江苏省南通市如皋市2024-2025学年高一下学期教学质量调研(二)数学试题

江苏省南通市如皋市2024-2025学年高一下学期教学质量调研(二)数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________说明：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前请将姓名、班级、考号填写完整；3.所有答案均需写在答题卷指定位置，写在试卷上无效。一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知向量\(\vec{a}=(-2,\lambda)\)，\(\vec{b}=(2,2)\)，若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则\(\lambda=\)（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)2.在\(\triangleABC\)中，\(a=1\)，\(b=2\)，\(\cosA=\frac{2}{3}\)，则\(\sinB=\)（）A.\(\frac{1}{6}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{2\sqrt{5}}{3}\)3.已知直线\(l,m\)是两条不同的直线，平面\(\alpha,\beta,\gamma\)是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若\(m\perp\alpha\)，\(l\perpm\)，则\(l\parallel\alpha\)B.若\(\alpha\perp\gamma\)，\(\beta\perp\gamma\)，\(\alpha\cap\beta=l\)，则\(l\perp\gamma\)C.若\(l,m\subset\beta\)，\(l\parallel\alpha\)，\(m\parallel\alpha\)，则\(\alpha\parallel\beta\)D.若\(l\parallel\alpha\)，\(l\parallel\beta\)，则\(\alpha\parallel\beta\)4.在\(\triangleABC\)中，若\((a+b+c)(a-b+c)=ac\)，则\(\angleB=\)（）A.\(30^\circ\)B.\(60^\circ\)C.\(120^\circ\)D.\(150^\circ\)5.在正四棱台\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(E,F\)分别为\(AD,A_1D_1\)的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（）A.\(AB\)和\(CD_1\)B.\(AC_1\)和\(EF\)C.\(AC\)和\(AC_1\)D.\(AC_1\)和\(FC_1\)6.在正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(E\)为\(BC_1\)的中点，则平面\(A_1DE\)截正方体所得的平面图形为（）A.三角形B.等腰梯形C.直角梯形D.五边形7.在等腰直角\(\triangleABC\)中，\(\angleB=90^\circ\)，点\(E,F\)将\(AC\)三等分，则\(\tan\angleEBF=\)（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{3}{8}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{4}{3}\)8.在斜三角形\(ABC\)中，角\(A,B,C\)的对边分别为\(a,b,c\)。若\(\sinA=\cosB\)，则\(\cosA+\cosB+\cosC\)的取值范围为（）A.\((-1,\frac{5}{4}]\)B.\([-\frac{1}{4},1)\)C.\((-1,1)\)D.\((1,\frac{5}{4}]\)二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，若\(\sin(\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{3}{5}\)，则下列结论正确的是（）A.\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{10}\)B.\(\sin2\alpha=\frac{7}{25}\)C.\(\cos2\alpha=-\frac{24}{25}\)D.\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{4\sqrt{2}}{5}\)10.在\(\triangleABC\)中，角\(A,B,C\)的对边分别为\(a,b,c\)，下列说法正确的是（）A.若\(A\ltB\)，则\(\sinA\lt\sinB\)B.若\(a^2+b^2\gtc^2\)，则\(\triangleABC\)一定是锐角三角形C.若\(a^2+b^2\ltc^2\)，则\(\triangleABC\)一定是钝角三角形D.若\(a=1\)，\(b=2\)，\(B=\frac{\pi}{3}\)，则\(\triangleABC\)有两解11.在棱长为2的正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(P\)是\(AC_1\)上的动点（包含两端点），则下列结论正确的是（）A.存在点\(P\)，使\(BP\)与平面\(A_1DC_1\)相交B.\(BP\perpBD_1\)C.\(DP\)与平面\(AB_1C\)所成角的正弦最大值为\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)D.\(AP+BP\)的最小值为\(2\sqrt{3}+\sqrt{6}\)三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在答题卷相应位置）12.已知角\(\alpha,\beta\)满足\(\sin(\alpha+\beta)=\frac{3}{4}\)，\(\tan\alpha=2\tan\beta\)，则\(\sin(\alpha-\beta)=\)___________。13.已知向量\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)满足\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\)，且\(|\vec{a}|=2\)，\(|\vec{b}|=2\)，\(|\vec{c}|=2\)，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-\frac{5}{4}\)，则\(|\vec{c}|=\)___________。14.已知圆锥\(SO\)的轴截面\(SAB\)是正三角形，\(P\)为圆锥底面圆上的一点，若\(\anglePBA=\frac{\pi}{6}\)，则异面直线\(SP\)与\(AB\)所成角的余弦值为___________。四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）在\(\triangleABC\)中，角\(A,B,C\)所对的边分别是\(a,b,c\)。已知\(b=1\)，\(c=2\)，\(\angleA=120^\circ\)。（1）求\(\sinC\)的值；（2）求\(\frac{\sin(C-B)}{\sinC}\)的值。16.（本小题满分15分）如图，在正三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AA_1=B_1A_1\)，\(D,M\)分别为\(AB_1,A_1A\)的中点。求证：（1）\(AC_1\parallel\)平面\(BDC_1\)；（2）\(MB_1\perp\)平面\(BDC_1\)。17.（本小题满分15分）如图，在梯形\(ABCD\)中，\(AB\parallelCD\)，且\(AB=2CD\)，\(M\)为\(AD\)的中点，\(\overrightarrow{BH}=\lambda\overrightarrow{BC}(0\lt\lambda\lt1)\)，\(MC\parallelAH\)。（1）求\(\lambda\)的值；（2）若\(\angleDAB=\frac{\pi}{3}\)，\(AB=AD\)，求\(\angleHAB\)。18.（本小题满分16分）在\(\triangleABC\)中，角\(A,B,C\)所对的边分别为\(a,b,c\)。已知\(2b\cosB=c\)，\(A=3B\)。（1）求角\(B\)；（2）设\(D\)为边\(BC\)上一点，记\(\triangleABD\)、\(\triangleACD\)的面积分别为\(S_1,S_2\)，若\(\frac{S_1}{S_2}=3\)，且\(AD=3\)。①求\(\sin\angleBAD\)；②求\(a\)的值。19.（本小题满分17分）如图，在等腰三角形\(ABC\)中，\(AC=CB=2AB\)，\(D,E\)分别为边\(AC,BC\)上靠近\(A,B\)的四等分点，将\(\triangleDEC\)沿\(DE\)翻折至\(\trianglePDE\)，使得平面\(PDE\perp\)平面\(ADEB\)，\(O,M\)分别是\(AB,PE\)的中点。（1）求直线\(PE\)与平面\(ADEB\)所成角的正弦值；（2）求证：\(OE\perpBM\)；（3）求二面角\(A-PE-O\)的余弦值。参考答案与解析一、单项选择题1.A【解析】由向量垂直的坐标表示，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-4+2\lambda=0\)，解得\(\lambda=2\)。2.C【解析】由\(\cosA=\frac{2}{3}\)，得\(\sinA=\sqrt{1-\cos^2A}=\frac{1}{3}\)，由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，得\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{2}{3}\)。3.B【解析】A选项，直线\(l\)可能在平面\(\alpha\)内，错误；B选项，过平面\(\gamma\)内一点作两个平面与\(\gamma\)交线的垂线，可证\(l\perp\gamma\)，正确；C选项，若\(l\parallelm\)，平面\(\alpha\)与\(\beta\)可能相交，错误；D选项，平面\(\alpha\)与\(\beta\)可能相交，错误。4.C【解析】化简\((a+b+c)(a-b+c)=ac\)，得\(a^2+c^2-b^2=-ac\)，由余弦定理\(\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=-\frac{1}{2}\)，故\(\angleB=120^\circ\)。5.D【解析】A、B、C选项中的直线均共面，D选项中\(AC_1\)与\(FC_1\)不共面，为异面直线。6.B【解析】延长\(A_1E\)交直线\(BC\)于\(F\)，连接\(DF\)，可证\(DF\parallelA_1E\)且\(DF\neqA_1E\)，故截面为等腰梯形。7.C【解析】设\(AB=BC=1\)，则\(AC=\sqrt{2}\)，\(AE=EF=FC=\frac{\sqrt{2}}{3}\)，利用向量或坐标法可求得\(\tan\angleEBF=\frac{3}{4}\)。8.D【解析】由\(\sinA=\cosB\)及斜三角形性质，得\(A+B=\frac{\pi}{2}\)（舍去）或\(A=\frac{\pi}{2}+B\)，结合范围可求得取值范围为\((1,\frac{5}{4}]\)。二、多项选择题9.ABD【解析】由\(\sin(\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{3}{5}\)，得\(\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{3\sqrt{2}}{5}\)，结合\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，可求得\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{10}\)，\(\sin\alpha=\frac{7\sqrt{2}}{10}\)，进而得\(\sin2\alpha=\frac{7}{25}\)，\(\cos2\alpha=-\frac{24}{25}\)，\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{4\sqrt{2}}{5}\)，C错误，ABD正确。10.AC【解析】A选项，由三角形大角对大边及正弦定理，正确；B选项，\(a^2+b^2\gtc^2\)仅能说明\(\angleC\)为锐角，不一定是锐角三角形，错误；C选项，\(a^2+b^2\ltc^2\)，则\(\angleC\)为钝角，正确；D选项，由正弦定理得\(\sinA=\frac{\sqrt{3}}{4}\lt1\)，但\(a\ltb\)，仅有一解，错误。11.BCD【解析】A选项，平面\(BAC_1\parallel\)平面\(A_1DC_1\)，故\(BP\)与平面\(A_1DC_1\)平行，不相交，错误；B选项，可证\(BD_1\perp\)平面\(BAC_1\)，故\(BP\perpBD_1\)，正确；C选项，\(DP\)与平面\(AB_1C\)所成角的正弦值为\(\frac{h}{DP}\)，\(DP\)最小时正弦值最大，最大值为\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)，正确；D选项，将平面\(ACC_1A_1\)与平面\(ABC_1\)展开，由余弦定理得最小值为\(2\sqrt{3}+\sqrt{6}\)，正确。三、填空题12.\(\frac{1}{4}\)【解析】由\(\tan\alpha=2\tan\beta\)得\(\sin\alpha\cos\beta=2\cos\alpha\sin\beta\)，结合\(\sin(\alpha+\beta)=\frac{3}{4}\)，联立解得\(\sin(\alpha-\beta)=\frac{1}{4}\)。13.\(\frac{3}{2}\)【解析】由\(\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}\)，两边平方得\(|\vec{c}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}\)，代入数据解得\(|\vec{c}|=\frac{3}{2}\)。14.\(\frac{\sqrt{3}}{4}\)【解析】设圆锥底面半径为1，则母线长为2，建立空间直角坐标系，求得异面直线夹角的余弦值为\(\frac{\sqrt{3}}{4}\)。四、解答题15.（1）由余弦定理得\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA=1+4-2\times1\times2\times(-\frac{1}{2})=7\)，故\(a=\sqrt{7}\)。由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\)，得\(\sinC=\frac{c\sinA}{a}=\frac{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}\)。（7分）（2）由余弦定理得\(\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{7+1-4}{2\times\sqrt{7}\times1}=\frac{2\sqrt{7}}{7}\)，\(\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{7+4-1}{2\times\sqrt{7}\times2}=\frac{5\sqrt{7}}{14}\)。\(\sin(C-B)=\sinC\cosB-\cosC\sinB\)，代入得\(\sin(C-B)=\frac{\sqrt{21}}{7}\times\frac{5\sqrt{7}}{14}-\frac{2\sqrt{7}}{7}\times\frac{\sqrt{21}}{14}=\frac{\sqrt{3}}{14}\)，故\(\frac{\sin(C-B)}{\sinC}=\frac{1}{4}\)。（14分）16.（1）连接\(B_1C\)交\(BC_1\)于点\(O\)，连接\(OD\)，则\(O\)为\(B_1C\)中点，\(D\)为\(AB_1\)中点，故\(OD\parallelAC_1\)。又\(OD\subset\)平面\(BDC_1\)，\(AC_1\not\subset\)平面\(BDC_1\)，故\(AC_1\parallel\)平面\(BDC_1\)。（7分）（2）设\(B_1A_1=2\)，则\(AA_1=2\)，建立空间直角坐标系，求得各点坐标，证明\(MB_1\perpBD\)且\(MB_1\perpBC_1\)，又\(BD\capBC_1=B\)，故\(MB_1\perp\)平面\(BDC_1\)。（15分）17.（1）设\(\overrightarrow{CD}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{DA}=\vec{b}\)，则\(\overrightarrow{AB}=2\vec{a}\)，\(\o