《统计学原理》-第 五 章 　概 率 分 布 与 假 设 检 验

第一节概率一、概率的概念有关概率的问题在日常生活中经常出现。例如，生男孩或生女孩的概率有多大？在填大学志愿时，在多大程度确定被第一志愿录取？根据市场预测，某种产品今后几年年销售量８００件的概率为多少？某运动队出线的概率有多大？体育彩票的中奖率是多少？等等。从上面的问题中我们可以知道概率是与某事件发生的机会、可能性，或确定与程度有关的一个词，这个词的使用已大大超出了统计的范围。上述的事件也被称为随机事件，因为在一组相同条件下，事件可能出现也可能不出现。报下一页返回第一节概率（一）频率（统计概率）人们最早研究概率是从研究频率开始的。在相同条件下进行ｎ次试验，事件Ａ发生的次数ｍ称为频数。频数ｍ与试验次数ｎ的比值ｍ/ｎ称为在ｎ次试验中事件Ａ发生的频率，记作：（二）古典概率若一随机试验满足：第一，样本空间是有限的，即基本事件的个数有限；第二，每个基本事件发生的可能性均相等，则称此试验为古典概率模型，又称等概率模型。在该模型下，事件Ａ发生的概率称为古典概率，记作：上一页下一页返回第一节概率（三）概率的现代数学定义现代数学常常从集合论的角度定义概率。设Ｅ为一随机试验，Ω为其样本空间，对于Ｅ的每一个事件Ａ赋予一个实数，记作Ｐ（Ａ），称为事件Ａ的概率，要求集合函数Ｐ（·）满足下列条件：（１）对每一个事件Ａ，有Ｐ（Ａ）≥０；（２）Ｐ（Ω）＝１；（３）设Ａ１，Ａ２，…是两两互不相容的事件，即对于ｉ≠ｊ，有ＡｉＡｊ＝Φ（ｉ，ｊ＝１，２，…），则有Ｐ（Ａ１＋Ａ２＋Ａ３＋…）＝Ｐ（Ａ１）＋Ｐ（Ａ２）＋Ｐ（Ａ３）＋…，即Ｐ（·）具备可列可加性。上一页下一页返回第一节概率二、概率的计算（一）古典概率１.古典概率定义一种试验，如果具有以下两个特点，则称为古典概率：试验的样本空间的元素只有有限个；试验中每个基本事件发生的可能性相同。２.古典概率事件概率计算公式上一页下一页返回第一节概率（二）条件概率计算１.条件概率设Ａ、Ｂ是两个事件，且Ｐ（Ａ）＞０，称为事件Ａ发生的条件下事件Ｂ发生的概率。不难验证，条件概率Ｐ（Ａ）符合概率定义中的三个条件，即（１）对于每一事件Ｂ，都有Ｐ（Ｂ｜Ａ）≥０；（２）Ｐ（Ｓ）＝１；（３）设Ｂ１，Ｂ２，…是两两不相容的事件，则有上一页下一页返回第一节概率２.乘法定理由条件概率的定义，我们可以得到概率乘法公式，即对于任何事件Ａ、Ｂ，若Ｐ（Ａ）＞０，Ｐ（Ｂ）＞０，则有Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ｜Ｂ）Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ｜Ａ）若Ａ、Ｂ事件相互独立，则Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）上一页下一页返回第一节概率（三）全概率公式设事件Ｂ１，Ｂ２，…，Ｂｎ是样本空间Ｓ的一个部分为ｎ个不相容事件，且Ｐ（Ｂｉ）＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ）则，Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ａ｜Ｂ１）Ｐ（Ｂ）＋Ｐ（Ａ｜Ｂ２）Ｐ（Ｂ２）＋…＋Ｐ（Ａ｜Ｂｎ）Ｐ（Ｂｎ）上式称为全概率公式。当事件Ａ比较复杂，而Ｐ（Ｂｉ）和Ｐ（ＡＢｉ）都容易计算或已知时，可以利用全概率公式求解。上一页下一页返回第一节概率（四）贝叶斯（Ｂａｙｅｓ）公式贝叶斯公式在概率论和概率计算中具有重要地位。设事件Ｂ１，Ｂ２，…，Ｂｎ为ｎ个不相容事件，则对任何一事件Ａ，有Ｐ（Ａ）＞０，可得上一页返回第二节随机变量及其概率分布一、随机变量的概念为了更好地研究随机现象，需要将随机现象与变量联系起来，把随机事件看作某个随机变量在试验中可能取得的不同数值。随机变量有两个特点：变量的取值具有随机性，即不能事先确定Ｘ取哪一个值；变量取值的规律性，即完全可以确定Ｘ取哪一个值或Ｘ在某一区间内取值的概率。下一页返回第二节随机变量及其概率分布按照随机变量可能取值性质的不同，随机变量分为离散型（Ｄｉｓｃｒｅｔｅ）随机变量和连续型（Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ）随机变量两种。其中如果随机变量Ｘ的全部可能取值能够一一列举，则称Ｘ为离散型随机变量。如在一批产品中“取到产品的个数”“单位时间内收到呼叫的次数”等都是离散型变量。如果随机变量Ｘ的全部可能取值不能一一列举，则称Ｘ为连续型随机变量。如检验一批日光灯的质量，其“耐用时数”、实际测量中的“测量误差”等都是连续型随机变量。上一页下一页返回第二节随机变量及其概率分布二、概率分布（一）离散型随机变量的概率分布１.０—１分布设离散型随机变量Ｘ只可能取０和１两个值，概率分布如表５－１所示：２.二项分布设单次试验中，某事件Ａ发生的概率为ｐ（０＜ｐ＜１），现将此试验重复进行ｎ次，则Ａ发生ｘ次的概率为上一页下一页返回第二节随机变量及其概率分布三、连续型随机变量的概率分布在常见的连续型随机变量的概率分布中，最重要的是正态分布。１.正态分布的定义如果随机变量Ｘ的概率密度为正态分布密度曲线如图５－１所示。上一页下一页返回第二节随机变量及其概率分布２.正态分布密度函数ｆ（ｘ）的曲线特征正态分布密度函数ｆ（ｘ）的曲线特征：（１）呈钟形，相对于ｘ＝μ对称；（２）在ｘ＝μ处取极大值；（３）在ｘ＝μ±σ处有拐点；（４）当ｘ→±时，曲线以ｘ轴为其渐近线；（５）若μ不变，则当σ变大时，曲线渐平缓，反之则陡峭；若σ不变，则曲线的对称轴随μ不同而不同。３.标准正态分布如果正态分布的密度函数ｆ（ｘ）的参数μ＝０，σ＝１，即Ｘ～Ｎ（０，１），则为标准正态分布。上一页返回第三节假设检验一、假设检验概述（一）假设检验的概念假设检验是利用样本的实际资料来检验事先对总体某些数量特征所做的假设是否可信的一种统计分析方法。它是先对研究总体的参数做出某种假设，然后通过样本的观察来确定假设是否成立。为了对假设检验有一个直观的认识，通过一个例子来说明假设检验的基本思想。如某厂生产大量袋装食品，按规定每袋质量不小于５０克。从一批产品中随机抽取５０袋，发现有６袋质量低于５０克。若规定不符合标准的比例达到５％，则该批产品就不得出厂，那么该批产品能否出厂？下一页返回第三节假设检验对于该批产品的不合格率我们事先并不知道，要根据样本的不合格率估计该批产品的不合格率，然后与规定的不合格率标准，即不超过５％相比，做出该批产品能否出厂的决定。也就是说，我们首先假设该批产品的不合格率不超过５％，然后用样本的不合格率来检验是否正确。这就是一个假设检验问题。通过以上例子我们可以看出，假设检验是我们所关心的，但却又是未知的总体参数先做出假设，然后抽取样本，利用样本所提供的信息，对假设的正确性进行判断的过程。上一页下一页返回第三节假设检验假设检验的主要目的在于判断原假设的总体和当前抽样所取自的总体是否发生了显著的差异。它通常用样本统计量和总体参数假设值之间差异的显著性来说明，差异小，假设值的真实性就可能大；差异大，假设值的真实性就可能小。因此，假设检验又称为显著性检验。假设检验是进行经济管理和决策的有利工具。（二）假设检验的检验法则假设检验过程就是比较样本观察结果与总体假设的差异，差异显著，超过了临界点，拒绝Ｈ０；反之，差异不显著，接受Ｈ０。上一页下一页返回第三节假设检验（三）假设检验的一般步骤统计假设检验的一般过程可以总结为下述几个步骤：（１）根据实际问题提出原假设Ｈ０和备择假设Ｈ１。通过对实际问题的分析，首先确定所研究的总体，然后依据要解决的问题，做出关于总体的某个论断，即做出关于总体参数的原假设Ｈ０，同时还要做出备择假设Ｈ１。（２）确定适当的检验统计量及分布。选择什么统计量作为检验统计量，需要考虑的因素与参数估计相同。例如，检验用的样本容量大小，原总体方差已知还是未知等。在不同的条件下，应选择不同的检验统计量，使之能反映样本特点，并且在Ｈ０成立的条件下其分布已知。上一页下一页返回第三节假设检验（３）规定显著性水平α，并确定α水平的拒绝域。首先根据问题的需要，给出小概率α，即显著性水平的大小。然后根据检验统计量的分布和显著水平的大小，求出临界值和拒绝域。（４）根据样本值计算检验统计量的值。实际抽样，并将样本观察值代入检验统计量中，求得其具体值。（５）做出统计决策。依（１）、（２）、（３）步建立具体检验标准，用第（４）步提供的统计量的观测值做出统计决策。若样本统计量的值落入拒绝域，则拒绝Ｈ０，接受备择假设Ｈ１；反之，接受原假设Ｈ０。上一页下一页返回第三节假设检验（四）假设检验中的两类错误我们做出判断的依据是通过比较检验统计量的样本数值做出统计决策。由于统计量是随机变量，据之所做的判断不可能保证百分之百正确，即我们进行假设检验时不可避免地会出现误判而犯错误。在假设检验中，可能犯两类错误。第Ⅰ类错误：小概率事件虽然在一次试验中发生的可能性很小，但依然有可能出现，如果小概率事件发生了，而我们却因此拒绝了原假设，犯了“以真为假”的错误。当Ｈ０为真时，可能做出拒绝实际上成立的Ｈ０的判断，这类错误称为犯第Ⅰ类错误，也称为“弃真”或“拒真”。所谓“弃真”，顾名思义，就是原假设实际上是正确的，却被当成错误拒绝了。犯第Ⅰ类错误的概率为Ｐ｛拒绝Ｈ０｜Ｈ０为真｝＝α，α一般称为检验水平。上一页下一页返回第三节假设检验第Ⅱ类错误：当我们接受原假设时，就有可能犯了“以假为真”的错误，即当Ｈ０不真时，却做出接受实际上不成立的Ｈ０的判断，这类错误称为犯第Ⅱ类错误，也称为“取伪”或“受伪”。所谓“取伪”，顾名思义，就是本来原假设是错误的，却被当成正确的内容接受了。犯第Ⅱ类错误的概率为Ｐ｛接受Ｈ０｜Ｈ１为假｝＝β。检验决策与两类错误的关系如表５－２所示。上一页下一页返回第三节假设检验二、总体均值假设检验总体均值的假设检验是常用的参数检验方法。它是检验当前的总体均值是否和事先假设的总体均值（例如生产规程规定的产品平均质量水平、根据理论计算的标准水平和根据历史资料计算的平均水平等）存在着显著性差异，可根据研究问题的要求和样本资料的条件灵活运用各种检验方法。均值的假设检验可分单一总体