2026届山东省菏泽、烟台高三第一次摸底数学试题

2026届山东省菏泽、烟台高三第一次摸底数学试题考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．已知集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A∪B，则集合∁ᵤ(A∩B)中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．复数z=(1+i)²+i（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．1+iB．1−iC．−1+iD．−1−i3．已知等差数列{aₙ}中，若a₁+2a₈+a₁₅=120，则2a₉−a₁₀的值为（）A．20B．24C．28D．324．圆x²+y²−4x+2y+1=0与抛物线y²=4px（p>0）的准线相切，则p的值为（）A．1B．2C．1/2D．45．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosA=bcosB，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等腰或直角三角形D．钝角三角形6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=−f(x)，若f(1)=1，则f(2027)的值为（）A．1B．−1C．0D．27．如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（）A．1/3B．2/3C．1/2D．3/48．已知双曲线C：x²/a²−y²/b²=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₂的直线l交双曲线的右支于点P，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切，切点为H，若|PF₁|=3|PF₂|，则双曲线C的离心率为（）A．√2B．√3C．2D．√5二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。）9．下列说法正确的是（）A．若样本x₁，x₂，…，xₙ的平均数是10，方差为2，则样本2x₁+1，2x₂+1，…，2xₙ+1的平均数为21，方差为8B．若随机变量X~N(1，σ²)，P(X≤0)=0.3，则P(X<2)=0.7C．已知一组数据1，2，3，4，5的方差是2，则另一组数据11，12，13，14，15的方差也是2D．若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)10．在正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别为棱AB，BC，CC₁的中点，则下列说法正确的是（）A．直线EF与直线A₁G异面B．直线EF⊥平面A₁GD₁C．平面EFG⊥平面A₁GD₁D．直线EF与直线A₁G所成角的正切值为√211．已知函数f(x)=x³−3x²+3，则下列说法正确的是（）A．f(x)在x=2处取得极小值B．f(x)的单调递减区间为(0，2)C．f(x)的图像关于点(1，2)对称D．方程f(x)=0有且仅有1个实数根12．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|=4，过点P的动直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为Q，则下列命题正确的是（）A．在抛物线上满足条件|PF|=4的点P仅有一个B．若M是抛物线准线上一动点，则|PM|+|OM|的最小值为2√5C．无论过点P的直线l在什么位置，总有OA⊥OBD．若点A在抛物线准线上的射影为A₁，则A₁，O，B三点在同一条直线上三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13．已知向量a=(2，−1)，b=(m，3)，若a⊥b，则m的值为__________．14．过点(1，0)且斜率为k的直线交抛物线y²=4x于A，B两点，F为抛物线的焦点，若△AFB的面积等于△BFO（O为原点）的面积的2倍，则k的值为__________．15．小康、小梁、小谭、小杨、小刘、小林六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分别奔赴四所不同的学校参加演讲，则不同的分配方案有_________种（用数字作答）．16．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的最小正周期为π，且f(π/3)=1/2，则φ的值为__________．四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（10分）已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos²x−1．（1）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；（2）求函数f(x)在区间[0，π/2]上的最大值和最小值．18．（12分）已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+2ⁿ（n∈N*）．（1）证明：数列{aₙ/2ⁿ}是等差数列；（2）求数列{aₙ}的前n项和Sₙ．19．（12分）如图，在直棱柱ABC−A₁B₁C₁中，底面ABC为菱形，∠ABC=60°，AB=2，AA₁=4，D与E分别为AC与A₁C₁的中点，F与G分别为BB₁与CC₁的中点．（1）求证：DE⊥平面BCC₁B₁；（2）求直线FG与平面A₁BC所成角的正弦值．20．（12分）某旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客的年总收入不低于40万元，则称该导游为优秀导游．甲、乙两家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内的旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表（部分数据缺失）．甲公司频率分布直方图（分组：[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70]），其中[30，40)的频率为0.25，[40，50)的频率为0.35．乙公司频数分布表（分组：[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70]），其中[20，30)频数为4，[30，40)频数为8，[40，50)频数为12，[50，60)频数为m，[60，70]频数为n．（1）求m，n的值，并比较甲、乙两家旅游公司的优秀导游率，判断哪家公司的影响度更高；（2）从甲、乙两家公司年总收入在[50，60)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为X，求X的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的离心率为√3/2，且过点(2，1)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P(1，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若|AB|=4√3/5，求直线l的方程．22．（12分）已知函数f(x)=lnx−ax²+(2−a)x（a∈R）．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当a>0时，若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围；（3）若对任意x∈(0，+∞)，f(x)≤0恒成立，求a的取值范围．五、参考答案及详细解析一、单项选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案ADBACBBC二、多项选择题（每小题5分，共20分）题号9101112答案ACDADABCBD三、填空题（每小题5分，共20分）13．3/214．±2√215．108016．−π/6四、解答题详细解析（共70分）17．（10分）解：（1）f(x)=2sinxcosx+2cos²x−1=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)（2分）最小正周期T=2π/2=π（3分）令−π/2+2kπ≤2x+π/4≤π/2+2kπ（k∈Z），解得−3π/8+kπ≤x≤π/8+kπ（k∈Z）（4分）故函数f(x)的单调递增区间为[−3π/8+kπ，π/8+kπ]（k∈Z）（5分）（2）当x∈[0，π/2]时，2x+π/4∈[π/4，5π/4]（6分）当2x+π/4=π/2，即x=π/8时，f(x)取得最大值√2（8分）当2x+π/4=5π/4，即x=π/2时，f(x)取得最小值−1（10分）18．（12分）（1）证明：由aₙ₊₁=2aₙ+2ⁿ，两边同时除以2ⁿ⁺¹，得aₙ₊₁/2ⁿ⁺¹=aₙ/2ⁿ+1/2（2分）即aₙ₊₁/2ⁿ⁺¹−aₙ/2ⁿ=1/2（3分）又a₁/2¹=1/2，故数列{aₙ/2ⁿ}是以1/2为首项，1/2为公差的等差数列（5分）（2）解：由（1）知，aₙ/2ⁿ=1/2+(n−1)×1/2=n/2（6分）故aₙ=n/2×2ⁿ=n·2ⁿ⁻¹（7分）Sₙ=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n·2ⁿ⁻¹①2Sₙ=1×2¹+2×2²+…+(n−1)·2ⁿ⁻¹+n·2ⁿ②（8分）①−②得：−Sₙ=1+2¹+2²+…+2ⁿ⁻¹−n·2ⁿ（9分）=(2ⁿ−1)−n·2ⁿ（10分）故Sₙ=(n−1)·2ⁿ+1（12分）19．（12分）（1）证明：∵直棱柱ABC−A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，D、E分别为AC、A₁C₁中点，∴DE∥AA₁，且DE=AA₁（2分）∴DE⊥底面ABC，又BC⊂底面ABC，∴DE⊥BC（3分）∵底面ABC为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，D为AC中点，∴BD⊥AC（4分）又直棱柱中，CC₁⊥底面ABC，BD⊂底面ABC，∴CC₁⊥BD（5分）AC∩CC₁=C，AC、CC₁⊂平面BCC₁B₁，∴BD⊥平面BCC₁B₁，又DE∥AA₁∥CC₁，DE⊥BC，故DE⊥平面BCC₁B₁（6分）（2）解：以D为原点，DB、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系（7分）由AB=2，∠ABC=60°，得DB=√3，DC=1，DE=4，则A₁(0，−1，4)，B(√3，0，0)，C(0，1，0)，F(√3，0，2)，G(0，1，2)（8分）向量FG=(−√3，1，0)，向量BA₁=(−√3，−1，4)，向量BC=(−√3，1，0)（9分）设平面A₁BC的法向量为n=(x，y，z)，则n·BA₁=0，n·BC=0，即{−√3x−y+4z=0，−√3x+y=0}，令x=1，则y=√3，z=√3/2，故n=(1，√3，√3/2)（10分）设直线FG与平面A₁BC所成角为θ，则sinθ=|FG·n|/(|FG|·|n|)（11分）计算得|FG·n|=|−√3×1+1×√3+0×√3/2|=0，故sinθ=0（12分）20．（12分）（1）解：乙公司总导游40名，故4+8+12+m+n=40，即m+n=16（1分）甲公司优秀导游率=0.35+频率[50，60)+频率[60，70]，由频率和为1，得频率[50，60)+频率[60，70]=1−0.2−0.25−0.35=0.2，故甲公司优秀导游率=0.35+0.2=0.55（2分）乙公司优秀导游率=(12+m+n)/40=(12+16)/40=0.7（3分）∵0.7>0.55，∴乙公司影响度更高（4分）（2）甲公司[50，60)导游人数=40×(0.2−频率[60，70])，假设频率[60，70]=0.05，则[50，60)人数=40×0.15=6；乙公司[50，60)人数m=16−n，假设n=4，则m=12（5分）从甲、乙两家[50，60)导游中抽取3人，X的可能取值为0，1，2，3（6分）P(X=0)=C₁₂³/C₁₈³=220/816=55/204；P(X=1)=C₆¹C₁₂²/C₁₈³=396/816=33/68；P(X=2)=C₆²C₁₂¹/C₁₈³=180/816=15/68；P(X=3)=C₆³/C₁₈³=20/816=5/204（9分）分布列：X0123P55/20433/6815/685/204数学期望E(X)=0×55/204+1×33/68+2×15/68+3×5/204=1（12分）21．（12分）（1）解：由离心率e=c/a=√3/2，得c=√3/2a，又a²=b²+c²，故a²=4b²（2分）椭圆过点(2，1)，代入得4/a²+1/b²=1，联立a²=4b²，解得a²=8，b²=2（4分）故椭圆C的标准方程为x²/8+y²/2=1（5分）（2）解：当直线l斜率不存在时，l：x=1，代入椭圆得1/8+y²/2=1，y=±√14/4，|AB|=√14/2≠4√3/5，舍去（6分）当直线l斜率存在时，设l：y=k(x−1)，联立椭圆方程得(1+4k²)x²−8k²x+4k²−8=0（7分）设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁+x₂=8k²/(1+4k²)，x₁x₂=(4k²−8)/(1+4k²)（8分）|AB|=√(1+k²)·√[(x₁+x₂)²−4x₁x₂]=√(1+k²)·√[64k⁴/(1+4k²)²−4(4k²−8)/(1+4k²)]=4√3/5（9分）化简得√(1+k²)·√[(32k²+32)/(1+4k²)²]=4√3/5，即√(1+k²)·4√2√(k²+1)/(1+4k²)=4√3/5（10分）解得k²=1/2，即k=±√2/2（11分）故直线l的方程为y=±√2/2(x−1)，即x±√2y−1=0（12分）22．（12分）（1）解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f’(x)=1/x−2ax+(2−a)=[−2ax²+(2−a)x+1]/x=−(2x+1)(ax−1)/x（2分）当a≤0时，f’(x)>0在(0，+∞)上恒成立，f(x)在(0，+∞)上单调递增（3分）当a>0时，令f’(x)=0，得x=1/a（x=−1/2舍去），当x∈(0，1/a)时，f’(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1/a，+∞)时，f’(x)<0，f(x)单调递减（4分）（2）解：当a>0时，f(x)在(0，1/a)单调递增，在(1/a，+∞