2027届高三数学一轮复习课件：第七章　高考热点7　球的接、切问题

第七章立体几何与空间向量高考热点7

球的接、切问题类型1几何体的外接球类型2几何体的内切球、棱切球和叠切球目录CONTENTS类型1几何体的外接球角度1公式法求长(正)方体的外接球半径正方体的外接球:外接球直径2R=正方体体对角线长=

a(a为正方体棱长).长方体的外接球:外接球直径2R=长方体体对角线长=

(a,b,c分别是长方体的长、宽、高).角度2

补形法求能补成长(正)方体的几何体的外接球问题模型示例墙角模型

垂直模型

对棱相等模型

角度3双面定球心法求解外接球问题如图,在三棱锥P-ABC中,(1)选定底面△ABC,定△ABC外接圆圆心O1,(2)选定侧面△PAB,定△PAB外接圆圆心O2,(3)分别过O1作面ABC的垂线,过O2作面PAB的垂线,两垂线交点即为外接球球心O.典例1

(垂直模型)(2024届湖南九校联盟二模,5)如图,在四面体P-ABC中,PA⊥平面

ABC,AC⊥CB,PA=AC=2BC=2,则此四面体的外接球表面积为

()

A.3π

B.9π

C.36π

D.48π

B

解析将四面体P-ABC补形成长方体,长方体的长、宽、高分别为2、1、2,

四面体P-ABC的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为R,则2R=

=3,所以外接球的表面积为S=4πR2=9π.故选B.典例2

(对棱相等模型)在四面体ABCD中,AB=CD=2,AC=BD=

,AD=BC=

,则该四面体的外接球的表面积为__________.

6π

变式训练1.(墙角模型)(2025届山东德州开学考,13)已知三棱锥P-ABC,若PA,PB,PC两两垂直,

且PA=2PB=4,PC=

,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为___________.

25π

2.(双面定球心法)如图,在四面体ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,侧面△BCD是等边

三角形,底面△ABD是等腰直角三角形,AB⊥BD,BD=2,则四面体ABCD的外接球的体积

是()

A.

B.

C.

D.

C

解析设△ABD的外接圆半径为r1.因为△ABD是等腰直角三角形,AB⊥BD,BD=2,则△ABD的外接圆半径r1=

=

.设△BCD的外接圆半径为r2,由正弦定理得

=2r2,解得r2=

.设△ABD的外接圆圆心为O1,△BCD的外接圆圆心为O2,过O1作平面ABD的垂线,过O2作平面BCD的垂线,两垂线的交点O即为四面体ABCD外接球的球心,设球心O到平面ABD的距离为d,则d等于△BCD的外接圆的圆心O2到BD的距离,

类型2几何体的内切球、棱切球和叠切球角度1内切球的解题技巧技巧思路图示(以三棱锥为例)等体积法设内切球半径为r,由VP-ABC=VO-ABC+VO-

PAB+VO-PAC+VO-PBC,解得r=

轴截面法作出轴截面(截面中含切点、球心等

元素),利用三角形的相似求解内切球

的半径

典例3

(轴截面法)(2026届江苏南京中华中学学情调研,7)已知圆台的上、下底面

半径之比为1∶2,它的内切球(与圆台的上、下底面以及每条母线都相切的球)的体积

为

,则该圆台的体积为

()A.

B.

C.3π

D.

A

解析设圆台的内切球半径为R,因为圆台的内切球体积为

,所以

=

R3,解得R=1,所以圆台的高h=2.设圆台的上底面半径为r1,则下底面半径为2r1,圆台的轴截面如图,O为球心,O1,O2为上、下底面圆圆心,

根据题意得圆台的母线长l=BC=BA+AC=O1B+O2C=r1+2r1=3r1,过B作BD⊥O2C.在Rt△BCD中,由勾股定理得l2=h2+(2r1-r1)2,

变式训练3.(等体积法)已知三棱锥A-BCD中,AB=CD=2,AD=AC=BD=BC=3,则该三棱锥的内切

球的体积为

()A.

B.

C.

D.

D

角度2棱切球问题棱切球是指与几何体每条棱都相切的球,存在棱切球的几何体需满足从同一顶点出发

的各棱长相等.如正多面体或侧棱与底面垂直且底面为存在内切圆的多边形,如直棱柱.

常见特殊几何体的棱切球半径:(1)棱长为a的正四面体的棱切球半径r=

a.(2)棱长为a的正方体的棱切球的半径r=

.(3)当直棱柱的底面为存在内切圆的多边形(如正三角形、正方形、正五边形等)时,才存在棱切球.球心在直棱柱上、下底面中心连线的中点处,半径r满足:r2=

+

,其中r底是底面多边形内切圆半径,h是直棱柱的高.典例4

(正四面体的棱切球)(2025届湖南长沙一中月考,5)已知球O的表面积为4π,

若球O与正四面体S-ABC的六条棱均相切,则此四面体的体积为

()A.

B.

C.2

D.8

B

变式训练4.(正三棱柱的棱切球)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为18,若存在球O与三棱柱

ABC-A1B1C1的各棱均相切,则球O的表面积为___________.

16π

解析设正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为b,上底面中心为O1,下底面中心为G,

连接O1G,则球O的球心O即为O1G的中点,设球O切棱AA1于F,切棱BC于E,则F、E分别为

所在棱的中点,【确定切点位置】由题意知

=

a2b=18,①

因为OF=AG=

=

a,GE=

a,

角度3叠切球问题处理多个球的叠切问题的一般思路.思路方法图示

连接球心构造“球心截面”,利用相

似降维解决问题

连接球心构造“球心几何体”,将抽

象问题具体化.常见4个相同的球两两外切可构造正

四面体典例5

(2025届重庆一中三模,8)棱长为4

的正四面体内切一球,在正四面体和该球形成的空隙处放入一个小球,则这个小球的体积最大为()A.

B.

C.2π

D.

π

D

解析如图,由题意知小球和正四面体A-BCD的三个侧面以及正四面体的内切球都相

切时半径最大,设正四面体的内切球球心为O,半径为R,空隙处的最大球的球心为O1,半

径为r,

球O与平面BCD相切于G,由正四面体的结构特征可知G为△BCD的中心,AG⊥平面

BCD,设E为CD的中点,球O和球O1分别与平面ACD相切于F和H.

.故选D.变式训练5.(情境模型变式)(2025届江苏南京金陵中学调研,8)现有大小完全相同的10个半径

为r的小球,全部放进棱长为8+4

的正四面体盒子中,则r的最大值为

()A.

B.1

C.

D.2

D

解析如图,因为正四面体的高等于其棱长的

,所以其高为AO=8+

.10个半径为r的小球放进棱长为8+4

的正四面体A-BCD中,为保证r最大,应排列成三棱锥形状,有3层,则从上到下每层的小球个数依次为1,1+2,1+2+3,当r取最大值时,从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切,