2027届高三数学一轮复习课件：第九章　9.1 计数原理、排列与组合

第九章计数原理考情清单知识清单考点清单目录CONTENTS考情清单考点真题示例考向5年考频核心素养计数原理、排列与组合2022新高考Ⅱ,5排列问题4考数学运算逻辑推理2023新课标Ⅰ,13组合问题2023新课标Ⅱ,32024新课标Ⅱ,14计数原理创新题二项式定理2022新高考Ⅰ,13特定项和特定项的系

数1考数学运算综合分析本章内容在高考中出现频次较高,题型以选择题、填空题为主.考查计数原理、排

列、组合的应用,利用二项式定理求二项展开式的系数或指定项的系数.近年出现了考

查计数原理的创新题,考查学生的逻辑推理能力,难度较大,做题时需要注意列举法、分

类讨论思想的应用.9.1计数原理、排列与组合知识清单知识点1两个计数原理1.两个计数原理概述(1)分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,

在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.(2)分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有

n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.2.两个计数原理的联系与区别

分类加法计数原理分步乘法计数原理联系都用来计算完成一件事的方法种数区别1.每类方案都能独立完成这件事;2.各类独立;3.分类——相加1.依次完成每一步才能完成这件事;2.步步相关;3.分步——相乘知识点2排列与组合1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元

素按照一定的顺序排成一列组合作为一组2.排列数与组合数的定义、公式、性质

排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元

素的所有不同排列的个数,用符号

表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元

素的所有不同组合的个数,用符号

表示公式

=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=

=

=

=

性质0!=1;

=n!

=1;

=

;

+

=

即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问题.

()(2)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(3)从圆上的10个不同点中任取两个点作弦是排列问题.

()(4)若

=

,则x=m.

()

✕

✕

✕

√

2.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为__________.

72

3.从10名同学中选3名同学为代表参加学校园地竞标种植活动,共有_________种不同选

法.

120

4.若

=10

,则n=_________.

7

考点清单考点1两个计数原理的应用典例1

(2025届江苏南京调研,6)甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛,已决出了

第1名到第4名(没有并列名次),甲、乙、丙三人向老师询问成绩,老师对甲和乙说:“你

俩名次相邻”,对丙说:“很遗憾,你没有得到第1名”,从这个回答分析,4人的名次排列

情况种数为

()A.4

B.6

C.8

D.12

C

解析由题意可得丙不是第1名,甲,乙相邻.当丙是第2名时,丁为第1名,此时共2种情况;当丙是第3名时,丁为第4名,此时共2种情况;当丙是第4名时,若丁为第3名,则有2种情况,若丁为第1名,则有2种情况.所以一共有2+2+2+2=8种情况.故选C.解题技巧

变式训练1.(情境模型变式)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1

门相同的选法有

()A.6种

B.12种

C.24种

D.30种

C

解析分三步完成:第一步,甲、乙选相同的1门,共有4种选法;第二步,甲再选1门有3种选法;第三步,乙再选1门有2种选法,由分步乘法计数原理知,甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有4×3×2=24(种).考点2排列组合问题角度1排列的常见模型典例2在班级活动中,4名男生和3名女生站成一排表演节目.(写出必要的数学式,结果

用数字作答)(1)3名女生不能相邻,有多少种不同的站法?(2)4名男生相邻,有多少种不同的站法?(3)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少种不同的站法?(4)甲、乙、丙3人按高矮从左到右有多少种不同的站法?(甲、乙、丙三名同学身高互

不相等)解析

(1)【不相邻问题插空法】根据题意,分2步进行分析:第一步,将4名男生全排列,有

=24种情况,排好后有5个空位.第二步,在5个空位中任选3个,安排3名女生,有

=60种情况.则3名女生不能相邻的站法有24×60=1440种.(2)【相邻问题捆绑法】根据题意,分2步进行分析:第一步,将4名男生看成一个整体,考虑4人间的顺序,有

=24种情况.第二步,将这个整体与3名女生全排列,有

=24种情况.则4名男生相邻的站法有24×24=576种.(3)【特殊元素优先法】根据题意,分2种情况讨论:①女生甲站在右端,其余6人全排列,有

=720种站法.②女生甲不站在右端,有5种站法,女生乙有5种站法,将剩余的5人全排列,安排在剩余的位置,有

=120种站法,则此时有5×5×120=3000种站法.则一共有720+3000=3720种站法.(4)【定序问题倍除法】根据题意,首先把7名同学全排列,共有

种情况,甲、乙、丙三人内部的排列共有

=6种情况,要使甲、乙、丙3个人按照高矮从左到右的顺序排列,则有

=840种站法.方法总结常见排列问题的解决方法

变式训练2.(设问条件变式)有5辆车停放6个并排车位,货车甲车体较宽,停靠时需要占两个车

位,并且乙车不与货车甲相邻停放,则停放方法有

()A.72种

B.144种

C.108种

D.96种

A

解析

解法一优先法先停入货车甲,若货车甲不靠边停,共有3种停法,则乙车有2种

停法,除甲、乙外的其他三辆车共有

种停法;若货车甲靠边停,共有2种停法,则乙车有3种停法,除甲、乙外的其他三辆车共有

种停法,故共有3×2

+2×3

=36+36=72种停放方法.故选A.解法二间接法不考虑货车甲的特殊情况,将5辆车全排列有

种,再考虑甲、乙两车相邻的情况,用捆绑法得共有

种,所以满足条件的情况有

-

=72种.故选A.角度2组合的常见模型典例3从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要

求服务队中至少有1名女生,共有_______种不同的选法.(用数字作答)

660

解析从8人中选出4人,且至少有1名女生的选法种数为

-

=55.从4人中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人的选法为

=12种.故总共有55×12=660种选法.方法总结组合问题的解决方法

变式训练3.(关键元素变式)某校开设A类选修课4门,B类选修课3门,每位同学从中选3门.若要

求两类课程中都至少选一门,则不同的选法共有()A.18种

B.24种

C.30种

D.36种

C

解析根据题意,分两种情况讨论:①若从A类课程中选1门,从B类课程中选2门,有

·

=12种选法;②若从A类课程中选2门,从B类课程中选1门,有

·

=18种选法.综上,两类课程中都至少选一门的选法共有12+18=30种.故选C.角度3分组与分配问题典例4

(2024届安徽示范性高中联考,6)哈尔滨这座“冰城”火了,2024年元旦假期三

天接待游客300多万人次,神秘的鄂伦春族走进世人的眼帘,这些英雄的后代讲述着英

雄的故事,让哈尔滨大放异彩.现安排6名鄂伦春族小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春

族的民俗文化,每个景点至少安排1人,则不同的安排方法种数是

()A.240

B.420

C.540

D.900

C

解析若三个景点安排的人数之比为1∶2∶3,则有

=360种安排方法;若三个景点安排的人数之比为1∶1∶4,则有

·

=90种安排方法;若三个景点安排的人数之比为2∶2∶2,则有

·

=90种安排方法,故不同的安排方法种数是360+90+90=540.故选C.解题技巧

1.分组与分配问题的三种类型及求解策略类型求解策略整体均分解题时要注意,分组后不管它们的顺序如何,都是一种情

况,所以分组后一定要除以

(n为均分的组数),避免重复计数部分均分解题时要注意,若有m组元素的个数相等,则分组时应除

以

,一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数不等分组先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个数都不相

等,所以不需要除以全排列数2.分组与分配问题的注意点(1)处理分配问题要注意先分组再分配.(2)被分配的元素是不同的.(3)分组时要注意是不是均匀分组.变式训练4.(关键条件变式)(2026届山东青岛第五十八中月考,6)某学术协会收到5篇论文,需

要分配给3名专家进行评审,每名专家至少评审1篇,每篇论文由1名专家独立评审,则不

同的分配方式共有

()A.60种

B.90种

C.