振动力学-非线性振动课件 第26章 转子的非线性振动

振动力学——非线性振动VibrationMechanics——NonlinearVibrationFOR

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第4篇

弱非线性振动

第16章

非线性自由振动

第17章

非线性受迫振动

第18章

自激振动

第19章

参数激励振动

第20章

二维离散-时间动力系统的不动点与分岔

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第5篇

强非线性振动

第21章

改进的摄动法

第22章

能量法

第23章

同伦分析方法

第24章

谐波-能量平衡法

第25章

三维连续-时间动力系统的奇点与分岔

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第6篇

分岔和混沌

第26章

转子的非线性振动

第27章

板的非线性振动

第28章

三维离散-时间动力系统的不动点与分岔

附录C非线性微分方程的椭圆函数解

附录D部分思考题和习题参考答案

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第6篇分岔和混沌

本篇包括第26章、第27章和第28章,主要介绍传统的非线性振动与现代的分岔和混沌相结合理论及其在工程中的应用。

第26章讨论转子的非线性振动,介绍C-L理论和非线性振动在转子动力学中的应用。

陈予恕等利用动力系统分岔理论,给出了非线性马休方程的一种新解法,并得到了整个系统参数平面上的不同参数域中分岔图各种可能的拓扑结构。Bogoliubov和Nayfeh曾分别用平均法和多尺度法研究了同一系统:

但是,他们得到的响应曲线结果是拓扑不等价的。

人们自然会问:

(1)非线性Mathieu方程的正确的拓扑结构是什么?

(2)若他们的结果都正确,对一般的非线性特性是否还有其他新的响应形式?

(3)对所有的响应曲线,哪些是典型的,哪些是普遍的?

为了回答以上问题,从20世纪80年代起,陈予恕等在定义了周期函数空间后,对一般形式的非线性Mathieu方程应用对称性理论、

LS方法,求得分岔方程后,再利用奇异性理论,建立了被国际上命名的C-L方法(Chen-Langford)。陈予恕、李银山等探讨了弹性转子系统的稳定性和稳定裕度问题。

采用短轴承油膜力的解析表达式和数值模拟的方法研究了系统的分岔和混沌特性。

把电力系统广泛应用的高维轨线约化扩展相平面稳定性量化理论推广到非线性转子系统中,提出了相比正面积准则,给出了转子系统稳定裕度的定义,对滑动轴承不平衡转子系统进行了稳定性量化分析

。

第27章讨论板的非线性振动。

李银山等研究了夹层椭圆形板的非线性强迫振动问题,通过叠加-迭代谐波平衡法得出了椭圆板的1/3亚谐解。

同时,对叠加-迭代谐波平衡法和数值积分法的精度进行了比较,并且讨论了1/3亚谐解的渐进稳定性。

计及材料的非线性弹性和黏性性质,研究了圆板在简谐载荷作用下的混沌,导出了相应的非线性动力学方程;利用Melnikov函数法,结合Poincaré

映射、相平面轨迹、时程曲线和分岔图判定系统是否处于混沌状态,并对系统通向混沌的道路进行了讨论。

第28章讨论三维离散时间动力系统的不动点和分岔。

作为理解非线性离散系统周期m不动点的稳定性和分岔基础,本章全面讨论了线性离散动力系统的稳定性,从不同的角度介绍了非线性离散系统不动点的稳定性、稳定性切换及分岔,重点介绍了Neimark-Sacker分岔的规范形和一般Neimark-Sacker分岔。仅供内部使用FOR

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第26章转子的非线性振动

26

本章研究了非线性参数激励系统在主共振、亚谐共振、超谐共振和分数共振等各种情况下的分岔解,给出了在非退化条件下分岔图的各种可能的拓扑结构。

首先,本章给出了一个弹性转子系统的非线性动力学安全裕度准则。

采用分解和聚合的方法将系统的积分空间与观察空间分离,在积分空间中得到高维系统的稳态轨迹;根据转子系统振动的国际标准确定安全准则的能量界限,在一系列观察空间中采用能量相比正面积准则计算安全裕度。

其次,本章给出了滑动轴承非线性油膜力条件下不平衡转子系统安全裕度计算的实例。

所建议的安全裕度准则包括了工程中通用的稳定裕度的计算,它是解决非线性系统安全裕度和稳定裕度量化计算问题的一种有效方法。仅供内部使用FOR

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Mathieu-Duffing方程等,陈予恕、郎福德研究了非线性Mathieu

方程的亚谐共振分岔解。

但式(26.1.1)还可能发生主共振(m=n=1)、亚谐共振(m=1<

n)、超谐共振(m>1=n)和分数共振(m、n>1,m≠n)等各种共振情况,称为普遍情况。

本书给出了研究普遍情况下分岔理论方法。

首先,研究了式(26.1.1)的对称性;其次,应用

Liapunov-Schmidt

方法求分岔方程,给出某些定理来确定分岔方程的形式和分岔方程的系数;最后,分析了分岔图的各种可能的拓扑结构,阐明了某些新的力学行为。方程等,陈予恕、郎福德研究了非线性

Mathieu方程的亚谐共振分岔解。

但式(26.1.1)还可能发生主共振(m=n=1)、亚谐共振(m=1<n)、超谐共振(m>1=n)和分数共振(m、n>1,m≠n)等各种共振情况,称为普遍情况。

本书给出了研究普遍情况下分岔理论方法。

首先,研究了式(26.1.1)的对称性;其次,应用Liapunov-Schmidt

方法求分岔方程,给出某些定理来确定分岔方程的形式和分岔方程的系数;最后,分析了分岔图的各种可能的拓扑结构,阐明了某些新的力学行为。

令

M(μ,δ,ε)u

表示由式(26.1.1)左端所定义的非线性参数激励振动算子,不难看出该系统将存在以2π/m为周期的周期解。

定义周期函数空间

在式(26.1.2)上定义范数

后,则C2π和C22π为Banach空间。

为了阐明方程式(26.1.1)的对称性,在上述空间上定义两个变换。

移相变换

反相时间变换

不难证明,T2kπ/n和σ

分别和

I(单位矩阵)组成二元Lie群,并将与R2上的二维正交线性变换群

O(2)的一子群T同构。

根据式(26.1.1)不难证明

M

与子群T是可变换的:

式(26.1.5)所示的对称性对确定分岔方程的形式起着决定性作用。

26.1.2

分岔方程

根据

Liapunov-Schmit方法将非线性参数激励振动方程的周期分岔解的问题化为复标量分岔方程,不难证明该分岔方程将具有和算子式(26.1.5)相同的对称性。

令

L

表示Frechet

导数

L

的零空间和值空间分别为

其中,〈·,·〉表示内积,其定义为

而

表示为p(t)的复共轭。

为了计算简单,引入复空间

这里

类似地可定义

在

上L

的零空间的定义为

实值空间为

定义实投影算子

P

和

Q其表达式为和式中,Q

为P的直交补集,故P⊥Q。

所以式(26.1.1)可直角分解成下列互相交错的两式

式(26.1.1)的通解

可写为

这里

将式(26.1.15)代入式(26.1.14a),则可得到确定

的方程式为

因为L从(N(L))⊥到

R(L)的线性可逆映射,由隐函数定理知,可从式(26.1.16)式求得唯一的解

且对充分小的μ,δ,ε

有

将已求出的W代入式(26.1.14b),则有

因

则有

显然可知,式(26.1.19)和式(26.1.20)是等价的。

不难证明

G

和M

具有相同的对称性,这些对称性决定了分岔方程的形式。

定理26.1.1

在式(26.1.1)中,对不同的

n

分岔方程中将存在不同的项,分岔方程的一般项为ZjZl,且(j+l)>0,j·l≥0,这里的j

和

l

满足关系式

这里

s∈Z(整数集),n≠0。

证:若δ≠0≠ε,取T=T2kπ/n

,将其代入式(26.1.20),则有

由上式两端一般项

l的系数应相等，则有

使上式满足,则j必为整数,故式(26.1.21)得正。根据式(26.1.21)可得下列推论:(1)对任意整数

项均将存在。(2)若

n=1，则指数

j

和l

是对称的。

定理26.1.2

当δ=0时，分岔方程的Taylor

展式系数的虚部必为零。

定理26.1.3

当

ε=0时，除了形式为

的项外，不存在其他形式的项。根据以上的分析,当m

和

n为任意整数时，分岔方程有如下形式:

为保证G是解析的,在

G

展开式的各项中,Z

和

的幂数必须为非负整数,由以上分析G

的形式及各系数的结构知,式(26.1.22)中各系数

ajl应为实数,且均为小参数

μ,δ,ε的可微连续函数。

如果

f,g

和

h

均为解析函数,不难证明式(26.1.22)是收敛的。

26.1.3

分岔方程系数的计算

分岔方程式(26.1.22)的形式随着m

和

n

的不同会有变化,对式(26.1.22)求偏导后,则有

由上式可以证明

a21

和

b21

与

n无关。

另外，式(26.1.23)右端的偏导数可直接从式(26.1.20)计算。

将式(26.1.20)对

和ε

求偏导数,并在(0)点计算,则有

为了计算

WεZ(0)和

WεZ(0)将式(26.1.16)对

ε

和Z(Z)求偏导,整理后,则有

式(26.1.25)的后一项是和

m、n

有关的,只有下列关系式成立时它才不为零

即

2m=n,由于m、n

互质,所以有

m=1、

n=2,故

用同样的方法可得到

下面分析式(26.1.24)的

3个内积:

第一项内积

欲使该内积不为零,需有

m

±n=±

n,即只有

m=2n

时,该项内积非零。

第二项内积

不难看出,当WεZ为常数时该式才有不为零的项,根据WεZ的表达式知只有m=n=1

才满足,而对WεZ只有

m=-m+(n±n),即m=n=1。

第三项内积

只有m=n=1,此项才不为零。

总之,只有在

n=1和

m=1,2时,这些项才可能不为零。

故式(26.1.24)计算的最后结果为

由式(26.1.23)可得

用类似的方法可算出式(26.1.23)中的其他系数为

上述系数均为在点(0)计算,注意,这里m

和n

必须为互质的正整数。

根据以上结果,我们可以研究

m/n=1;m/n

=1/2;

m/n

=1/3和

m/n=1/4和

m/n=1/4等各类共振情况下的分岔方程解。26.1.4

分岔曲线

本节我们将建立非线性参数振动方程的共振分岔周期解和分岔方程G=0的解之间的一一对应关系。

因式(26.1.1)的解由式(26.1.15)表示,故周期分岔解的幅值可近似地以

表示。

将

Z表成极坐标的形式

其中

因

r为周期分岔的振幅,故

r

应为

μ,δ和ε的解析函数,将式(26.1.30)代入分岔方程,并只考虑一次近似,然后找出其共轭方程,将二者相乘以消去

θ,最后得分岔方程为

式中,分别为普适开折参数,若满足表

26.1.1

所示的非退化条件,从

得和

S

有实根的条件为

开折参数平面(α′,β′)被式(26.1.32)和式(26.1.33)式分成

6

个域,每个域中所有点都有着拓扑结构相同的分岔图,如图

26.1.1

所示。

转迁集上分岔图除

B3

的分岔图,示于图26.1.2外,其他的分岔图和文献[103]相同,如果系统的参数处于图26.1.1

的第

1区域内,则系统有零解,这是非线性振动控制理论基础。a′和β′普适开折系数见表26.1.1。

本章的部分主要理论结果已被机械模型实验证实。

26.1.5

结论

(1)本节给出了非线性参数激励振动系统在各类共振情况下的分岔解的一般分析方法,得到了除退化情况(β′=0)外的所有

11

中分岔图。

(2)转迁积分两类:一类(B1,B2,B3

和

H1,H2

)的余维数为1;另一类域

3

到域

4

的交界余维数为无限大。

(3)从图26.1.1

的域6可知,当阻尼系数大于参数激励振幅,即

δ>ε

时,也可能存在周期分岔解。(4)除

1/2亚谐共振分岔外,任何其他共振分岔解只有在

α′>0的情况下存在。

(5)当系统参数处于图26.1.1的第1

区域时,对应于零解的情况。

阻尼和参数激励振幅值在特定的力学系统上满足一定关系。

这一结论对非线性系统的振动控制是十分有意义的。

26.2非线性不平衡弹性轴系动力学的安全裕度准则

26.2.1引言

目前,新近兴起学科———混沌动力学为非线性动力系统的分析开拓了广阔前景。

大型旋转机械是十分典型的非线性非自主动力大系统。

其安全运行对于社会生活和经济发展都是至关重要的,而稳定性是其安全运行的关键。

大系统的安全稳定分析和控制不仅是重大的基础科学研究课题,而且对于解决现实生活和生产中的安全问题也有特别重要的意义。

虽然众多数学家、力学家和工程师在稳定性研究方面做了不懈努力,但是,长期以来,稳定性研究仅局限于低维定性理论和线性系统的稳定性量化理论。

由于计算机的发展,高维非线性系统稳定性量化理论成为可能。

李银山和陈予恕等提出了适用于转子稳态稳定性定量问题的相比正面积准则(Comparativepositive-areacriterion,CPAC)。

采用CPAC方法分析了转子系统的非线性油膜失稳问题,并给出了稳定裕度的定义。

安全裕度是根据转子系统运行的实际振幅(或振动烈度)与规范允许值的差距的一种评估指标,它不但可以评估或设计结构的动力学参数,而且包含了稳定裕度的概念。

本书结合国内外现有的旋转机械振动评定标准,给出了安全裕度的定义。

线性转子动力学中多以衰减指数计算其稳定裕度,而在非线性系统中,由于衰减指数是决定于系统的非线性函数,这种计算遇到了很大困难,如果用安全裕度准则,则可将倍周期分岔点的能量作为安全界限,利用相比正面积准则,则可得到规定的稳定裕度。

26.2.2

弹性转子动力学方程

带有一个圆盘的对称单跨弹性转子,两端支承在同样的油膜轴承上,轴的弯曲刚度系数为

k,圆盘及转子的质量向圆盘处和两端简化,圆盘处的质量为

m1,轴两端的质量各为

m2/2。滑动轴承—弹性转子简化模型如图26.2.1

所示。

其运动方程为

式中,zj=xj+iyj(j=1,2);f=fx+ify

(i

是虚数单位);e

为质量偏心距(m);n

为转速(r/min);Ω

为转动角速度(rad/s);fx,fy

为作用于各轴颈上的油膜力(N);g

为重力加速度(m/s2),f为振动频率(Hz)。

假定

δ

为轴承平均间隙,引入如下无量纲变量

将式(26.2.1)无量纲化得到

其中

式中,R

为轴颈半径;L

为轴承宽度;η

为油膜黏度;σ为

Sommerfeld数。无量纲非线性油膜力采用非稳态三函数解析表达式

这里

对短轴承,Ci

的解析表达式

其中

26.2.3周期解稳定性量化分析方法及安全

裕度定义

(1)旋转机械振动评定标准。

目前最常采用的评定方法是以通频振幅来衡量机械的安全运行状态的,根据所使用传感器的种类分为轴承振动评定法和轴振动评定法。

轴承振动评定法可以利用接触式传感器放置在轴承座上进行测量。

轴振动评定法可利用非接触式传感器测量轴相对于机壳的振动值或轴的绝对振动值。

评定参数可用振动位移峰峰值和振动烈度来表示。

表26.2.1为国际电工委员会IEC推荐的轮机振动标准。

制定振动标准时假设:

①机组振动为单一频率的正弦波振动;

②轴承振动和转子振动基本上有一固定的比值,因此可利用轴承振动代表转子振动;

③轴承座在垂直、水平方向上的刚度基本上相等,即认为各向同性的。双振幅

振动烈度

表

26.2.2

为国际标准化组织ISO3945

给出的用振动烈度评定功率大于300kW,转速为600~12000r/min的大型原动机和其他具有旋转质量的大型机器,如电动机和发电机、蒸汽轮机和燃气轮机、涡轮压缩机、涡轮泵和风扇等的振动特性的国际标准。(2)多自由度系统稳定性的定量求解方法———分解-聚合。

大系统理论的研究核心之一就是分解-聚合。

即使大系统是线性的,也只能以分解-聚合的方式才能计算特征根,否则在数值上将不可行。

对于非线性大系统稳定性的严格定性分析,目前仍只能依靠数值积分加上经验判断。

而在创建非线性系统稳定分析的量化理论和算法方面,数学界和控制理论界的研究至今仍处于探索阶段。

分解-聚合法将大系统分解为一系列的子系统,再分别对每个子系统进行分析,最后将它们的结果聚合成原大系统的结果。

这个观点很具吸引力,其关键是如何保证以下几点:

①在分解的过程中,不改变原系统在所关注问题上的特性。

②在每个子系统的分析过程中,完整地(至少充分地)计入其他子系统的影响。

③在聚合过程中,合理地综合各子系统的分析结果对原系统特性的影响。

保稳降维变换的基本思想是将Rn积分空间与观察空间R1

的分离。

对于数值积分任务来说,以Rn

为积分空间可以分析任意规模的系统、任意复杂的模型。

对于稳定信息的提取任务来说,在R1

空间中则可以严格地提供稳定的充要条件和定义稳定裕度。

因此,将观察空间从积分空间中分离出来很有好处。

(3)临界能量的计算。

在实际工程中,正常情况下转子系统的运行质量控制在任何测点上都有两个指标:

①不出现半频成分或半频幅值不超过某很小的值。②工频振幅不超过某规定值。

因为周期

1

失稳模式对转子系统是最重要的,所以本文仅仅讨论周期

1

失稳模式的稳定裕度定义。

假设振动的位移(取

ω=1),则

(4)安全性定量分析特征指标。

周期解在

F-u

扩展相平面上有如下特征。

结论1:对于稳态周期1

解,系统每个周期T

内,在F-u平面上所围面积的代数和为零。

动能增加面积

动能减少面积

动能增加面积Ainc与动能减少面积Adec相等。式中,Fb

为广义制动力,Fd

为广义驱动力,u

为广义位置变量。

实际上,正面积A+1=Ainc=Adec的大小反映了系统存储能量的多少。

结论

2:对于周期2

解,系统每个周期

2T

内,在F-u平面上所围面积的代数和为零。