，所以的中垂线为，联立解得，因为，所以，即，而，所以，解得，，因此，故存在符合题意的点B，使得，此时.法3：要使，即或，从而，又，所以，因为，所以，解得，，所以，故存在符合题意的点B，使得，此时.法4：要使，即或，从而.在中，令，得，故，同理可得，因此，，所以，故，即，整理得，所以，整理得，解得或（舍去），因此，，故存在符合题意的点B，使得，此时.法5：要使，即或，从而.在中，令，得，故，同理可得，由等面积法得，即，整理得，所以，整理得，解得或（舍去），因此，，故存在符合题意的点B，使得，此时.19．[2026春·高三·长沙市雅礼中学·月考]已知a为常数，函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，（）.①求a的取值范围；②若恒成立，求m的取值范围.答案：（1）答案见解析（2）①；②解析：（1）由题意，得.①当时，因为，恒成立，所以，故在定义域上单调递增.②当时，由，得，解得；由，得，解得.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）①由题意，得.令，则.易知为增函数，由，解得，