2027届高三数学一轮复习课件：第五章　5.2　平面向量的数量积

第五章平面向量与复数5.2平面向量的数量积知识清单考点清单目录CONTENTS知识清单知识点1平面向量的夹角

提醒两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线.知识点2平面向量的数量积1.平面向量数量积的概念

2.平面向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=

.(4)cosθ=

.(5)|a·b|≤|a|·|b|.3.平面向量数量积的有关结论已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.

向量表示坐标表示向量a的模|a|=

|a|=

a与b垂直a⊥b⇔a·b=0a⊥b⇔x1x2+y1y2=0a与b的夹角cosθ=

cosθ=

知识拓展

1.极化恒等式:设a,b是平面内的两个向量,则有a·b=

[(a+b)2-(a-b)2],极化恒等式的几何意义是:在△ABC中,若AD是BC边上的中线,则

·

=|

|2-|

|2.2.向量与三角形结合问题在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.(1)在

=λ

的条件下,存在λ使得I为△ABC的内心;a

+b

+c

=0⇔P为△ABC的内心.(2)|

|=|

|=|

|⇔P为△ABC的外心.(3)

+

+

=0⇔G为△ABC的重心.(4)

·

=

·

=

·

⇔P为△ABC的垂心.(5)S△ABC=

|

||

|sinA=

.知识点3投影向量设a,b是两个非零向量,

=a,

=b,过

的起点A和终点B,分别作

所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到

,我们称上述变换为向量a向向量b投影,

叫做a在b上的投影向量.记a,b的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则

=|a|cosθe=

e.

即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)两个向量的夹角的范围是

.

()(2)由a·b=0可得a=0或b=0.

()(3)对于向量a,b,c,有(a·b)c=a(b·c).

()(4)若a·b=a·c,则b=c.

()

✕

✕

✕

✕

2.(易错题)已知向量a=(2,1),b=(1,2),若c是a在b上的投影向量,则c=_________.3.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a+b|=__________.

2 

4.(人教A版必修第二册P36练习T3改编)已知a=(-

,-1),b=(1,

),那么a,b的夹角θ=______.150°

考点清单考点1平面向量的数量积典例1

(1)已知向量a=

,b=

,则a·(a+b)=

()A.0

B.1

C.

D.2(2)(2025届海南海口模拟,4)已知向量a,b满足a=(1,2),|b|=

,|a-2b|=3,则a·b=

()A.-2

B.-1

C.1

D.2

D

B

解析

(1)|a|=

=1,a·b=

×

+

×

=0,所以a·(a+b)=a2+a·b=1.故选B.(2)由a=(1,2),得|a|=

,由|a-2b|=3,得|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4a·b=9,又|b|=

,所以a·b=2.故选D.方法总结解决向量数量积运算问题的三种方法1.定义法:已知向量的模、夹角或数量积时,可利用定义法求解.2.坐标法:已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用坐

标法求解.3.投影向量法.变式训练1.(情境模型变式)已知向量a=(1,-

),向量b在a上的投影向量为-

a,则a·b=

(

)A.-2

B.-1

C.1

D.2

A解析由a=(1,-

),得|a|=2,因为向量b在a上的投影向量为

a,所以

=-

,解得a·b=-2.故选A.2.(关键元素变式)在矩形ABCD中,AB=2AD=4,E为BC的中点,P为平面ABCD内一点,|

|=1,则

·

的取值范围为

()A.[-2,8]

B.[-2,2]

C.[-4,8]

D.[-4,2]

A

解析如图,建立平面直角坐标系,

则D(0,2),E(4,1),因为|

|=1,所以设P(cosθ,sinθ),则

=(-cosθ,2-sinθ),

=(4-cosθ,1-sinθ),可得

·

=-cosθ(4-cosθ)+(2-sinθ)(1-sinθ)=3-(3sinθ+4cosθ)=3-5sin(θ+φ),其中cosφ=

,sinφ=

,因为sin(θ+φ)∈[-1,1],所以

·

的取值范围为[-2,8].考点2平面向量数量积的应用典例2

(1)(求向量的模)已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=(

)A.12

B.16

C.2

D.4(2)(求向量的夹角)(2026届河北冀州中学开学考,3)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,若向

量a在向量b上的投影向量为-

b,则<a,b>=

()A.

B.

C.

D.

(3)(求向量的投影向量)已知平面向量a=(2,2),a+2b=

,则b在a方向上的投影向量为

()A.

a

B.-

a

A

A

C

C.

a

D.-

a解析

(1)∵a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,∴|a+2b|=

=

=

=2

,故选C.(2)向量a在向量b上的投影向量为

·b=2cos<a,b>·b,由题意,知2cos<a,b>=-

,即cos<a,b>=-

,又0≤<a,b>≤π,则<a,b>=

.故选A.(3)由a=(2,2),a+2b=

得b=

,则a·b=2.又因为|a|=2

,所以b在a方向上的投影向量为

a=

a.故选A.解题技巧

1.求平面向量的模的方法(1)公式法:①a2=a·a=|a|2或|a|=

;②若a=(x,y),则|a|=

.(2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量的平行四边形法则或三角形法则作出向

量,再利用余弦定理等方法求解.2.求平面向量夹角的方法(1)定义法:利用向量数量积的定义,得cos<a,b>=

,其中向量a,b的夹角的范围为[0,π].(2)坐标法:已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos<a,b>=

.3.求投影向量的方法(1)b在a上的投影向量为|b|cosθ·

(θ为a,b的夹角),a在b上的投影向量为|a|cosθ·

.(2)b在a上的投影向量为

a,a在b上的投影向量为

b.变式训练3.(关键元素变式)已知e1,e2是同一平面内的两个向量,其中e1=(2,3).(1)若|e2|=

且e1+e2与e2垂直,求e1与e2的夹角θ;(2)若e2=(2,1)且e1与e1+λe2的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.解析

(1)由(e1+e2)⊥e2得(e1+e2)·e2=0,即e1·e2+

=0,所以e1·e2=-

=-

,得cosθ=

=-

,又θ∈[0,π],所以θ=

.(2)因为e1=(2,3),e2=(2,1),所以e1+λe2=(2,3)+λ(2,1)=(2+2λ,3