振动力学-非线性振动课件 第19章 参数激励振动

振动力学——非线性振动VibrationMechanics——NonlinearVibrationFOR

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第4篇

弱非线性振动

第16章

非线性自由振动

第17章

非线性受迫振动

第18章

自激振动

第19章

参数激励振动

第20章

二维离散-时间动力系统的不动点与分岔

第5篇

强非线性振动

第21章

改进的摄动法

第22章

能量法

第23章

同伦分析方法

第24章

谐波-能量平衡法

第25章

三维连续-时间动力系统的奇点与分岔

第6篇

分岔和混沌

第26章

转子的非线性振动

第27章

板的非线性振动

第28章

三维离散-时间动力系统的不动点与分岔

附录C非线性微分方程的椭圆函数解

附录D部分思考题和习题参考答案

第19章参数激励振动

19本章讨论参数激励振动。首先介绍谐波平衡法，用谐波平衡法求解参数激励振动;然后讨论阻尼对参数激励振动稳定性的影响;接着讨论非线性参数激励振动,参数激励振动中的组合共振;最后介绍等效线性化方法及其物理意义。19.1参数振动若用x

表示摆角,变长度摆的运动方程可以简化为著名的马蒂厄方程。参数振动：外作用动力学系统的结构参数周期性变化,在满足特定参数条件时,动力学系统存在的持久振动。通过时间坐标变换，简化成标准型马蒂厄方程马蒂厄方程是二阶线性周期系数方程,其解称为马蒂厄函数。它不是谐变系数角频率的简谐函数,而是不能用初等函数和超越函数精确描述的一种特殊函数,可以用数值解法建立了它的函数数表。相对于参数δ

和ε的不同数值组合,方程式(19.1.2)的解有的是有界周期函数,相当于稳定的周期运动;有的是发散的振荡函数,相当于不稳定的周期运动。通过稳定性分析,能找到马蒂厄函数与方程系数δ和ε间的定性关系。事实上,当系数ε

为小量时,将方程式(19.1.2)中的

x

和δ

展开为ε的幂级数,可用摄动法导出无阻尼振子受迫振动不出现长期项的临界参数条件,再用它建立(δ,ε)平面内稳定区边界的方程,对应于方程式(19.1.2)中δ取δ=0、δ=1、δ=2的三种情况,参数平面稳定域边界的近似方程分别为按照以上诸式绘制参数平面的稳定域边界,划分出稳定区和不稳定区,如图19.1.2所示。参数值取在稳定区内时,变长摆保持小幅周期摆动;参数值取在不稳定区内时,变长摆的摆动发散。如果参数振动方程式(19.1.2)中增加了线性阻尼项,图19.1.2中的稳定区将随阻尼系数增大而扩大,不稳定区则随之减小。考察参数振动方程式(19.1.2),该系统虽然没有外力激励的非齐次项,但方程中周期变化的系数还是依靠外界的周期作用形成的。例如,图19.1.1中人手的周期性动作。因此,参数振动也是外界周期激励产生的一种振动。19.2谐波平衡法设系统的运动微分方程为若

f(x,x·,t)是t的周期为T的函数,并且方程存在着周期等于T或

T

的整数倍的周期解的情形,非线性函数

f(x,x·,t)在x,x·的有限区域内分别满足莱布尼茨条件,方程的解是唯一的,而且是分段可微的,因此有可能展开成傅立叶级数。19.2.1谐波平衡法将式(19.2.1)的解和函数f(x,x·,t)展开成傅立叶级数其中傅立叶系数为式中,n=1,2,…,由式(19.2.4)求出c0

、cn

、dn

,并将式(19.2.2)、式(19.2.3)代入式(19.2.1),按同阶谐波进行整理后,令sinnωt

、cosnωt系数等于零,得到a0

、an

、bn

(n=1,2,…,)的代数方程组,解此代数方程组,求得a0

、an

、bn就求得了方程式(19.2.1)的解式(19.2.2)。如果只取到n次谐波,则可得2n+1个方程,由此可求出包含n次谐波的近似解。这一方法称为谐波平衡法。以前的各种摄动法,都是把解按量级x1,x2,…展开的,而谐波平衡法是按谐波展开的,因此解的精度取决于谐波的数目,若波数取得少,精度就不高,而取得太多,计算又麻烦。因此,要想得到足够精度的近似解,就必须或者选足够的项,或者预先知道解中所包含的谐波成分,并检查被忽略的谐波系数的量级,否则得不到足够精度的近似解。谐波平衡法既适用于弱非线性问题,也适用于强非线性问题,如图19.2.1所示。19.2.2参数共振存在一种非封闭振动系统,外力的作用可以归结为其参数随时间的变化。拉格朗日函数中的m

和

k就是一维系统的参数,如果它们取决于时间,则运动方程为用新自变量τ

代替t,则方程变为在式(19.2.6)中令m=const，可得到下面形式的一般方程函数ω(t)的形式由问题的条件决定。假设这个函数是周期的,角频率为Ω(周期为T=2πΩ)。这就是说因而方程式(19.2.8)在变换t→t+T下保持不变。可以选择x1和x2使得变量变换t→t+T导致乘以常数具有这种性质的函数的一般形式为式中,Π1(t)、Π2(

t)为时间的周期函数(周期为T)。这些函数中的常数μ1和μ2应该满足确定的关系。事实上,将方程分别乘以x2和x1,相减后可得或对任何形如式(19.2.11)的函数x

1(t)和x2(t)在t变为

t+T时,上面表达式左端乘以μ1μ2

。所以,为了使等式

(19.2.14)在任何条件下都有从方程式(19.2.8)的系数为实数出发,可以进一步给出关于常数μ1,μ2的结论。如果x(t)是式(19.2.8)的某个解,则复共轭函数x∗(t)也满足该方程。由此可知,常数μ1,μ2

应该与另一对常数μ1*,μ2*重合,即μ1=μ2*或者μ1,μ2都是实数。在第一种情况下,考虑到式(19.2.15),有

，常数μ1,μ2的模都等于1。

在第二种情况下,方程式(19.2.8)的两个独立解的形式为并且μ是不为1

的正实数或者负实数。这些函数之一随时间指数增长。也就是说,系统的静止状态(在平衡位置x=0)不稳定:偏离这个状态任意小量,都会使出现的位移x随时间快速增长,这种现象称为参数共振。下面研究一种重要的参数共振情况,函数ω(t)与常数ω0相差很小,并且是周期函数如果函数ω(t)接近ω0的两倍,则参数共振更强烈,所以假设求解运动方程时,假设解的形式为将式(19.2.20)代入式(19.2.19),保留ε的一阶项,这时(这个假设在共振情况下的正确性由结果保证)。将三角函数的乘积展开为三角函数之和,如

略去角频率为的项，可得这个等式成立要求sin和cos的系数都等于零。由此可得函数a(t)和b(t)的两个线性微分方程。求这两个方程的正比于est的解。于是有这两个代数方程协调条件为发生参数共振的条件是s

为实数。可见,参数共振发生在2ω0附近的区间19.3线性阻尼对稳定图的影响在线性系统的强迫振动中,线性阻尼在共振时可以抑制振幅使之不至于无限增长。在参数振动中,如果发生参数共振,即处于不稳定区时,线性阻尼并不能起抑制振幅的作用。它能起的作用是缩小不稳定区。式中,

μ为阻尼系，现表示为设解为式(19.3.2)代入式(19.3.1)并比较ε同幂次项系数,得考虑加入线性阻尼的Mathieu方程第一式的解为式中n2=δ0,式(19.3.3b)成为式中省略的是不会引起永年项的项。消去永年项要求式在进一步用δ(ε)表达稳定区与不稳定区的分界线时,应把阻尼系数还原为原来的形式。这样,分界线由方程在第一次近似范围内,当阻尼系数为即不稳定区消失。当阻尼系数小于此临界时,出现不稳定区。当n=0时,由式(19.3.3b)得到对于n=1,2,分界线分别由确定。与无阻尼情况比较,可看出线性阻尼的作用是将不稳定区位置提升一段距离,使其离开了δ

轴,因为凡满足关系的ε值都使式(19.3.9)的

δ

得不到实数解;阻尼还使不稳定区变窄,如图19.3.1所示。19.4非线性振动系统中的参数激励在线性振动系统中,当系统的质量或刚性参数变化时,在确定的条件下,平衡位置会变成不稳定。甚至当ω2h(调制深度)非常小时,在一定的角频率关系下,系统也会发生振幅无限增长的振动。当在线性系统中存在阻尼力时,后者只会影响到振动激发的条件———当存在阻尼时,调制深度(在此深度下开始共振)具有某个异于零且依赖于阻尼减缩率大小的下限。在有摩擦的情况下,线性系统中没有定常的振动。但在非线性振动系统中,情况则完全不同。当所考察的振动系统的参数按照简谐规律变化时,如它的变化角频率等于或接近于系统固有角频率的二倍时,便开始了共振。在给定的情形中,可以有定常振动的稳定状态。19.4.1具有非线性弹性的参数共振假定,方程式(19.4.1)所描述的振动是接近于简谐的。则对应在系统中存在主分频共振方程式(19.4.1)的解,可求得下式:按照式(16.7.10),a和θ

应满足下面的方程组为了得到振动振幅和相位角的定常值,令方程组取式(19.4.2)的右端等于零。消去相位角θ,求得精确到一阶小量的振幅a与调频

Ω之间的如下关系式借助此关系式,可作出共振曲线。如图19.4.1所示。为了得到同步化区域的边界,必须令

a的表达式的右端等于零。共振区域的宽度为在第一次近似下,共振区域是显然，如果满足不等式则

Δ

为实数。上式确定了在所给的阻尼下参数共振所必需的最小的调制深度19.4.2具有非线性摩擦力的参数共振在电子管回路[图19.4.2

a)]的参数激励的情形中,振动方程是当无参数激励时,即当

h=0的,系统是不自激的。为此,必须使λ0>0。组成第一次近似方程,有为了确定

a和

θ的定常值,令方程式(19.4.9)的右端为零。消去θ,得出具有所取精确度的、振动振幅

a与参数变化角频率

Ω之间的关系式借助此关系,可以作出共振曲线[图19.4.2b)],19.5参数振动中的组合共振考虑自由度数为

n的系统的参数振动问题

式中,ε为小参数;Aij

为常系数。这个系统的派生系统中变量不耦合,派生解可写为按与KBM法相类似的

Struble法,设基本系统的解为式中,i=1,2,…,n。把式(19.5.3)代入式(19.5.1),比较ε的同幂次项系数,得式中按Struble法,在式(19.5.4)中按ε

的幂次来比较各项系数。在一般情况下,得从式(19.5.7)可看出,有两类情况可使分母为零或很小。这就是ω0

j

+Ω≈±ω0

j

-Ω≈±ω0i。这两类情况又可重新组合为Ω≈ω0i+ω0

j

,Ω≈ω0i-ω0

j

j

(ω0i>ω0

j

);

前者称为和型组合共振,后者称为差型组合共振。在这两类情况下,式(19.5.7)中某一项的分母很小,可以说它是ε

量级的。这样的一项就应该从式(19.5.6)中剔出,而参加ε0次幂项的比较。式中,i=1,2,…,n。其解为交通运输与教育平台把与这一对

i,j相对应的项从式(19.5.6)中剔出,让它参加式(19.5.4)中ε0

次幂项的比较,得这里r,s=i,j,r≠s。把19.5.1和型组合共振在

Ω≈ω0i+ω0

j

,

的情况下,以下式引入σ:从式(19.5.9)解出,得这里r,s=i,j,r≠s。按

KBM平均法,取式(19.5.10)右端关于ω0,it,ω0,

j

t在区间2π

内的平均值，得交通运输与教育平台这里r,s=i,j,r≠s。为解式(19.5.11),引入复变量从式(19.5.11)得这里r,s=i,j,r=s。在式(19.5.13)的式子中,变量X

i

和Y

j、Y

i

和X

j两两耦合,因此设解的形式为式中，Xi0、Xj0、Yi0、Yj0为常数。

μ和

ν应分别满足以下两式:交通运输与教育平台因此综合观察式(19.5.12)、式(19.5.14)可知,μ和ν有正实部,则i

和

j两个振型的振动随时间俱增,因而不稳定。

μ和ν没有正实部,则这两个振型是稳定的。因此,联合式(19.5.8)、式(19.5.16),

i

和

j两个振型的稳定性判据为式(19.5.17)是一个很明确的结论。结论表明:若A

ij

与A

ji符号相反,则这二振型的和型组合共振零解总是稳定的;若A

ij

与A

ji符号相同时,激励角频率Ω在如下范围内使和型组合共振发生:交通运输与教育平台式(19.5.19)表明,若A

ij

与A

ji符号相同,差型组合共振不发生。当二者异号时,Ω

在如下范围内使差型组合共振发生:在式(19.5.18)中令i

=j,该式成为19.5.2差型组合共振在

Ω≈ω0,i-ω0,

j

,

ω0,i>ω0,

j

,的情况。经过类似以上的运算,稳定性判据为这也就是第i

个振型不稳定区的第一次近似表达式。19.6等效线性化方法对振动系统的如下形式的基本微分方程对一定的非线性微分方程,可用一个等效的线性微分方程来代替,两个方程的解相差为O(ε2)量级。这一方法又称为描述函数法

,在现代控制理论中有着重要的应用。如上所述,在大多数情况下,第一次近似方程给出和高次近似方程相同的定性结果。由于这一点,以及高次近似方程的运算通常总伴随着复杂的计算,一般只考察第一次近似方程是合理的。第一次近似方程有很简单的物理解释,并且即使事先未曾列出原始的精确方程如式(18.4.1)类型的微分方程,也可以构成这些方程。在本节中,解释第一次近似方程的问题。

其中，m和

k为正的。在第一次近似时,方程式(19.6.1