电路分析基础（共9章）413

电路分析基础电路分析基础第1章电路的基本概念和定律第2章电路的基本分析方法第3章正弦交流电路基础第4章正弦稳态电路的分析第5章谐振电路第6章互感耦合电路与变压器第7章三相电路第8章电路的暂态分析第9章非正弦周期电流电路“抓住课堂”：认真听讲，往往有事半功倍的学习效果。有些问题自学时很费解，但是课堂上经老师教学点拨会豁然开朗。及时复习是科学的学习方法，也是巩固课堂所学知识的重要环节。提倡复习中同学之间的互学和交流，鼓励学生提高自学能力。学习要求：预习+认真+复习+用心用心才能成就《电路分析基础》课程学习要求课前预习不可或缺，预习能够让你了解课堂要学知识的难易程度，做好重点听讲的心理准备，有目的、有意识的专心把不易理解的问题搞清楚。Dianluhedianlumoxing电路和电路模型Dianludejibenwuliliang电路的基本物理量Jierhuofudinglu基尔霍夫定律Dianyayuanhedianliuyuan电压源和电流源Dianludedengxiaobianhuan电路的等效变换Zhiliudianluzhongdejigewenti直流电路中的几个问题第1章

电路的基本概念、基本定律学习要点

理解电路模型和理想电路元件的概念；从工程应用的角度重新理解电压、电流、电位、电功率等基本物理量；重新理解欧姆定律；理解基尔霍夫定律的内容，掌握基尔霍夫定律在电路分析中的应用；理解参考方向在电路分析中的作用；领会电路等效的概念，掌握电路等效的分析方法。电路＝由实际元器件构成的电流的通路火线..零线电源负载中间环节1.1

电路和电路模型——电路的组成电路通常都是由电源、负载和中间环节三部分组成4/26/20261.1

电路和电路模型——电路的功能实现电能的传输、分配和转换。工程实际电路按照功能的不同可概括为两大类大功率、大电流电力系统电路的特点功能实现电信号的传递、变换、储存和处理和转换。小功率、小电流电子技术电路的特点功能1.1

电路和电路模型——电路模型实体电路负载电源开关连接导线SRL+

U–IUS+_R0电路模型电源负载中间环节电路模型是由理想电路元件及其组合用理想导线连接而成，是实体电路电气特性的抽象和近似。0302

•利用电路模型研究问题的特点01电路模型是用来探讨存在于具有不同特性的、各种真实电路中共同规律的工具。电路模型主要针对由理想电路元件构成的集总参数电路，集总参数电路中的元件上所发生的电磁过程都集中在元件内部进行，任何时刻从元件两端流入和流出的电流恒等、且元件端电压值确定。因此电磁现象可以用数学方式来精确地分析和计算。电路分析基本理论中运用电路模型，其主要任务就是在寻求实际电路共有的一般规律、为探讨各种实际电路共同遵守的基本规律时带来方便。4/26/20261.1

电路和电路模型——理想电路元件理想电路元件是实际元器件的理想化和近似，其电特性单一、确切，给电路的定量分析和计算带来极大方便。实际电路器件品种繁多，其电磁特性多元而复杂，分析和计算时非常困难白炽灯电路模型如iR

R

L耗能电特性产生磁场的电特性由于白炽灯中耗能的因素大大于产生磁场的因素，因此L可以忽略。白炽灯电路理想电路元件可分为无源和有源两大类RC+

US–LIS无源二端理想电路元件电阻元件电路中耗能电特性的抽象。电感元件电路中建立磁场的电特性的抽象。电容元件电路中集聚电荷建立电场的电特性的抽象。有源二端理想电路元件理想电压源输出电压恒定，输出电流由它和负载共同决定。理想电流源输出电流恒定，两端电压由它和负载共同决定。理想电路元件电特性单一、确切！4/26/20261.1

电路和电路模型231试述电路的分类及其功能。何谓理想电路元件？如何理解“理想”二字在实际电路的含义？电路由哪几部分组成？各部分的作用是什么？4/26/20261.2

电路的基本物理量1.2.1电流电流的定义……（1.1）任意波形的电流定义式1A=103mA=106μA=109nA单位换算：……（1.2）稳恒直流电的电流定义式电流的方向习惯上规定：以正电荷移动的方向为电流的正方向。

电路图上标示的电流方向均为参考方向，参考方向是为列写方程式提供依据的，实际方向应根据计算结果确定。电流既是一种物理现象，又是电路理论中的一种电量。4/26/20261.2.1

电流电流的测量毫安表

实际测量时，如果无法正确估算电流值的范围，应把毫安表打到最大量程，再根据实际测量值调整到合适的量程（为使测量值误差最小，应使测量值在指针偏转的2/3及以上处）。

表盘指示屏量程选择旋钮出线端子进线端子

实用中，由于电流表的内阻数值都非常小，测量时不允许把电流表跨接在电源两端，以免过大的电流把电流表烧毁。因此，电流表必须串接在被测支路中。而且在测直流电流时一定要注意电表极性不能接反。+－4/26/2026电压是产生电流的根本原因，定义为功和电量的比值。1.2.2

电压电压的定义任意波形的电压定义式1V=103mV=10-3kV单位换算：稳恒直流电的电压定义式电压的方向规定:以电位降低的方向为电压的正方向,因此电压

常称之为电压降。电压采用双注脚。同理,电路图上标示的电压方向均为参考方向，参考方向是为列写方程式提供依据的，实际方向应根据计算结果确定。4/26/20261.2.2

电压关联参考方向I＋U－负载电流从元件的高极性一端流入、低极性一端流出，显然是实际负载上的电压、电流方向。关联方向下，元件上电压、电流方向一致，吸收功率非关联参考方向I＋U－电源电流从元件的低极性一端流入、高极性一端流出，显然是实际电源上的电压、电流方向。非关联方向下，元件上电压、电流方向相反，发出功率。4/26/2026电路图上标示的电压、电流方向均为参考方向！关于参考方向的有关注意事项1Yourtext分析电路前，应选定电压电流的参考方向，并标在图中2Yourtext参考方向是待求值的假定方向而不是真实方向，不必追求其物理实质是否合理。当参考方向一经选定，计算过程中不得再改变。3Yourtext分析计算电路时，假定某元件是负载时，一般选取关联参考方向，若假定某元件是电源元件时，一般选取非关联参考方向。4Yourtext分析电路均在参考方向下进行，实际方向由计算结果确定。结果为正说明参考方向与实际方向一致；否则与实际方向相反。5Yourtext分析计算电路的过程中，出现“正、负”、“加、减”及“相同、相反”这几个名词概念时，不可混为一谈。4/26/20261.2.2

电压电压的测量理想电压表的内阻无穷大，但工程实际中的电压表，其内阻均为有限值。根据电压表内阻的不同其精度也各不相同，精度越高的电压表，其内阻值越大。测量电路中某两点间的电压时，电压表必须与被测支路相并联。如果使用中误将电压表与被测电路相串联，则由于其高内阻而电表不动作。此外，测量直流电压时一定要注意仪表的极性不要接反。+－4/26/20261.2.3

电位电位的概念唐古拉山主峰格拉丹东雪峰海拔6,549米，珠穆朗玛峰高达8844.43米……它们均以海平面作为参照高度之后才具有了可比性，才能确切地说出这些山峰的具体高度。电路中各点电位的高低，同样也要涉及到电路参考点，只有电路参考点确定了，电路中各点的电位才是唯一和确切的。4/26/20261.2.3

电位电位的定义单注脚！电位在数值上等于电场力将单位正电荷从电场中某点移到参考点所做的功，即：式中电功w的单位是焦耳[J]，电量q的单位是库仑［C］，电位v的单位是伏特［V］。在大小和方向都不随时间变化的直流电路中，上式可改为：上式说明：电位实质上是电路中某点到参考点的电压。4/26/20261.2.3

电位电位的单位还有毫伏和千伏，其换算关系为：1V=103mV=10－3kVVa=+5V

a

点电位：ab1

5Aab1

5A例例电位具有相对性，规定参考点的电位为零电位。因此，相对于参考点较高的电位呈正电位，较参考点低的电位呈负电位。Vb=-5V

b点电位：4/26/20261.2.3

电位电位的测量测量电路中某点电位时应用电压表或万用表的电压档。

测量电位时，应选择合适的量程，让黑表棒与参考点或电路中的公共连接点相接触，红表棒与待测点相接触，此时电表指示值即为待测的电位值。电位的测量广泛应用于检测电路查找故障的工程实际中。1.2.4

电功和电功率式中U【V】；I【A】；t【s】时，电功W的单位为焦耳【J】若U【kV】；I【A】；t【h】时，电功W的单位为度【kW·h】W=UIt电流能使电动机转动、电炉发热、电灯发光，说

明电流具有做功的本领。电流做的功称为电功。电功的计算公式：电功1度电的概念

显然，电功的大小不仅与电压电流的大小有关，

还取决于用电时间的长短。1000W的电炉加热1小时耗电一度。100W的灯泡照明10小时耗电1度；40W的灯泡照明25小时耗电1度。

•日常生活中是用电度表测量电功的。当用电器工作时，电度表转动并且显示电流作功的多少。2.电功率•单位时间内电流所作的功称为电功率，即：国际单位制：U【V】，I【A】，电功率P用瓦特【W】。•用电器铭牌上标示的电功率，表征了用电器在额定工作状态

下能量转换的本领。额定状态下的电功率不一定等于负载实际的电功率。

•

铭牌数据值上的额定值是用电器长期、

安全工作条件下的最高限值。出厂时根

据实验测试后，标定在产品的铭牌上。

应用时，若用电器上加的实际电压大于它的额定电压时，实际电功率会大于额定值而影响用电器的寿命甚至损坏用电器；如果用电器上实际所加电压低于它的额定电压值时，用电器上的实际电功率将低于它的额定电功率，称用电器为非正常欠压工作状态。关于电功率的一些说明规定：当实际电气设备的电功率为正值时，说明设备在电路中吸收电能，是负载；若电气设备的电功率为负值，则说明该设备发出电能，是电源。电路理论中，电功率是一个代数量。举例•图示电路，若已知元件吸收功率为－20W，电压U为5V，求电流I。说明元件性质。+UI元件

•

图示电路，已知元件中通过的电流为-100A，电压U为10V，求电功率P。说明元件性质。元件吸收正功率，是消耗，说明元件是负载。电流得负值，说明其实际方向与参考方向相反，元件上电压、电流实际非关联，非关联下元件发出功率，是电源。解+UI元件解4/26/20261.2

电路的基本物理量231电功率大的用电器，电功也一定大，这种说法正确吗？为什么？电路分析中，引入参考方向的目的是什么？应用参考方向时，会遇到“正、负”“加、减”“相同、相反”这几对词，你能说明它们的不同之处吗？从工程应用的角度来看，电压、电位有何联系和区别？1.3

电路基本定律德国物理学家欧姆1826年4月提出：在同一电路中，通过某一导体的电流跟这段导体两端的电压成正比，跟这段导体的电阻成反比。后被人们称之为欧姆定律。该式假定u、i方向关联式中采用国际单位制：U【V】，I【A】，电阻R用【Ω】。任意波形的欧姆定律表达式稳恒直流电的欧姆定律表达式•

欧姆定律仅适用于线性电路，它体现了线性电路中元件上电压、电流的约束关系，表明了线性元件的伏安特性仅取决于元件本身，与其接入电路的方式无关。欧姆定律★1.3.2

基尔霍夫定律

基尔霍夫定律是1847年由德国科学家基尔霍夫提出的，表达式为：基尔霍夫第一定律又称为结点电流定律，它体现了电路中汇集到结点上的各电流之间的约束关系。基尔霍夫第一定律基尔霍夫第二定律•

基尔霍夫定律反映了电路整体的规律，具有普遍性，不但适合于任何元件组成的电路，而且适合于任何变化的电压与电流，基尔霍夫两定律和欧姆定律被称之为电路的三大基本定律。基尔霍夫第二定律又称为回路电压定律，它体现了电路中任一闭合路径上的各段电压之间的约束关系。1.常用的电路名词m=3l=3n=2112332网孔=2+_R1US1+_US2R2R3

•

支路：一个或几个二端元件首尾相接中间无分岔，使各元件上通过的电流相等。（支路数用m表示）

•

结点：三条或三条以上支路的汇集点。（结点数用n表示）

•

回路：电路中的任意闭合路径。（回路数用l表示）

•

网孔：不包含其它支路的单一闭合路径。回路不一定是网孔，网孔一定是回路！ab2.结点电流定律（KCL）KCL的内容任一时刻，流入电路中任一结点上电流的代数和恒等于零。数学表达式为：∑I

=0本书规定：指向结点的电流取正，背离结点的电流取负I1I2I3I4a例如–I1+I2–I3–I4=0根据电流方向的规定，可对a点列写出相应的KCL方程如下：KCL定律的推广应用对图示电路的三个结点分别列KCL

I=0也成立！IA+IB+IC=0任一瞬间通过任一封闭面的电流的代数和也恒等于零，对上述广义结点：IAIBIABIBCICAICABCIA=IAB–ICAIB=IBC–IABIC=ICA–IBC上述三式相加后可得：电路中的任意封闭曲面均可以看作是一个广义结点KCL推广应用的讨论理解推广应用的讨论，搞懂为什么会得到上述结论。•

当两个端子与封闭曲面相连，且一端电流流入封闭曲面，另一端电流流出封闭曲面，必有：•

当只有一条支路与封闭曲面相连时，该支路上的电流必为零：ABi1i2i3i1+i2+i3=0ABi1i2ABi•图示B封闭曲面可视为广义结点，有：i1=i2i

=0KCL应用举例ABi2i1分析：两回路间没有直接的联系，可分别计算各电流：

i1

=1A，i2＝2A分析：只有一条支路与B相连，显然AB间支路上电流为零，即AB两点等电位，因此：

VA

=VB+_1Ω+_1Ω1Ω3V1Ω1Ω1Ω4V右封闭曲面可视为广义节点，试问：A、B两点电位相等吗？？图中两个回路中的电流i1和i2数值相等吗？例1当电路中两点等电位时，两点之间的支路不起作用！3.回路电压定律（KVL）KVL的内容任一瞬间，沿任一回路参考方向绕行一周，各段电压降的代数和恒等于零。数学表达式为：∑U

=0本书规定：与绕行方向一致的电压降取正，否则取负例如根据电压降正负取值的规定，可列写出相应的KVL方程如下：I1+US1R1I4US4R4I3R3R2I2_U3U1U2U4-U1-US1+U2+U3+U4+US4=0KVL的常用形式I1+US1R1I4US4R4I3R3R2I2_U3U1U2U4–R1I1–US1+R2I2+R3I3+R4I4+US4=0–R1I1+R2I2+R3I3+R4I4=US1–US4电阻压降由此可得KVL的常用形式：

∑IR=∑US电源压升把电阻压降用IR表示，方程可改写为：-U1-US1+U2+U3+U4+US4=0上式中电源压升放方程式右边，含未知电流的电阻压降放在方程式左边，则：注意：电源压升由方程左边移到右边正变负、负变正KVL的推广应用或写作：假设端口电压U也是一个电源，对假想回路列KVL：USIUR+_+_US

IR

U

=0U

=US

IR显然，两点间电压等于路径上所有电压降的代数和。任意两点间电压的求解正是来自于KVL定律的推广应用KVL的推广应用ABCUA+_UAB+_UB+_UA

UB

UAB=0UAB=

UA

UB设UAB是一个连接于A、B间的一个电源，对假想回路列KVL：或写作已知电路中的UA和UB的数值，试用KVL求UAB。显然，两点间待求电压等于由其高极性端至低极性端所经过的路径上所有电压的代数和。电压降的方向与路径方向一致时取正，相反时取负。4/26/2026KVL的应用举例#1#2I1I2I3R3US1+_US2_+R1R2根据KVL对回路#1列KVL方程对回路#2列KVL方程式实际对电路列方程时，要求各方程均为独立的，即至少有一个新的未知量存在。而对大回路列KVL方程时，显然不会有新的未知量出现，因此该回路不独立！方程式省略。求解电路需应用KVL定律时，显然常用形式较方便。基尔霍夫的应用举例？UI-3-1+2-I=0U1=3I=3×(-2)=-6VU+U1+3-2=0→U=5V3A3V2V3ΩU11A2A对结点列KCL方程：根据欧姆定律求U1：对右回路列KVL方程式可得：

求图中电压U和电流I。例2得：I=-3-1+2=-2A三大基本定律的约束对象各不相同，通过本例细心体会解4/26/2026基尔霍夫的应用举例？求图中电位Va。Va=－U1+3V=－4×1+3=－1V图中封闭曲面分别与左右两条支路相连，根据KCL的推广应用，可确定封闭曲面之外的两支路电流相等且为零，即2Ω电阻中无电流通过，而封闭曲面内电阻中有恒流源电流通过，因此：例31Ω4A2Ω3V＋-I=0aU1＋-解4/26/2026课堂实践：基尔霍夫定律的验证一、验证电路按照验证电路连线。注意调出电压US1＝12V，US2＝6V，图中3个电流的位置是电流插箱，用来测量各支路电流。各段电压采用电压表或万用表的电压档测量。4/26/2026342应用KCL和KVL定律解题时，为什么要在电路图上先标示出电流的参考方向及事先给出回路中的参考绕行方向？KCL和KVL的推广应用你是如何理解和掌握的？吗？在应用KCL定律解题时，为什么要首先约定流入、流出结点的电流的正、负？计算结果电流为负值说明了什么问题？1试说明欧姆定律和基尔霍夫定律在电路约束上有什么不同？4/26/20261.4

电压源和电流源定义能独立向外电路提供恒定电压的二端元件。US理想电压源不允许发生短路，必须加装短路保护。I恒压不恒流。特点电压值US恒定，向外供出的电流I由它和负载共同决定。伏安特性USUI0电压源开路时I=0+_U=USUS+_RL正常不会损坏

US+_RL电压源短路时+_U=0I=∞非正常，不允许！

理想电压源4/26/2026理想电压源的功率以及串并联US串联电压源与等效电压源极性相同时取正，相反时取负IUS、I方向非关联时功率计算P

=－

UI

发出功率！USIUS、I方向关联时P

=UI

吸收功率！电压源的串联US2+_+US1_+_USUS=

US1－

U

S2电压源的并联5V+_+_5VI5V+_I只有数值相同的电压源才能并联并联电压源若数值不等，将造成内部环流使电源烧损！提出问题：什么情况下需要电压源串联？并联呢？4/26/20261.4.2

理想电流源定义能独立向外电路提供恒定电流的二端元件。U理想电流源不允许开路，不用时应将电流源可靠短接恒流不恒压。特点提供的电流值IS恒定，恒流源的端电压U由它和负载共同决定。伏安特性ISIU0电流源开路时I=IS+_U=∞非正常，不允许！电流源短路时+_U=0I=IS正常工作状态ISU+_RLU+_RL4/26/2026理想电流源的串、并联电流源的并联为增大电源提供的电流值，可将几个理想电流源相并联IS1IS2IS3ISIS=

ISk

注意各电流参考方向IS=

IS1+

IS2－IS3

电流源并联时，其额定电压值均应大于或等于路端电压数值不同的理想电流源能够串联吗？因理想电流源的电流恒定，所以不同数值的电流源是不能相串联的，否则将造成逻辑混乱！4/26/2026想想练练ISUSISUSIS1IS2US1US2？US？IS？IS电路等效时，因理想电压源数值恒定，与其相并联的电流源不起作用！因理想电流源数值恒定，与其相串联的电压源不起作用！4/26/20261.4.3

实际电源的两种电路模型及外特性IbUSUR0RL+_+_aIURLR0+–IS

R0U

ab电压源模型电流源模型实际电压源总是存在内阻的，实际电流源的内阻也并非无穷大，因此实际电源可用两种电路模型描述USUI0ISIU0电压源模型外特性电流源模型外特性4/26/2026思考理想电压源和理想电流源各有什么特点？它们与实际电源的主要区别在哪里？碳精送话器的电阻随声音的强弱变化，当电阻阻值由300Ω变至200Ω时，假设由3V理想电压源对它供电，电流变化为多少？实际电压源的电路模型中，已知理想电压源为20V，负载电阻为50Ω，当内阻分别为0.2Ω和30Ω时，问流过负载的电流各为多少？由计算结果可说明什么问题？当实际电流源内阻很小时，对电路有什么影响？.1.2.3.4.思考思考思考思考题4/26/20261.5

电路的等效变换——等效的概念等效是指两种不同的事物对同一事件的作用效果相同马拉车和拖拉机拖车使同一拖车产生的速度相同30Ω20ΩAB30Ω60Ω30Ω30ΩBA40Ω两电路对AB以外的部分作用效果相同，它们相互等效4/26/20261.5.1

电阻之间的等效变换即：R=R1+R2串联电阻与等效电阻是和的关系即：并联电阻与等效电阻之间的关系是倒数和的倒数关系若只有两个电阻相并联：R1R2UI+–RUI+–RUI+–若有n个阻值相同的电阻相并联时，则有：R3R1IU+–R24/26/2026电阻混联电路的求解举例1kΩIU+–6kΩ3kΩ6kΩ已知图中U=12V，求I=？R=6//(1+3//6)=2kΩI=U/R=12/2=6mAUR+–I注意：并联比串联的优先级别高！举例1解4/26/2026电阻混联电路的求解举例求图示电路AB之间的等效电阻R=？R=1+6//[4+3//(2+4)]=4kΩUR+–I求电阻混联电路时，找对结点很关键！只要结点找的正确，各电阻之间的串、并联关系也就一目了然，求解起来也很快捷。举例2解4kΩAB4kΩ3kΩ6kΩ2kΩ1kΩ4/26/2026星形（Y）网络与三角形（Δ）网络之间的等效星形网络123R1R2R3123R12R23R31三角形网络4/26/2026Y网络和Δ网络之间的等效举例求图示电路AB之间的等效电阻R=？举例3解150ΩA150Ω150Ω150Ω150ΩBAB50Ω50Ω50Ω150Ω150Ω无论是Y电阻网络还是Δ电阻网络，若3个电阻的阻值相同，其等效电阻网络中3个电阻的阻值也相等，则：所以：RAB=50+(50+150)//(50+150)=150Ω123123注意：等效前后3个关键点的位置不能发生改变！4/26/2026习题练试求下列各电路的入端等效电阻RAB。60ΩA60Ω60ΩB40Ω40Ω（d）100Ω50Ω（a）AB100Ω（b）30Ω20ΩAB30Ω10Ω10Ω20Ω（c）30Ω20ΩAB30Ω60Ω30Ω30Ω4/26/20261.5.2电源模型之间的等效变换Us=IsR0Is=

UsR0U+–IaRLR0IS

R0US

bIU+_bUSR0RL+_a内阻不变改并联电路理论中，为了计算方便，两种电源模型之间是可以等效互换的。如实际电源的电压源模型变换为电流源模型时当实际电源的电流源模型变换为电压源模型时：内阻不变改串联注意：等效前后电流源电流应和电压源电压保持非关联！4/26/2026路电例+_15V_+8V7

7

I5A3

4

7

2AI=？6A+_U5

5

10V10V即：U=8×2.5=20V2A6A+_U5

5

8A+_U2.5

求I=?求U=?两种理想电源之间可以等效互换吗？4/26/2026注意对以下问题的理解等效条件：对外部等效，对内部不等效；理想电压源和理想电流源均是无穷大功率源，它们之间不能等效互换；实际电源模型之间可以等效变换；实际电源模型等效变换过程中应注意等效参数的计算、电源数值与其参考方向的关系；电阻之间等效变换时一定要注意找对结点，这是等效变换分析过程中的关键；等效变换时，与理想电压源相并联的支路对外可以开路等效；等效变换时，与理想电流源相串联的支路对外可以短路等效。4/26/2026习题练1.求Rab。（a）3Ωab1Ω1Ω3Ω3Ω1Ω（b）2Ωab4Ω4Ω4Ω5Ω2.求ab之间的等效电路。2A6A5

5

（a）ab2

+_6V_+8V2

（b）2Aab2

_+3V突破难点4/26/20261.6直流电路中的几个问题电路中各点电位的计算1.6.1电路中某一点的电位是指由这一点到参考点的电压。原则上电路参考点可以任意选取通常可认为参考点的电位为零值Va=US1Vc=–US2Vb=I3R3若以d为参考点，则:+US1–US2US1+_R1+_US2R2R3I3abcddabcR1R2R3Vd=0简化电路图示两种电路形式要求能够在理解的基础上看懂！4/26/2026直流电路中的电位计算举例？解

举例1：分别以A、B为参考点计算C、D两点电位及UCD。I=10+53+2=3AVC=3

3=9VVD=

3

2=–6V以B为参考点时VD=–5VVC=10VUCD=VC–VD=10

(

5)=15V10V2

+–5V+–3

BCDIAUCD=VC

VD=9

(

6)=15V以A为参考点时显然，电位随参考点变化，两点间电压不随参考点变化4/26/2026直流电路中的电位计算举例2下图所示电路，求S打开和闭合时a点电位各为多少？a－12V6kΩ4kΩ20kΩS＋12VI=[12-(-12)]÷(6+4+20)=0.8mAIVa=12-0.8×20=-4V12V20kΩS12V4kΩ6kΩ＋＋－－aII=12÷(20+4)=0.5mAVa=0.5×4=2V解S断开时，图中三个电阻为串联S闭合时，原电路等效为下图所示等效图是根据某点电位等于该点到参考点的电压构画的4/26/20261.6.2电桥电路电桥电路R1RR4R3R2R0US电桥电路中的R1～R4构成了电桥的四个桥臂，桥臂中间对角线上的R支路称为桥支路，另一条对角线通常与电源支路相连。结构特点电桥在工程的用途电桥电路在自动化仪表和自动化控制中有着广泛的应用。利用电桥平衡原理构成的电测仪器，不仅可以测量电阻，也可以测电容、电感，并且还可通过这些量的测量来间接测量非电学的温度、压力等。4/26/20261.6.2电桥电路R1RR4R3R2R0US

电桥中各电阻既不是串联关系，又不是并联关系，所以为复杂电路。

如果电桥电路处在平衡状态时，桥支路将不起作用，去掉桥支路的电路为：

显然，其中电阻的串、并联关系变得一目了然。所以，电桥电路平衡时属于简单电路。R1R4R3R2R0US概括：电桥电路属于复杂电路，但平衡时又是简单电路4/26/2026电桥平衡的条件是什么？R1R4R3R2R0USacdbI1II2设电桥平衡，有Va=Vb，桥支路相当短接不起作用拿掉。则电桥为：两式相除，即可得到电桥的平衡条件为：或者：电桥对臂电阻的乘积相等。平衡条件4/26/2026电桥电路的应用——单臂电桥

直流电桥是专门用来精确测量电阻的电工仪表。根据结构不同，直流电桥分为单臂电桥、双臂电桥和单双臂电桥。单臂电桥比较适合测量1～106Ω的中值电阻；双臂电桥适合测量1Ω以下的低值电阻。单臂电桥又称为惠斯登电桥，测量结构原理图中的Rx、R2、R3、R4为直流单臂电桥的四个桥臂，连接成标准可调电阻，Rx则是被测电阻。电桥的一个对角线ac与直流电源E相接（电桥内部电池），另外一个对角线bd与电桥的检流计相连。4/26/2026实际的单臂电桥线路中，结构原理图中的可调电阻R2和R3的比值是一个相对固定的比例系数，由这两个电阻所在的桥臂称之为比例臂，即R2/R3在出厂时就已经制成相应的读数。

R4的阻值可由面板上的几个旋钮由零开始连续调节，称为比较臂。实测时，调节读数盘的转换开关，使得检流计的电流为零，即Ubd=0，这时电桥处于平衡状态，电桥平衡时，RxR3＝R2R4，其中的R2、R3和R4可直接从电桥面板上读出：电桥电路的应用——单臂电桥4/26/20261.6.3负载获得最大功率的条件RLSUSIR0＋－当第二项中的分子为零时，分母最小，此时负载上获得最大功率，最大功率为：4/26/20261.求a点电位和电流I。2.当RL上获得最大功率时，RL=?I＝？PLmax＝？6Ωa＋20V6Ω6Ω－48V4ΩI+_8V_+4V2

4A

RLI2

1

3.求电路中各点电位值。c16V＋ab15

9

4

15

－20V＋－def11

12

4.求I=?12V＋－12

12

12

2

8

8

I习题练4/26/20261.6.4受控源定义：电压或电流值受某支路电压（或电流）的控制。–+受控电压源受控电流源受控源电路图符号独立源向电路提供的电压或电流由非电能量提供，其大小、方向由自身决定；受控源的电压或电流不能独立存在，受电路中某个电压或电流的控制。受控源的大小、方向由控制量决定。当控制量为零时，受控电压源相当于短路；受控电流源相当于开路。4/26/2026－+压控电压源压控电流源－+流控电压源流控电流源

•

含有受控源的电路分析要点之一

可以用两种电源等效互换的方法，简化受控源电路。但简化时注意不能把控制量化简掉。否则会留下一个没有控制量的受控源电路，使电路无法求解。受控源的分类注意：控制量前面的系数是有寓意的，不能随便替代。4/26/2026含有受控源的电路分析要点之二

如果一个二端网络内除了受控源外没有其他独立源，则此二端网络的开路电压必为零。因为，只有独立源产生控制作用后，受控源才能表现出电源性质。求含有受控源电路的等效电阻时，须先将二端网络中的所有独立源去除（恒压源短路处理、恒流源开路处理），受控源应保留。含受控源电路的等效电阻可以用“加压求流法”求解。

4/26/20261.要求用“加压求流法”求解电阻RAB。2.求图示电路U=？I=?受控源的功率P＝？20Ω100I120Ω90ΩAI1+_10ΩB1A1.5Ω_+3U2.5

I2

_8V+U习题练4/26/2026

1.电桥平衡的条件是什么？电桥不平衡条件下和平衡条件下有什么区别？2.计算电路中某点电位时有哪些注意事项？在电路

分析过程中，能改动参考点吗？3.负载上获得最大功率的条件是什么？写出最大功

率的计算式。4.负载上获得最大功率时，电源利用率是多少？5.电路等效变换时，电压为零的支路可以去掉吗？

为什么？电流为零的支路可以短路吗？为什么？考题思4/26/2026希望同学们对本章内容予以重视，多做习题才能真正掌握其方法。本章内容结束Goodbye！Zhiludianliufa支路电流法Huiludianliufa回路电流法Jiediandianyafa结点电压法Diejiadingli叠加定理Daiveinandingli戴维南定理第2章

电路基本分析方法学习要点

熟练掌握支路电流法，理解回路电流及结点电压的概念，掌握回路电流法和结点电压法分析电路的步骤；深刻理解线性电路的叠加性；理解有源二端网络和无源二端网络的概念，掌握戴维南定理分析电路的方法。以客观存在的支路电流为未知量，应用基尔霍夫两定律对电路列方程求解的方法。2.1

支路电流法适用范围：支路数等于或少于3条的复杂电路支路电流法分析步骤

•

确定已知电路的支路数m，并在电路图上标示出

各支路电流的参考方向；

•

应用KCL列写n-1个独立结点方程式。

•

应用KVL列写m-n+1个独立电压方程式。

•

联立求解方程式组，求出m条支路电流。4/26/2026例1用支路电流法求解下图所求电路中各支路电流，并用功率平衡校验求解结果。电路结点n=2，支路m=3①②I1I2I3选取①为独立结点列KCL方程I1+I2－I3=0①选取网孔为独立回路列KVL方程对网孔Ⅰ：7I1+7I3=70②ⅠⅡ对网孔Ⅱ：11I2+7I3=6③由方程式②可得：I1=10－I3

④由方程式③可得：I2=(6－7I3)÷

11

⑤＋＋－－R17ΩUS170VUS26VR37ΩR211Ω解支路电流法应用举例4/26/2026④⑤代入①可得：10－I3+[(6－7I3)÷

11]－

I3=0解得：I3=4A代入

④⑤可得：I1=6A，I2=－2AR1上吸收的功率为：PR1=62×7=252WI2得负值，说明它的实际方向与参考方向相反。求各元件上吸收的功率，进行功率平衡校验R2上吸收的功率为：PR2=(－2)2×11=44WR3上吸收的功率为：PR3=42×7=112WUS1上吸收的功率为：PS1=－(6×70)=－420W发出功率US2上吸收的功率为：PS2=－(－2)×6=12W吸收功率元件上吸收的总功率：P=252+44+112+12=420W电路吸收的功率等于发出的功率，计算结果正确！支路电流法应用举例图中有几个结点？几条支路？几个回路？几个网孔？4/26/2026＋＋－－R1R2R6US1US2＋R3US3－R4R5①②③④4个结点3个网孔7个回路6条支路需列独立KCL方程4-1=3个需列独立KVL方程6-4+1=3个如何选择独立的结点、回路？本图列多少独立方程？4/26/2026习题练试用支路电流法求出图示电路中各支路电流以及电压Uab。＋－4Ωa2Ω8Ω8Ω8Ω4V10V＋－bI3DI1I2I2解：对D点列KCL方程I1＋I2－I3＝0①上回路KVL：－6I1＋16I2＝10－4②下回路KVL：16I2＋8I3＝10③联立求解得：I1≈0.06A，I2≈0.4A，I3≈0.46A列KCL前应先在电路中标注各支路电流的参考方向列KVL前应先在电路中标注各回路的参考绕行方向把上回路右半边看作假想回路：Uab=-2I1+8I2-10≈-6.92V

4/26/20262.2

回路电流法以假想的回路电流作为未知量，应用KVL对电路列方程求解的方法。适用范围：支路数较多但回路数较少的复杂电路回路电流法分析步骤

•

选取自然网孔作为独立回路，在网孔中标出各回路电流的参考方向，同时作为回路的绕行方向；

•

建立各网孔的KVL方程，注意自电阻压降恒为正，公共支路上的互阻压降的正、负由相邻回路电流而定；

•

在电路图上标出客观存在的各支路电流参考方向，按照它们与回路电流之间的关系，求出各支路电流。

•

联立求解方程式组，求出各假想回路电流。4/26/2026回路电流法应用举例＋－4Ω2Ω8Ω8Ω8Ω4V10V＋－I1解：选取两自然网孔作为独立回路对上网孔列KVL：按回路电流与支路电流间的关系可得I1=-Ia≈0.06A例：用回路电流法求解图示电路中各支路电流。建立两独立回路的KVL方程(8+8+4+2)Ia

＋(8+8)Ib

＝10-4①IaIb对下网孔列KVL：(8+8+8)Ib＋(8+8)Ia

＝10②Ia≈-0.06AIb≈0.46A由①式推出：③Ia结果代③：I2I3③，代②得I2=-Ia+Ib=-0.06+0.46=0.4AI3=Ib≈0.46A4/26/2026读阅解

支路电流是存在于各条支路中的客观响应，是电路分析求解的一般对象；回路电流则是为了减少方程式的数目而人为假想的电路响应，由于回路电流对它所经过的电路结点，均流入一次、流出一次而自动满足KCL定律，因此在电路求解的过程中可省去KCL方程。

回路电流经过的各条支路，若某支路上仅流过一个回路电流，则该支路电流与回路电流数值上相等，二者方向一致时支路电流取正值，相反时取负值；若某公共支路上经过两个回路电流时，则支路电流在数值上等于两回路电流的代数和，其中与该支路电流方向一致的回路电流取正值，与该支路电流方向相反的回路电流取负值。4/26/2026想想、练练

•

说说回路电流与支路电流的不同之处，你能很快找出回路电流与支路电流之间的关系吗？

•试用回路电流法对图示电路列出所需方程式，进而写出各支路电流与回路电流之间的关系。通过本题阐述自己对回路电流法的理解。_+_US1US2R1R2R6R3R4I4_+US3+R5I5I3I1I6I24/26/20262.3

结点电压法以结点电压为未知量，应用基尔霍夫电流定律对电路列方程求解的方法。适用范围：支路数较多但结点数较少的复杂电路结点电压法分析步骤

•选定参考结点。其余各结点与参考点之间的电压就是待求的结点电压（均以参考点为负极）；•标出各支路电流的参考方向，对n-1个结点列写KCL方程式；

•解方程，求解各结点电压；

•用KVL和欧姆定律，将结点电流用结点电压的关系式代替，写出结点电压方程式；•由结点电压求各支路电流及其待求响应。4/26/2026结点电压法应用举例例：用结点电压法求解图示电路中各支路电流。＋＋－－7Ω11Ω7Ω70V

6VI1I2I3选取结点②为参考点，对①列KCL：

解①②I1+I2－I3=0所以：I1=(70－V1)÷7

①I3=V1

÷7

③V1代入①②③可得：I1=6A；I2=－2A；I3=4AV1因为：V1=70－7I1所以：I2=(6－V1)÷11

②因为：V1=6－11I2各电流代入KCL整理可得4/26/2026尔弥定理弥尔曼定理是结点电压法的特例，适用于只有两个结点的复杂电路，其表达式写作：例+_US2+_US1I1I2I3R1R2R3－＋US4R4I4①应用弥尔曼定理求V1电路中各支路电流：当电压升由低到高指向待求结点时取正，否则取负4/26/20261Ω1A1A①②0.5Ω1A1Ω＋＋－－2Ω2V2V2Ω①②0.5Ω1A2Ω2ΩI1I2I3I4I5①列出两结点电流方程：②解举例：用结点电压法求解图示电路中各支路电流。方程左边是结点电流。规定本结点电流中的自电导恒为正，相邻结点的互电导恒为负。解得：各支路电流：4/26/2026Xuexiyusikao学习与思考R3R4ABIS2IS1R5R2R1I1I4I5I2I3＋－US3

用结点电压法求解下图所示电路，与回路电流法相比较，能得出什么结论？4/26/20262.对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立结点较容易。3.回路法、结点法易于编程。目前用计算机分析网络(电网，集成电路设计等)采用结点法较多。支路法回路法结点法KCL方程KVL方程n-1m-n+100n-1方程总数m-n+1n-1m-n+1m1.方程数的比较支路法、回路法和结点法的比较：4/26/2026★2.4

叠加定理叠加定理内容：在线性电路中，任何一条支路的电流或电压，均可看作是由电路中各个电源单独作用时，各自在此支路上产生的电流或电压的叠加。适用范围在多个电源同时作用的电路中，仅研究一个电源对多支路的影响或多个电源对一条支路的影响时。当电流源不作用时应视其开路计算功率时不能应用叠加原理!注意I=I+I"IR1+–R2ISUS=I

R1+–R2USI

R1R2ISUS+当电压源不作用时应视其短路4/26/2026当I´和I″的参考方向与I参考方向一致时取正，反之取负叠加定理解题方法的应用举例用叠加定理解决电路问题的实质，就是把含有多个电源的复杂电路分解为多个简单电路的叠加。应用时要注意两个问题：一是某电源单独作用时，其它电源的处理方法；二是叠加时各分量的方向问题。以上问题的解决方法请看应用举例+ISIRRSUS

+_恒流源开路处理I″RRSIS恒压源短路处理内阻保留原电路电压源单独作用时电流源单独作用时I′RRSUS+_根据叠加定理4/26/2026+-I4A20V10

10

10

用叠加原理求图示电路中I=?4A电流源单独作用时：解I′4A10

10

10

20V电压源单独作用时：+-I″20V10

10

10

电举例两电流分量与原电流方向一致：4/26/2026电举例求电压Us。(1)10V电压源单独作用：(2)4A电流源单独作用：+–10V6

I14A+–Us+–10I14

10V+–6

I1'+–10I1'4

+–Us'6

I1''4A+–Us''+–10I1''4

+–U1'+–U1"Us'=-10I1'+U1'Us"=-10I1"+U1″

解4/26/2026电举例Us΄=-10I1΄+U1΄

=-10×1+4=-6VUs"=-10I1"+U1"=-10

(-1.6)+9.6=25.6V叠加后：Us=Us'+Us"=-6+25.6=19.6V10V+–6

I1'+–10I1'4

+–Us'+–U1'6

I1''4A+–Us''+–10I1''4

+–U1"4/26/2026习题练试用叠加定理求出下图所示电路中电流I，并求出4A恒流源的功率。应用叠加定理求解电路需理解：不作用的电流源应开路处理，不作用的电压源应短路处理。4Ω4A30V＋－↓I3Ω3Ω8Ω6Ω参考答案：I＝1.8A恒流源功率P＝－121.6W4/26/2026课堂实践：叠加定理的验证一、验证电路按照验证电路连线。注意调出电压US1＝12V，US2＝6V。首先让US1作用，

US2短路，测各支路电流、电压；再将US1短路，让US2单独作用于电路，测电压和电流，验证叠加定律。★2.5

戴维南定理适用范围：只求解复杂电路中某一条支路响应时戴维南定理的内容诠释对外电路来说，任何一个线性有源二端网络，均可以用一个恒压源US和一个电阻R0串联的有源支路等效代替。其中恒压源US等于线性有源二端网络的开路电压UOC；电阻R0等于线性有源二端网络除源后的入端等效电阻Rab。Rab线性有源二端网络ab+UOC--+-USabR0线性无源二端网络ab+-USabR0电举例电路中R1=20，R2=30，R3=30，R4=20，U=10V。求：当R5=16时，I5=?

R1R3+_R2R4R5UI5解首先，把电路分为有源二端网络和待求支路两部分。

R1R3+_R2R4R5UI5ab+-USabR0R5I5求开路电压UOC：电压源短路去除后，求Rab应用欧姆定律，求得I5：UOCUSRSRV＋－UOC有源二端网络V下图所示有源二端网络，用内阻为50k

的电压表测出开路电压值是30V，换用内阻为100k

的电压表测得开路电压为50V，求该网络的戴维南等效电路。US=(30/50)RS+30①根据测量值列出方程式：US=(50/100)RS+50②①式代入②式后可得：0.6RS+30

=0.5RS+50③由③式解得：RS=200k代①又可解得：US=150V解应举例4/26/2026戴维南定理解题步骤归纳1.将待求支路与原有源二端网络分离，对断开的两个端钮分别标以记号（如A、B）；2.应用所学过的各种电路求解方法，对有源二端网络求解其开路电压UOC；3.把有源二端网络进行除源处理（恒压源短路、恒流源开路），对无源二端网络求其入端电阻RAB；4.让开路电压等于等效电源的US，入端电阻等于等效电源的内阻R0，则戴维南等效电路求出。此时再将断开的待求支路接上，最后根据欧姆定律或分压、分流关系求出电路的待求响应。应用戴维南定理解题的特殊方法1.开路、短路法求解R0将有源二端网络开路后，求出其开路电压UOC，再将有源二端网络短路，求出其短路电流ISC，开路电压与短路电流的比值即等于戴维南等效电源的内阻R0。2.外加电源法求解R0将有源二端网络除源，在得到一个无源二端网络后，在其两端外加一个恒压源US（或恒流源IS），求出恒压源提供的电流I（或恒流源两端的电压U），则恒压源US与电流I的比值（或恒流源端电压U与恒流源IS之比值）即等于戴维南等效电源的内阻R0。电路如图示，求UR。I1+–9VUR+–3Ω6I16Ω3Ω+–解将待求支路断开+–UOC(1)求开路电压UOCUOC=6I1+3I1I1=9÷

(6+3)=1A

UOC=9VI1+–9V+–3Ω6I16ΩISC法一：开路、短路法求Ro对右回路列KVL：解得：ISC=9/6=1.5AR0=UOC/ISC=9/1.5=6Ω6I1＋3I1＝0解得:I1=0对大回路列KVL：6ISC＝9习题练法二：加压求流法求RoI1+–U+–3Ω6I16ΩIU=6I1+3I1=9I1I1=I=I66+323R0=U/I=6I/I=6Ω+–3

UR-+6

9V戴维南等效电路在除源后的二端网络加电压U对右回路列KVL：通过分流公式找出I和I1的关系：U=6I由等效电路可得：习题练应用法二时应注意：独立源置零、受控源保留试用戴维南定理求出下图电路中的：（a）电路中电压Uab；

（b）电路中的电流I。参考答案：Uab＝16.3VI=8/15A5Ω9V＋－a3A10Ω5Ω10Ω10Ω0.5Ab4Ω2Ω1Ω+-9V+-2V1A2II习题练认真复习、独立作业、勤于思考、必见成效！4/26/2026课堂实践：戴维南定理的验证一、验证电路1.按照左图连线；2.让电路从a、b处断开，测出开路电压UOC，再把电压源US短接，从a、b处测出无源二端网络的入端电阻R0；3.把电流表串进电路中，负载电阻RL短接，测出短路电流值IOS，此值与所测R0进行比较；

4.把负载电阻RL接入电路中，测出路端电压U和电流I。5.按照右图连线，选择电压源的数值等于UOC，内阻的数值等于R0，负载电阻与左图相同，重新测量路端电压U和电流I，并且和左图所测得的U和I相比较。4/26/2026本章学习结束Goodbye!电路分析法贯穿全书，学习中应当明确各定理、方法的应用条件和场合，依据具体问题，灵活选用。Zhengxuanjiaoliudianludexiangliangfengxifa正弦交流电路的相量分析法Xiangliangxingshidedianludinglv相量形式的电路定律第3章

正弦交流电路基础Zhengxuanjiaoliudianludejibengainian正弦交流电路的基本概念Dianyicanshudezhengxuanjiaoliudianlu单一参数的正弦交流电路学习要点

了解正弦交流电的产生；深入理解正弦交流电的诸多基本概念；掌握正弦交流电的解析式和波形图表示法；理解正弦量的相量概念以及相量图的辅助作用；牢固掌握单一电阻元件、单一电感元件和单一电容元件电路的电压、电流关系及其功率情况。4/26/20263.1

正弦交流电路的基本概念3.1.1正弦交流电的产生三相定子绕组对称嵌放在定子铁心槽中。定子铁心尾端：

XYZ↓↓↓

交流电是由三相发电机产生的。发电机主要由定子和转子两大部分构成。AXBYCZ定子绕组首端：

ABC+－转子铁心转子绕组转子绕组通电后产生磁场。转轴NS三相定子绕组与旋转磁场相切割，感应对称三相电压。原动机带动转子绕轴旋转，形成气隙旋转磁场。4/26/2026对称三相交流电的概念3个最大值相等、角频率相同、相位上互差120°的正弦交流电压（或正弦交流电流）均可称之为对称三相交流电。对称三相交流电任意时刻的瞬时值之和恒等于零。uAuBuCu0Tωt对称三相交流电在相位上的先后次序称为相序。工程实际中常采用A

B

C的顺序做为三相交流电的正序。A、B、C三相通常用黄、绿、红三色标示。4/26/20261.正弦量的频率、周期和角频率3.1.2

正弦量的三要素u、it0周期、频率与角频率三者的数量关系：正弦量完整变化一周所需要的时间，单位是秒[s]正弦量在单位时间内变化的周数，单位［1/s］[Hz]T=0.5s周期频率f=2Hz角频率正弦量单位时间内经历的弧度数，单位：每秒弧度[rad/s]。ω=4πrad/s三者从不同的角度反映了正弦量随时间变化的快慢程度4/26/20262.正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值3.1.1正弦量的三要素ut0正弦量对应各个时刻的数值。正弦量变化过程中的正向振幅。瞬时值最大值有效值与交流电热效应相同的直流的数值定义为交流电的有效值。有效值或最大值反映了正弦量的大小及做功能力UmRiRI理论和实践均可证明：4/26/20263.正弦交流电的相位、初相3.1.1正弦量的三要素相位是时间的函数，它反映了正弦量随时间变化的整个进程。初相是正弦量计时始t=0时的电角度。相位初相初相确定了正弦量对应计时始的位置。规定：初相不得超过±180°。正弦量与纵轴相交处若在正半周，初相为正。正弦量与纵轴相交处若在负半周，初相为负。4/26/20263.1.1正弦量的三要素归纳总结要素之一频率、周期和角频率是从不同角度反映正弦量的同一个问题：正弦量随时间变化的快慢程度。要素之一有效值和最大值在数量上具有特定关系，它们均可以反映：正弦量的大小及做功能力。要素之一正弦量的初相可以确切地表征：正弦量计时始的位置。三要素确定之后，正弦量就是唯一和确定的。4/26/2026习题练1.已知正弦量重在对知识的理解，只有理解透彻才能真正掌握根据函数式写出该正弦量的三要素。2.已知正弦电流的频率为50Hz，有效值为5A，初相是60°，试写出该正弦量的解析式，画出波形图。3.已知波形图，写出正弦量的解析式。4/26/20263.1.3相位差

可见，两个同频率正弦量之间的相位之差，实际上等于它们的初相之差。已知，求u、i的相位差。u1与u2反相，即相位差为180°；u3ωtu4u2u1uu3超前u190°，或说u1滞后u390°，二者为正交的相位关系。u1与u4同相，即相位差为零。相位差的几个名词不同频率的正弦量之间没有相位差的概念可言！4/26/20263.2

正弦交流电的相量分析法正弦量的最大值对应复数A的模值；ωu

显然，复数A就是正弦电压u的相量。二者具有一一对应关系。正弦座标复数座标正弦量的初相与复数A的幅角相对应；正弦量的角频率对应复数A绕轴旋转的角速度ω；3.2.1复数及其表示方法4/26/2026正弦量的相量是用复数表示的。因此学习相量法之前应首先复习巩固一下有关复数的概念及其运算法则。复数A在复平面上是一个点；a2a1A原点指向复数的箭头称为复数A的模值，用a表示；模a与正向实轴之间的夹角称为复数A的幅角，用ψ表示；A在实轴上的投影是它的实部数值a1；复数A用代数形式可表示为由图可得出复数A的模a和幅角ψ与实部、虚部的关系为：aA在虚轴上的投影是它的虚部数值a2；＋j＋104/26/2026由图还可得出复数A与模a及幅角ψ的关系为：复数在电学中还常常用极坐标形式表示为：由此可推得A的三角函数表达式为：＋j0a2＋1a1Aa代数形式复数和极坐标形式复数可以相互转换。已知复数A的模a=5，幅角ψ=53.1°，试写出复数A的极坐标形式和代数形式表达式。根据模和幅角可直接写出极坐标形式：A=5/53.1°由此可得复数A的代数形式为：解实部虚部例4/26/2026显然加减法适用代数形式；乘除法适用极坐标形式3.2.2复数的四则运算法则设有两个复数分别为：A、B的四则运算公式：复数四则运算中，根据复数所在象限注意正确写出幅角的值。如+j0+13-34-44/26/20263.2.3

相量与相量图相量特指与正弦量相对应的复数电压和复数电流。i=14.1sin(ωt+36.9°)A，其最大值相量为：有效值相量为：相量的模值对应正弦交流电的有效值或最大值，幅角对应正弦量的初相。因正弦交流电路各电量都是同频率的，所以频率这一要素在计算中可不考虑。为区别与一般复数，