振动力学-非线性振动课件 第18章 自激振动

振动力学——非线性振动VibrationMechanics——NonlinearVibrationFOR

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第4篇

弱非线性振动

第16章

非线性自由振动

第17章

非线性受迫振动

第18章

自激振动

第19章

参数激励振动

第20章

二维离散-时间动力系统的不动点与分岔

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第5篇

强非线性振动

第21章

改进的摄动法

第22章

能量法

第23章

同伦分析方法

第24章

谐波-能量平衡法

第25章

三维连续-时间动力系统的奇点与分岔

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第6篇

分岔和混沌

第26章

转子的非线性振动

第27章

板的非线性振动

第28章

三维离散-时间动力系统的不动点与分岔

附录C非线性微分方程的椭圆函数解

附录D部分思考题和习题参考答案

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第4篇弱非线性振动

本篇讨论弱非线性振动共分5章。第16章至第19章介绍弱非线性振动的定量分析方法。第20章介绍非线性振动的定性分析方法。

第16章讨论非线性自由振动。先讨论保守系统的自由振动，再讨论阻尼自由振动。先讨论单自由度非线性自由振动，再讨论多自由度非线性自由振动。首先介绍了方程的无量纲化方法。

第17章讨论非线性受迫振动。与线性受迫振动不同，非线性受迫振动除了具有线性受迫振动共振和非共振的特征外，还有由于非线性而引起的新现象。本章首先讨论非线性受迫振动的共振和非共振。然后接着讨论亚谐共振、超谐共振和组合共振。介绍了求解非线性振动常用的摄动法：多尺度法。

第18章讨论自激振动。自激振动与自由振动和受迫振动不同，是非线性振动中产生的一种新的周期振动现象，数学上是非线性产生的极限环运动。首先介绍自激振动中的典型方程：范德波尔方程的建立，然后介绍用摄动法求解弱非线性范德波尔方程的解析解，接着介绍强非线性范德波尔方程的数值解，分析自激振动和极限环的特征。摄动法介绍：KBM法。

第19章讨论参数激励振动。本章仍然回到线性振动，但这时所讨论的系统的特性并不象上册里假定为常系数，而是时间的周期函数。结果，微分方程成为称作Hill方程的类型。有几个理由使得在这本主要讨论非线性振动的书中用很长的一章讲述线性系统。首先，对任何一个周期的非线性振动稳定性这样重要问题的讨论，必然导向考察Hill方程。第二，这种类型系统里所碰到的振动现象，多少有点象次谐波振动。

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INTERNALUSEONLY第18章自激振动

18

本章讨论自激振动。

首先介绍范德波尔方程的建立,然后介绍用摄动法求解弱非线性范德波尔方程的解析解,接着讨论非线性范德波尔方程的数值解,分析自激振动和极限环的关系与特征。仅供内部使用FOR

INTERNALUSEONLY18.1

自激振动

自然界和工程领域存在另一类振动,它不需要外力激励,也不需要外界作用改变系统的结构参数,而是依靠系统内部各个组成部分相互作用来维持稳态周期运动。

因此,将其命名为自激振动(self-excitedvibration),简称自振。

有些自振系统非常复杂。

例如,人的血液循环系统是极其复杂的自振系统。

心脏按照一定的频率和强度振动,保持血管内血液流动,这就是一种典型的自振现象。

有些自振系统又很简单,例如图18.1.1中的二极管振荡器。

它通常由隧道二极管、电感、电容和直流电源组成。

该系统可用简化数学模型进行分析研究。

图18.1.1中的实验测定的隧道二极管的电流-电压函数关系的近似解析式是

若将隧道二极管的工作点(I0,U0)定在图18.1.1b)所示的P0,在中压U=U0附近工作的二极管相当于具有负阻尼特性的电阻。

二极管在远离P0点后,工作于低压和高压状态时,它又相当于通常的阻尼器。

根据电路理论的克希霍夫定律,结点电流总和恒等于零,存在电路的电流方程

根据电感和电容定义式列写以下方程式中,L

和

C

分别为电感和电容常数。

将式(18.1.1)和式(18.1.3)代入方程式(18.1.2),进行一次求导,即可导出支配二极管电路电压变化的二阶非线性常微分方程

按照下式定义一组变量和参数将方程式(18.1.4)变换成无因次常微方程

范德波尔(vanderPo1.)研究电子管振荡器时最先导出方程式(18.1.6),故将它命名为范德波尔方程。

任意给定初始条件

x(0)=0,x(0)=x0,该方程的解x(t)随时间t的延续均趋向同一个周期函数。

由此方程描述的动力学系统存在恒定频率和恒定振幅的振动。

实践证明,作为该方程的物理模型的隧道二极管振荡器(图18.1.1),确定存在恒频恒幅的振动。而且,此振动的频率和振幅与初始扰动强弱无关。

以上分析表明,范德波尔方程式(18.1.6)的周期解与单摆方程式(16.1.1)的周期解有本质区别。

前者是与初始扰动无关的恒频恒幅振动,后者的振幅和频率取决于初始扰动强度。

这充分揭示了自激振动与保守系统自由振动的差异。

至于强迫振动和参数振动,它们的频率均取决于外激励的频率,其间的差别更加明显。

18.2

自振的形成机制

自振现象不仅发生于力学系统,自然界和工程领域都存在受不同物理规律支配的自振现象。

因此,研究自振的形成机制要运用适用范围更广的基本原理,包括在自然界普遍成立的能量原理和系统科学中的反馈原理。

18.2.1

能量机制

首先用能量原理说明二极管振荡电路自振的形成机制。

图

18.1.1所示电路是有源电路。

能源来自恒压电池。

处于中压状态时,二极管相当于一个负电阻器,使电路耗能低于电源供能,此时,电路具有的电能增加,电流随之增大;处于低压或高压状态时,二极管相当于正电阻器,使电路耗能高于电源供能。

此时,电路具有的电能减少,电流随之减小。

这使电路中形成电流和电压交变的工作过程。

这种交变过程最终维持在特定的强度。

此时,在一个循环中电路消耗能量与电源供给能量相等,形成稳态周期变化的工作状态,这就是自振现象。

以上分析说明,二极管振荡器自振的两个条件是存在恒定能源和二极管兼有正、负电阻器特性。

而且,其正、负阻尼性能交替变换。

荡秋千也是一种自振现象,它的机制也能用能量原理解释。

如果站在秋千上的人保持不动,人和秋千就成为一个复摆。

依靠外力摆动起来后,由于空气阻力和悬挂支承的阻力耗能,秋千很快停摆。

如果秋千上的人按正确规则动作,人体内能就会转变成秋千运动的动能,秋千就能保持大幅摆动。

荡秋千时的正确动作规则表述如下:当秋千位于最低点时,人体从下蹲姿态迅速直立,质心上升,人体的内能迅速转变为势能,这个伴有生物化学变化的复杂过程是不可逆过程;当秋千荡到最高点时,人体再从直立姿态迅速下蹲,此时,势能减少不能恢复为人体的内能,只能转变为秋千的动能,增加摆动速度。

秋千摆动一周,两次经过最低点和最高点,人体向秋千输送能量两次,通过势能转换成动能,秋千就越荡越高。

当秋千摆动时,空气阻力和悬挂支承阻力作负功,消耗能量。

摆角增大,耗能也增加。

当人体输送的内能正好等于秋千摆动的能耗,秋千就以这样大的摆角进行稳态周期运动(自振)。

如上所述,人体运动伴有复杂的生物化学变化过程。

经典力学原理不能完全支配此种运动过程,但它能对秋千位于最低点人体迅速将内能转变成势能进行科学论述。

事实上,此时人体通过肌肉运动产生了垂向内力和着力点间相对位移,具备内力作正功的条件,从而将内能转变成秋千的势能,表现为人体质心上升。

因此,秋千是一个由人控制的动力学系统。

18.2.2

反馈机制

系统科学是孕育于自然科学、工程学和社会科学的横向科学,反馈原理是它的基本原理,系统功能框图是它的重要分析工具。

利用反馈原理和功能框图表述各类自振现象的形成机制,能够简单清楚地揭示其本质。

事实上,物理学家哈尔克维奇(Harkevich)

曾经给自振定义,认为自振系统是主振体,能源、控制器和反馈单元组成的闭环系统,形成自振的反馈机制框图如图

18.2.1所示。

工程领域的许多设备安装了人造反馈单元。

由它产生反馈信息,指挥设备运行

使其处于自振工作状态。

电铃和蒸汽机就是两个范例。

早期蒸汽机的结构原理如图18.2.2所示。

锅炉是它的能源。

配气阀是控制

器，飞轮和负载构成主振体。

靠飞轮和配气阀间的传动杆系提供反馈信息,使蒸汽

机处于恒速转动状态,带动负载往复周期运动。此种稳态周期运动是一种自振现象。

电铃的结构原理如图18.2.3所示。

直流电池是它的能源。

铃和锤是主振体。

电磁开关是控制器。

靠簧片回弹切断电路产生反馈信息,使电铃工作于自振状态。

上述实例表明,正确的反馈信息能保证能量不断地从能源输送给主振体,补偿其振动过程消耗的动能,是维持稳态周期运动的必要条件。

由此可见,自振能持久存在离不开反馈作用。

综合以上分析,说明自振是依靠系统自身能源维持的,要使能源及时补偿振动耗散的能量,必须有内部反馈信息支配能量补充。

这是物理系统自振的两个必要条件。

依靠正确的反馈信息,及时输送能量,维持主振体恒幅恒频周期运动,是自振的形成机制。

18.3

自振的数学模型

如上所述,自振是没有外界激励的稳态周期运动。

它是定常动力学系统的自由运动。线性定常动力学系统，正、负阻尼分别促使运动衰减或发散,不能维持恒频恒幅的周期运动;因此,作为自由运动的自振,只能发生于非线性定常动力学系统。

与此相对应,自振系统的数学模型必定是非线性微分方程。

自振现象是随时间变化的稳态周期运动,描述其运动过程的微分方程的自变量是时间。

许多自振系统只用有限数目的坐标描述其运动形态,时间t成为其运动方程的唯一的自变量。相应的运动方程便是常微分方程。

无论是常微分方程,还是偏微分方程,自振是没有外界激励和依靠系统内部单元间相互作用产生的稳态周期运动。

与此相应,描写自振系统运动的微分方程不含时间t,此类方程称为自治方程。

离散型自振系统:描述其运动状态的变量是有限数目坐标构成的向量

q,相应的状态方程是自治常微方程

连续型自振系统:描述其运动状态的变量是空间分布的向量函数

u(x,y,z,t),相应的运动方程是自治偏微方程

式中,L

是以x,y,z

和t

为变量的微分算子,向量函数

u

是x,y,z和

t的连续函数。

一个给定的自振系统,它的结构和运行参数都是给定的,其运动微分方程为式(18.3.1)或式(18.3.2)。

在研究自振产生的原因和条件时,需要考虑系统结构和运行参数的变化。此时,研究对象是具有不同参数的系统族。

它们的数学模型是含参数的自治微分方程。

该方程包含可变参数向量λ,其通式可以表示为或

18.4

KBM渐进法18.4.1

三级数法—渐进方程组

Krylov和Bogoliubov

于1947

年提出了一种求任意阶近似的渐进法(三级数法),Bogoliubov和Mitropolsky

在1958

年对这个方法作了严格的证明。

同时Mitropolsky于1955

年将该法推广,因此,这一方法称为Krylov-Bogoliubov-Mitropolsky

法,简称

KBM

法或

KBM

渐进法。

我们仍讨论拟线性自治系统

式中,ε为正的小参数;x

为振动位移;f(x,x)为x

和x的非线性函数。

现用三级数法求式(18.4.1)的解,即将方程式(18.4.1)的解及其基波的振幅和相位直接设成

3个小参数

ε

的幂级数的形式,用分离变量法求该级数的系数。

在方程式(18.4.1)中,当无非线性干扰时,即当

ε=0

时,其解可表示为余弦函数

式中,a

为常数,相位角ψ等速变化:(ψ=ω0t+θ,ω0

为线性化系统的固有角频率),或a、θ

是决定于起始条件的常数。

如有非线性干扰(ε≠0),根据大量的试验和观察,知式(18.4.1)有周期解,且其解中将出现以下现象:(1)高次谐波;(2)瞬时角频率dψ/dt与振幅的大小有关;(3)由于系统可能集聚或耗散能量,有可能使振幅增长或减小。

很明显,当无非线性干扰时,以上这些现象都将消失。

考虑到非线性项的影响,方程式(18.4.1)的通解取

式中,x1(a,ψ),x2(a,ψ),…为ψ

的以

2π

为周期的周期函数;a、ψ为时间

t

的函数,由下式决定

把解设成以上

3

个级数的方法称为三级数法或渐进法。

现在的问题是,函数

u1,u2,A1,B1,A2,B2,…具有何种形式时,式(18.4.4)才是式(18.4.1)的解。

下面研究如何确定xi,Ai

和

Bi(i=1,2,…)的函数形式,使得式(18.4.4)能够以误差为

εm+1阶小量的精度满足原方程式(18.4.1)。

在实际应用中,通常是求第一、第二次近似解,更高次的近似解是很复杂的。

下面仅讨论二次近似的情形。

设上式对t求导得再对式(18.4.7)求导,得

此外

把式(18.4.8)连同式(18.4.9)和(18.4.10)代入式(18.4.1)左边,得

将式(18.4.1)的右边在x0=acosψ,x0=-aω0sinψ

附近展成ε的泰勒级数,并利用式(18.4.6)和式(18.4.7),整理后得到令式(18.4.11)和式(18.4.12)右边ε

和ε2

的系数对应相等,得

其中18.4.2

渐进解

为了从式(18.4.13)的第一方程确定A1(a)、B1(a)和x1(a,ψ),把f0(a,ψ)展开成Fourier级数把式(18.4.13)代入式(18.4.11a),并令其右边sinψ和

cosψ项的系数为零,求得即因此

18.4.3

误差分析

现研究第一次近似解的误差问题。由式(18.4.23)可知,

式中,为A1(a)和B1(a)在区间(0,t)中的某一个值。

以上两式表明,量a和

ψ-ω0t要能得到有限增量,时间

t应该是1/ε

量级。

另外,方程式(18.4.23)是由方程式(18.4.5)略去ε2

阶以上小量的各项得到的,而一阶导数

a和

ψ的这种误差导致在时刻t,函数

a和

ψ本身的误差是

ε2t量级。

因此,a

和

ψ-ω0t

在时间间隔(0,1/ε)内的误差将是ε阶小量。

在这个时间间隔内第一次近似解中保留εx1(a,ψ)已经没有意义了。

由此可见,第一次近似解可取其中

同理,第二次近似解可取为其中18.5

范德波尔方程

如图18.5.1所示,用数值法作出的范德波尔方程式(18.4.21)的相图,图18.5.1a)、图18.5.1b)、图18.5.1c)分别表示ε=0.1、ε=1、ε=10

三种情况下的相图。

由于范德波尔方程在自激振动理论中有典型意义,下面做比较详细的讨论。

18.5.1

奇点

令

x1=x,x2=x,得式(18.4.21)的标准化方程Poincaré

提出的非线性微分方程与线性化微分方程有相同奇点的条件全部满足。

首先,恒有

其次,有故范德波尔方程与其线性化方程有相同奇点。

矩阵A的迹和行列式分别为且故当ε>2