2027届高三数学一轮复习课件：第五章　5.3　复数

第五章平面向量与复数5.3复数知识清单考点清单目录CONTENTS知识清单知识点1复数的有关概念1.复数的概念:形如a+bi的数叫做复数,其中a为实部,b为虚部.2.复数的分类:复数z=a+bi分类如下:

3.复数相等:a+bi=c+di⇔a=c且b=d.4.复数的模:向量

的长度叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=

.5.共轭复数:复数z=a+bi的共轭复数为a-bi,记为

,即

=a-bi.6.复数的几何意义

(以上a,b,c,d∈R,i为虚数单位)知识点2复数的运算1.复数的四则运算设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i;z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;

=

=

+

i(c+di≠0).2.几何意义:复数的加、减法可类比向量的加、减法.如图,平行四边形OZ1ZZ2可以直观

地反映出复数加、减法的几何意义,

即

=

+

,

=

-

.常用结论

(1)(1±i)2=±2i;

=i;

=-i.(2)-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R).(3)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=0,n∈N.(4)设z,z1,z2都是复数,n是大于1的正整数.①z·

=|z|2=|

|2;②|z1·z2|=|z1|·|z2|,

=

(|z2|≠0);③|zn|=|z|n;④|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2.(5)①r1≤|z|≤r2表示以原点O为圆心,分别以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环;②|z-(a+bi)|=r(a,b∈R,r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部为bi.()(2)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.

()(3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.

()(4)若复数z满足z2∈R,则z∈R.

()

✕

✕

✕

✕

2.(易错题)已知(m2+m-6)+(m-2)i是纯虚数,则实数m的值为_______.

-3

3.(人教A版必修第二册P80习题T2改编)若向量

与

对应的复数分别是1+i,-1+4i,则向量

对应的复数为____________.

2-3i

4.(人教A版必修第二册P81习题T9改编)若复数z满足1≤|z|≤2,则在复平面内,z所对应

的点组成的图形的面积为__________.

3π

考点清单考点1复数的概念及几何意义典例1已知复数z=3+4i(i为虚数单位),则

=

()A.5

B.3

C.

D.

D

解析由题意得,

=

=

=

=2+i,所以

=

=

.故选D.典例2

(2022浙江,2,4分)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则

()A.a=1,b=-3

B.a=-1,b=3C.a=-1,b=-3

D.a=1,b=3

B

解析

a+3i=(b+i)i=-1+bi,所以a=-1,b=3.故选B.典例3

(多选)设

=(1-i)z-1,其中

是z的共轭复数,则

(

)A.z的实部为2B.

的虚部是-2C.|z|=

D.在复平面内,

对应的点位于第二象限

AC

解析设z=a+bi,a,b∈R,则

=a-bi,则a-bi=(1-i)(a+bi)-1=a+b-1+(b-a)i,则

解得

则z=2+i,

=2-i,所以z的实部为2,

的虚部是-1,|z|=

=

,

=

=

=1-i,所以在复平面内,

对应的点为(1,-1),位于第四象限.故选AC.变式训练1.(情境模型变式)在复平面内,O为坐标原点,复数(1+i)2对应的点为A,复数3+4i对应

的点为B,复数-1+mi对应的点为C,若AB⊥OC,则m的值为()A.

B.-

C.

D.-

C

解析由题意知A(0,2),B(3,4),C(-1,m),所以

=(3,2),

=(-1,m).因为AB⊥OC,所以

·

=-3+2m=0,解得m=

.2.(设问条件变式)(2025届福建厦门三中适应性考试,12)已知复数z满足|z|=1,则|z-2-

i|的取值范围为_____________.

[2,4]

解析满足|z|=1的复数z对应的点在以原点为圆心,1为半径的圆上,|z-2-

i|的几何意义为圆上的点到定点P(2,

)的距离,如图,

|OP|=

=3,因此|z-2-

i|的取值范围为[3-1,3+1],即[2,4].考点2复数的运算典例4

(2020新高考Ⅰ,2,5分)

=

()A.1

B.-1

C.i

D.-i

D

解析

=

=

=-i,故选D.典例5已知i为虚数单位,则i+i2+i3+···+i2025等于

()A.i

B.1

C.-i

D.-1

A

解析易知{in}(n7∈N*)的周期为4,且i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,又2025=4×506+1,所以原式=i,故选A.解题技巧

1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的加法、减法、乘法运

算,除法运算的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数.2.解复数的运算与复数概念的综合题时,先利用复数的运算法则化简,一般化为a+bi(a,b

∈R)的形式,然后作答.变式训练3.(关键元素变式)(2026届安徽江淮十校第一次联考,1)复数z满足

·(1+i)=2+i,则z=

()A.

-

i

B.

-

iC.

+

i

D.

+

i

D

解析∵

·(1+i)=2+i,∴

=

=

=

,∴z=

+

i