振动力学-非线性振动课件 第16章 非线性自由振动

振动力学——非线性振动VibrationMechanics——NonlinearVibrationFOR

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第4篇

弱非线性振动

第16章

非线性自由振动

第17章

非线性受迫振动

第18章

自激振动

第19章

参数激励振动

第20章

二维离散-时间动力系统的不动点与分岔

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第5篇

强非线性振动

第21章

改进的摄动法

第22章

能量法

第23章

同伦分析方法

第24章

谐波-能量平衡法

第25章

三维连续-时间动力系统的奇点与分岔

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第6篇

分岔和混沌

第26章

转子的非线性振动

第27章

板的非线性振动

第28章

三维离散-时间动力系统的不动点与分岔

附录C非线性微分方程的椭圆函数解

附录D部分思考题和习题参考答案

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第4篇弱非线性振动

本篇讨论弱非线性振动共分5章。第16章至第19章介绍弱非线性振动的定量分析方法。第20章介绍非线性振动的定性分析方法。

第16章讨论非线性自由振动。先讨论保守系统的自由振动，再讨论阻尼自由振动。先讨论单自由度非线性自由振动，再讨论多自由度非线性自由振动。首先介绍了方程的无量纲化方法。

第17章讨论非线性受迫振动。与线性受迫振动不同，非线性受迫振动除了具有线性受迫振动共振和非共振的特征外，还有由于非线性而引起的新现象。本章首先讨论非线性受迫振动的共振和非共振。然后接着讨论亚谐共振、超谐共振和组合共振。介绍了求解非线性振动常用的摄动法：多尺度法。

第18章讨论自激振动。自激振动与自由振动和受迫振动不同，是非线性振动中产生的一种新的周期振动现象，数学上是非线性产生的极限环运动。首先介绍自激振动中的典型方程：范德波尔方程的建立，然后介绍用摄动法求解弱非线性范德波尔方程的解析解，接着介绍强非线性范德波尔方程的数值解，分析自激振动和极限环的特征。摄动法介绍：KBM法。

第19章讨论参数激励振动。本章仍然回到线性振动，但这时所讨论的系统的特性并不象上册里假定为常系数，而是时间的周期函数。结果，微分方程成为称作Hill方程的类型。有几个理由使得在这本主要讨论非线性振动的书中用很长的一章讲述线性系统。首先，对任何一个周期的非线性振动稳定性这样重要问题的讨论，必然导向考察Hill方程。第二，这种类型系统里所碰到的振动现象，多少有点象次谐波振动。

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INTERNALUSEONLY第16章非线性自由振动

16

首先介绍了方程的无量纲化方法,然后介绍了常用的三种摄动法,即直接展开法、L-P法和平均法。

精确解法介绍了椭圆函数法和缝接法。

以弹簧摆为例,介绍用拉格朗日方法建立方程,然后用正则平均法求解方程。

最后介绍了Maple软件编程,采用L-P法求弱非线性达芬方程的解析解,用MATLAB编程求解单摆的数值解。仅供内部使用FOR

INTERNALUSEONLY16.1保守系统的自由振动16.1.1单摆

周期运动有多种类型。

阻尼使初始扰动产生的自由振动衰减或消失。

持久保留的稳态周期运动大致分4类,分别为保守系统自由振动、强迫振动、自激振动和参数振动。保守系统的动能与势能之和保持常值,但二者能相互转换。

这种转换使系统位移和速度周期变化,形成持久不衰减的振动现象。

单摆摆动是保守系统的自振动的范例(图16.1.1)。通过分析研究单摆大幅振动,即可准确地掌握保守系统自由振动的特性。

利用动量矩定理,建立单摆的运动方程,经过整理后,得到二阶非线性常微分方程图16.1.1单摆式中,积分常数k为最大摆角θm的函数。通过非线性坐标变换导出初始条件式(16.1.2)相应的坐标函数

φ

的表达式。

事实上,将式(16.1.3)积分得到摆角的特殊函数解

式(16.1.6)是第一类勒让德(Legendre)积分,按式(16.1.6)计算函数φ

从0到π/2的积分,得到参数k

与历经的时间的函数,记作

按照式(16.1.7),单摆大幅摆动周期

按照方程式(16.1.1),单摆微幅摆动周期值

比较式(16.1.8)和式(16.1.9)可知,单摆周期是参数k

的函数

按照式(16.1.10)数值计算,得到单摆周期与幅角间的函数关系,且将其列写于表16.1.1中。16.1.2

单自由度保守系统实例

本节考虑一些单自由度保守系统,它们受形如

的非线性微分方程所控制,从这些例子可以看到非线性性质的不同来源。

16.2

方程的无量纲化

考虑一般形式的非线性微分方程

式中,α为表示函数F的非线性程度的常数,m、c、k分别为系统的质量、线性阻尼和线性刚度,x、t

分别为相应的位移和时间。

下面介绍如何对一般非线性方程实现无量纲化。

对于方程式(16.2.1),假设其初始条件为

对于一般的物理系统,该条件可满足,将式(16.2.1)无量纲化的一般步骤如下。(1)列出有关的有量纲参数。由式(16.2.1)和式(16.2.2)可得

这里将初始振幅也当作有量纲参数。(2)利用式(16.2.3)的参数,构造新的具有时间和长度量纲的常数。

这些常数将作为新的时间和长度“尺度”,这样可得到

式中,g1

、g2

为α、c、k

的函数。

通常由于线性阻尼较小,故

T1<<T2

。(3)利用新的时间和长度“尺度”,构造新的无量纲位移和时间变量

式中,i=1,2;j=1,2,3。

如果能够得到不止一组时间和长度尺度,通常总有一组可使得到的无量纲方程中非线性项前的系数足够小。(4)最后,将无量纲的位移和时间变量代入式(16.2.1)并简化。

对于大多数情况,时间尺度可取

T1,也就是无阻尼时线性系统的固有周期。

下面我们结合几个例子来说明这个过程。

16.3直接展开法

考虑由方程所控制的系统,式中

f(u)一般是非线性函数。

将原点移至中心u=u0,为此设

于是,式(16.3.1)变为

假设

f可以展开,则式(16.3.3)可改写为

式中而

f(n)表示关于自变量的

n阶导数,对于中心,f(u0)=0,而

f′(u0)

>0。对于方程式(16.3.4),假设其中的非线性项不一定是小量,求中心附近的振幅小且有限的运动。

为了寻找描述运动的有效展开式,在展开式中引入一个无量纲小参数ε,它不表征系统的固有参数,只表征所求的运动振幅的量级是小的,同时它可以用来区分各级摄动量。假定方程式(16.3.4)对于初条件假定方程式(16.3.4)对于初条件

的解可以表示成展开式将式(16.3.7)代入式(16.3.4),因为xn

是与

ε无关的,令ε的每次幂的系数等于零,并记α1

=ω20,得到如下一组摄动方程:ε阶ε2

阶ε3

阶在满足初始条件方面,有如下两种选择。·,

选择一

可以将假定的展开式(16.3.7)代入初条件式(16.3.6),令ε

相同幂次的系数相等,其结果为于是根据式(16.3.11)决定x1中的积分常数,根据式(16.3.12)逐步决定xn(n≥2)的齐次解中所含的积分常数。选择二

可以对所有的

xn(n

≥2)直到最后一步,不考虑初条件和齐次解。

但将x1

中的积分常数看作

ε的函数,按

ε

的幂次展开,选择展开式中的

系数使式(16.3.6)得到满足。下面通过具体运算来说明这两种方法是等价的。(1)根据第一种选择。方程式(16.3.8)的解可以写成式中,a1

、β1

为常数。

为满足初条件式(16.3.11),有

将式(16.3.13)代入式(16.3.9),得到

式中已经利用了三角恒等式。

方程式(16.3.15)的解为

对于初条件式(16.3.12),有

于是,根据第一种选择,有式中,a1

、β1

、a2

、β2

由式(16.3.14)和式(16.3.17)确定。

(2)根据第二种选择。方程式(16.3.8)的解可以写为

式中,a、β

为常数,但把它们看作ε

的函数。

暂不考虑初条件。将式(16.3.19)代入式(16.3.9),得方程式(16.3.20)的解(不计齐次解)为于是根据第二种选择,有

式中,常数a

与β

由初条件确定。将解式(16.3.22)代入初条件式(16.3.6),得

由式(16.3.23)可解出

a

与β,设解有如下形式

将式(16.3.24)代入式(16.3.23),有比较方程两端同次幂的系数,得和式(16.3.26)与式(16.3.14)比较,可见将式(16.3.28)代入式(16.3.27),并根据式(16.3.17),有

方程式(16.3.29)的系数行列式等于1≠0,方程有唯一的非零解。

所以,对一组有给定值的

a1,β1,a2,β2,必可唯一确定一组A1,B1,A2,B2

的值,即根据初条件的两种不同选择,都可以得到相同的解。

如果将解求至更高阶近似,也有同样的结论,以后根据第二种选择来满足初条件。

将式(16.3.19)和式(16.3.21)代入式(16.3.10),得

式(16.3.30)的任何特解都包含这一项。

如果继续这种直接展开法,会出现包含因子tmcos(ω0t+β)和tmsin(ω0t+β)的一些项,这样的项称为久期项

。

因为存在久期项,展开式(16.3.7)不是周期的。

而且当t增加时,x3/x1

和

x3/x2

无界增长。

因此展开式中后面的项并非总是对前面的项进行小的修正。

所以说展开式(16.3.7)在t增加时不是一直有效的。

第16.1节的讨论已经指出,非线性系统和线性系统相区别的特征之一是角频率与振幅的相互影响。

但直接展开法根本没有考虑此种关系。

因此,这种方法从一开始就是失败的。考虑角频率与振幅的相互影响,对直接展开法进行的一种修改是

Lindstedt-Poincaré

方法,该法在下面介绍。

16.4

Lindstedt-Poincaré

法

1892年,Poincaré

证明了

Lindstedt的级数解是渐近级数,因此,这种方法被称为Lindstedt-Poinearé

方法,简称L-P

法。

考虑拟线性自治系统引入一个新的自变量

对新自变量

而言,所求周期解的周期为2π,于是方程式(16.4.1)变为

式中,“′”表示对t求导。

把x

和

ω都展开成小参数ε

的幂级数,即

因此,Lighthill

法也称为坐标变换法。

1953年,郭永怀又将此法推广应用于黏性流动问题;1956

年,钱学森建议将以上这一套方法统称为

PLK

法。

这一方法在流体力学、固体力学以及物理学等其他学科都有很广泛的应用,主要不是用于非线性振动。

当用于非线性振动时,其与

L-P法没有多大差别。16.5

精确解法16.5.1

分离变量法

只有极少数特殊类型的二阶非线性常微分方程才有可能得到精确解。

精确解的含义是得到一个精确的表达式,或者可以获得任何精度数值解的表达式。

在这一部分,我们考虑一个可以获得精确解的简单非线性系统。

对具有一般恢复力

F(x)的单自由度系统,自由振动方程可以表达为

式中,a2

为常数。

方程式(16.5.1)可以重写为假定在t=t0

时的初始位移是x0

,初始速度是0,则对方程式(16.5.2)积分可以得到

式中,η

为积分变量。

对方程式(16.4.3)再积分一次得到式中,ξ

为新的积分变量,时间

t0

对应于

x=0。

因此,只要方程式(16.5.4)中的积分能够以封闭的形式给出,就可得到方程式(16.5.1)的精确解。

在计算方程式(16.5.4)的积分后,将所得结果转化,可以得到位移-时间关系。

如果F(x)是奇函数,则考虑到方程式(16.5.4)是从零位移到最大位移的积分,则可以得到振动的周期

为例如,若设

F(x)=xn,方程式(16.5.4)和方程式(16.5.6)变成和通过变换

y=ξ/x0,方程式(16.5.8)可以写为这个表达式可以获得任何精度的数值解。16.5.2

椭圆函数法

振动是在系统的平衡位置附近进行的。

恢复力是否对称是指恢复力的大小在平衡位置正方向的位移上和负方向的位移上是否一样。

例如,恢复力用位移的奇次方幂来表示的就是对称的,而用偶次方幂来表示的就是非对称的。

对于单自由度弱非线性系统如果满足f(-x)=-f(x),则方程式(16.5.10)是对称恢复力拟线性系统的自由振动。

描述线性振动系统位移的三要素为振幅、角频率和相位,同样适用于对称非线性振动系统。Duffing方程是最简单的对称非线性振动系统。

我们把具有固有角频率的两类Duffing方程标准化得到

16.5.3

缝接法

虽然整体上讲分段线性系统(图16.5.4)的恢复力是非线性的,但由于分段有精确解,应用缝接法可以获得整体的精确解。

这是非线性振动中少有的几个精确解的情况之一。

考虑图16.5.4

所示的分段线性系统。

在x≤ξ范围

内,弹簧刚度是K1,在x>ξ

时,刚度是

K2

。

质点

m

的运动

方程可分段表示为

图16.5.4

分段线性系统

图16.5.4分段线性系统

设初始条件为从开始运动至到达

ξ这段时间内的位移的时间历程为其中

速度为到达ξ共历时间到达

ξ时的速度为当质点继续向右运动时,采用式(16.5.44a),整理为其右端是一常数。

从ξ

开始的初始条件为对应的精确解为相应的速度为式中,和

ω2

分别为两段中的圆频率。

这个过程到达最大位移时为止,此时速度为0,故可由式(16.5.53)求得此时的时间为又可由式(16.5.52)求出最大位移即振幅

其中

x1由式(16.5.49)算出。

振动的周期为

分段线性的各种组合,包括左右不对称的组合,形成的系统的自由振动都可按缝接法顺利解出。16.6

阻尼的机制16.6.1

Coulomb阻尼

两个固体间的接触面是干燥时,阻碍它们相对运动的摩擦力称为Coulomb阻尼。

如图16.6.1a)所示,一个外力施加在静止物块上,接触面间就产生了阻碍物块发生运动的摩擦力。

此摩擦力的量值随施加的外力的增大而逐渐增大至一个临界值,此后物块就发生运动。

摩擦力的临界值通常记为

μsFN,此处

μs

称为静摩擦因数,而

FN

为物块和支撑面之间的法向力,在现在的情况下是

mg。

当运动开始以后,f的量值在

x<xm时减少,在x>xm

时增加,如图

(16.6.1b)所示。

在许多应用中,Coulomb

阻尼力用一个常值来近似,因此,图(16.6.1c)中物块的运动方程为式中,μd

为动摩擦因数;-F(x)为弹簧恢复力。

16.6.2

线性阻尼

如图(16.6.1a)所示,接触面上覆盖有液体薄层,因而当两个表面互不接触时,通常假定阻碍运动的摩擦力和速度成正比,即f∝x/h,此处

x为相对速度,h

为薄层厚度。

这时图(16.6.1a)中物块的运动方程为

式中,c

是一个正值常数,与液体性质和两个表面的状况有关。

出现正比于速度的阻尼的另一个例子是浸没在液体中的物体的非常低

Reynolds数运动。

16.6.4

滞后阻尼

考察如图

16.6.2a)所示的系统,它是说明滞后阻尼的一个简单例子。

质点

m

放在光滑平面上,恢复力机制由两个元件并联组成:上面一个是弹簧(不一定是线性的);下面一个由线性弹簧和“Coulomb

阻尼器”串联而成。

两个弹簧中的力由函数

f1

和f2

给出。

设质点

m

由静止状态向右运动。

上元件中的恢复力总是f1(x),此处x是质点m

的位置。

而下元件中的恢复力取决于m

移动的路程。

如果

x≤xs[此处xs

满足f2(xs)=fs,而fs

是阻尼器中的临界摩擦力],则下弹簧的伸长是x,而恢复力是

kx,此处

k是弹簧常数。

当x≥xs时,阻尼器滑动,弹簧中的伸长仍为

xs,恢复力仍为

fs=kxs,如图

16.6.2b)所示。

假定在

处运动反向。

初始时阻尼器不滑动下弹簧中的恢复力沿BC线从kxs

减小到

当质量

m到达

位置时,下弹簧的力达到临界阻尼值

fs,但现在它是压缩力。

当

x减小到过了xc

时,阻尼器滑动,下元件中的恢复力保持

-kxs。如果运动在x-xd

处反向,阻尼器起初不滑动,而下元件的恢复力沿DA线由k(x-xs-xd)给出,当x

达到

xa

时,滑动发生了,在这元件的恢复力保持kxs不变。

如果在x′b处运动再次反向,起初无滑动出现,而下元件的恢复力开始减小,如图

16.6.2b)所示。

载荷周期变化时在图中所围绕的面积等于所耗散的能量。

上面的例子所描述的滞后是硬性的和线性的。

有许多结构在受周期载荷时显示硬特性。

其中包括铆接结构和螺栓结构、外部加固砖石墙以及钢筋混凝土剪力墙和梁一柱结构等。除了上述的结构系统外,还有一些延性材料的复合物,它们可以逐渐滑动或屈服,因此在周期载荷下将呈现软滞后特性,即它们的滞后回线通常是由带圆角的光滑曲线组成的。16.6.5

负阻尼

在上述讨论的例子中,阻尼都是正的。

在这里考察Vanderpol

振子,它具有像阻尼一样的机制,此机制在小的运动幅值时使系统的能量增加(为负阻尼),而在大振幅时使能量减少。

结果该系统达到了与初始条件无关的一个极限圈环。

Vanderpol

振子在第

17

章中详细讨论。16.7

平均法16.7.1

慢变参数(振幅、相位)法设弱非线性微分方程

式(16.7.1)的解与ε=0时的线性振动微分方程的解的区别在于:等号右端项对振动振幅和相位有影响,但这种影响是ε量级的。

荷兰工程师范德波尔(VanderpolB.)于1926年解决自激振动(振荡器)问题时,把方程式(16.7.1)的解写成对线性系统来说,A、B是两个积分常数,而对弱非线性系统,范德波尔把它们看成时间

t

的函数。

苏联科学家克雷洛夫和包戈留包夫则把解写为即把振幅和相位看成时间t的函数,简称KB

法。

这两种方法的基本理论是一致的,即因为是弱非线性问题,所以可设解仍为简谐形式,但振幅和相位(或初相角)都是时间t的慢变函数。

换句话说,振幅和相位在一个周期2πω0内的变化是很小的,故称为慢变参数法。

在方程式(16.7.1)中,如ε=0,可得其解为其中ψ=ω0t+θ,而a、θ

为由起始条件确定的常数,当

ε≠0

时,即有非线性干扰存在,则a、θ将为