B多元连续函数

教材和参考书第10章多元函数微分学10.1

多元连续函数10.1.1多元函数的概念

多元函数微积分是一元函数微积分的直接推广，但是内容要丰富得多，也要有意思得多.包括多元函数微分学、重积分、曲线积分、曲面积分、向量分析、场论等内容.在学习过程中，应该注意把握基本概念之间的联系，在此基础上熟练运用运算法则进行运算.二元函数

设

若与之

对应,称

D为函数的定义域.

通常记函数为f

,二元函数记为

三元函数

设

若与

之对应，域为

则称这种对应规则为二元函数.记其定义记则称这种对应规则为三元函数.显函数与隐函数

显函数：形如

隐函数：形如

10.1.2中的简单拓扑学知识

内积与范数

范数的定义：

Cauchy-Schwarz不等式:

三点不等式：

距离的定义：

点列收敛的定义

设若

则称记作:

记则：

Cauchy收敛准则:

收敛的充分必要条件是：

收敛于邻域：

10.1.3开集、邻域和区域

设

集合

称作的邻域,内点：

设若使得开集：

设若

x都是A的内点，则

称A为开集.

例:

聚点：

设若则称是A的聚点.可以属于A，也则称是A的内点(必有！).

可以不属于A，属于A不见得是聚点！记作:闭集：

设若A的所有聚点都属于A，则称A为闭集.

例：空集，边界点与边界：设若中既有属于A的点，又有不属于A的点，

则称

为A的边界点.边界点的集合称为边界，记做在中，开集的余集是闭集，闭集的

余集是开集.例

闭（聚点或为

内点，或为边界点）.

连通集：

若A中任意两点P，Q都可以用在A中的一条连续曲线连接起来，则称A为连通集.

ABCC开区域与闭区域：

连通的开集称为开区域，开

区域与其边界的并集称为闭区域.

10.1.4多元函数的极限

多元函数极限的定义：

设是函数的定义域的一个聚点，

A是常数.

则称当

时，

以A为极限.

记作

或者例1：证明：先设则若要

即只要

即只要只要只要□

即例2：证明：，则要

即只要只要只要只要只要□

例3：解：考虑两条不同的路径：所以不存在！

连续函数：设点若则称在

点连续.

开区域内连续函数：

设D是开区域.若函数f

在D的每个点上都连续，闭区域上连续函数：

设D是闭区域.若函数f

在D的每个内点上都连续,点满足即

则称f

在闭域D上连续.

且对于D的每个边界则称f在D内连续.例4：初等函数(6种基本初等；四则运算；复合)连续.

例5：二元函数

在点满足

在点连续.

时，

不存在，不连续！

例6：二元函数

所以在点不连续.

闭区域上连续函数的性质：

最大、最小值定理

连续，

则存在使得

设在有界闭区域D上一致连续定理

设在有界闭区域D上连续,则有

介值定理

设函数在有界闭区域D上连续,则对于介于之间的任何值μ,

存在

使得到的连续映射

到的映射

若与之对应,称D为映射f的定义域,映射的极限

设是的聚点.

则称A为

在

时的极限,

记作到的连续映射

若

，且

，则称在点连续.

则称对应关系为映射,记作记作若定理:

记则都连续.

例7:f：则f连续.

则

是

的连续映射.

f连续一般地，设A是

矩阵,完成任务!莱布尼茨(Leibniz,GottfriedWilhelm,1646.7.1-1716.11.14)德国数学家、物理学家和哲学家等数理逻辑的创始人.生于莱比锡，卒于汉诺威.1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何.1666年获法学博士学位.1673年当选为英国皇家学会会员.1676年任汉诺威图书馆馆长.1700年当选为巴黎科学院院士，促成组建了柏林科学院并任首任院长.他的研究领域涉及到逻辑学、数学、力学、地质学、法学、历史学、语言学、生物学以及外交、神学等诸多方面.他与牛顿并称为微积