电路分析基础（第4版）

电路分析基础人民邮电出版社2015年2月主编:刘陈周井泉沈元隆于舒娟第一章电路基本概念1-1实际电路和电路模型

实际电路是由一定的电工、电子器件按照一定的方式相互联接起来，构成电流通路，并具有一定功能的整体。电器与实际电路电路模型是实际电路的抽象化，理想化，近似化。电路理论中所说的电路是指由各种理想电路元件按一定方式连接组成的总体,也就是电路模型。(a)实际电路(b)电原理图(c)电路模型(d)拓扑结构图手电筒及其电路模型实际器件理想元件符号图形反映特性电阻器 电阻元件R消耗电能电容器电容元件C 贮存电场能电感器 电感元件L贮存磁场能互感器互感元件M 贮存磁场能电路间的不同之处:(理想)元件;连接方式实际器件与理想元件的区别：实际器件——有大小、尺寸，代表多种电磁现象；理想元件——是一种假想元件，没有大小和尺寸，即它的特性表现在空间的一个点上，仅代表一种电磁现象。

集总参数电路：电器器件的几何尺寸远远小于其上通过的电压、电流的波长时，其元件特性表现在一个点上。有时也称为集中参数电路。分布参数电路：电器器件的几何尺寸与其上通过的电压、电流的波长属同一数量级。例晶体管调频收音机最高工作频率约108MHz。问该收音机的电路是集中参数电路还是分布参数电路?几何尺寸d<<2.78M的收音机电路应视为集中参数电路。解：频率为108MHz周期信号的波长为

1-2 电路分析的变量电路变量：描述电路工作状态或元件工作特性的物理量。电流i(t)与电压u(t)；电荷q(t)与磁链ψ(t)；功率p(t)与能量w(t)。i,u为常用基本变量，p,w为复合基本变量。1-2-1电流及其参考方向电荷在导体中的定向移动形成电流。电流强度，简称电流i(t)， 单位：A，1安=1库/秒方向：正电荷移动的方向为电流方向直流电流——大小、方向恒定，用大写字母I表示。 参考方向--人为假设，可任意设定，但一经设定，便不再改变。参考方向的两种表示方法：1在图上标箭头；i2用双下标表示iab.ab在参考方向下，若计算值为正，表明电流真实方向与参考方向一致；若计算值为负，表明电流真实方向与参考方向相反。1-2-2电压及其参考方向1电压：即两点间的电位差。ab间的电压，数值上为单位正电荷从a到b移动时所获得或失去的能量。方向：电压降落的方向为电压方向；高电位端标“+”，低电位端标“-”。单位：伏，1伏=1焦/库。2直流电压——大小、方向恒定，用大写字母U表示。3参考方向：也称参考极性。两种表示方法：在图上标正负号；用双下标表示。+-ab在电子电路课程中也可用箭头表示。在假设参考方向（极性）下，若计算值为正，表明电压真实方向与参考方向一致；若计算值为负，表明电压真实方向与参考方向相反。注意：计算前，一定要标明电压极性； 参考方向可任意选定，但一旦选定，便不再改变。1-2-3关联参考方向关联：电压与电流的参考方向选为一致。即电流的参考方向为从电压参考极性的正极端“+”流向“－”极端。为了方便，电压与电流参考方向关联时，只须标上其中之一即可。aib+u-图1-5关联参考方向1-2-4功率与能量直流时，P=UI单位：瓦（W），1W=1J/S=1VA功率：能量随时间的变化率注意：u与i关联时，u与i不关联时，无论用上面的哪一个公式，其计算结果

若p>0，表示该元件吸收功率；

若p<0，表示该元件产生功率。例1-1已知图1-7端子上的电压和电流，求电路吸收的功率。解:(a)，u

、i非关联，P=-ui=-(-2)•(-5)=-10W图(a)电路吸收-10W,或者说，图(a)供出10W(b)，u

、i关联，P=ui=(-8)•2=-16W图(b)电路吸收-16W,或者说，图(b)供出16W同例，可得图(c)和图(d)分别吸收36W和10W能量：从-∞到t时间内电路吸收的总能量。电路元件特性描述：伏安关系（VCR）无源元件：该元件在任意电路中，全部时间里，输入的能量不为负。即如R、L、C

1-3电路元件有源元件：不满足上述条件的元件。如独立电源，受控电源等。1-3-1电阻元件线性：VCR曲线为通过原点的直线。否则，为非线性。时变：VCR曲线随时间变化而变化。非时变：VCR曲线不随时间变化而变化电阻元件有以下四种类型：u-i特性线性 非线性uu

时不变ii

ut1t2ut1t2时变 ii

1线性时不变电阻(定常电阻)VCR即欧姆定律：也称线性电阻元件的约束关系。

电压确定时，R增大，则i减小。体现出阻碍电流的能力大小。单位：欧姆（Ω）其中，G=1/R称为电导，单位：西门子（S)当R=∞(G=0)时，相当于断开，“开路”当G=∞（R=0）时，相当于导线，“短路”注意：u与i非关联时，欧姆定理应改写为例1-2分别求下图中的电压V或电流I。3A2+u-+-6v-I2解：关联非关联iu线性电阻R的VCR电阻是耗能元件，无源元件。线性电阻R的VCR关于原点对称，因此，线性电阻又称为双向性元件。瞬时功率：1-3-2独立电源是有源元件，能独立对外提供能量。1电压源符号：+-特性：①

端电压由元件本身确定，与流过的电流无关；②流过的电流由外电路确定；③若uS=0，相当于一条短路线；④注意不能短接（电流为无穷大）；⑤

uS为常数时，称为直流电压源。VCR曲线——平行于i轴的直线。

⑥

uS为给定时间函数时，称为时变电压源。VCR曲线：平行于i轴的直线，随时间变化。iuSUSiuS(t)uS(t1)uS(t2)特性：

①

流过的电流由元件本身确定，与端电压无关；②端电压由外电路确定；③若iS

=0，相当于开路；④注意不能开路（电压为无穷大）；⑤iS为常数时，称为直流电流源。⑥iS为时间函数时，称为时变电流源。is2电流源符号：例1-3图(a)，求其上电流:（1）R=1Ω

（2）R=10Ω（3）R=100Ω

图(b)，求其上电压:（1）R=1Ω

（2）R=10Ω（3）R=100Ω

解：图(a)，I+us=R10V-图(b)，电阻R分别为1Ω、10Ω和100Ω时，两断电压分别为：Is=+10AuR-电流源上电压由外电路确定。1-3-3受控电源可对外提供能量，但其值受另外支路电压或电流控制，是四端元件。受控电压源受控电流源有四种形式：1受控电压源

i1

i2+++u1

uu1u2---

i1

i2+++u1

ri1

u2---CCVS

u1=0

u2=ri1

r

转移电阻VCVS

μ电压放大系数

2受控电流源

i1

i2++u1

gu1

u2--

i1

i2++u1u2--CCCSu1=0

i2=βi1

β

电流放大系数VCCSi1=0

i2=gi1

g转移电导

(1)与独立源相似之处：能对外提供能量（有源）。(2)独立源不同之处：受控源不能独立作为电路的激励。即：电路中若没有独立电源，仅有受控源，电路中任意元件的电压、电流为零。瞬时功率：关联参考方向下由于控制端，不是i1=0,就是u1=0,故对于CCVS右端接RL的电路，得受控源功率，即为有源。

i1

i2

+++u1

ri1u2---1-4基尔霍夫定律是电路基本定律，适用于任何集总参数电路，而与元件性质无关。几个重要名称：acdeb（１）支路：一个二端元件称为一条支路。为了减少支路个数，往往将流过同一电流的几个元件的串联组合作为一条支路，如a-c-b,a-d-b,a-e-b.(２)节点：两条或两条以上支路的联结点（a,b）acdeb(４)网孔：内部不含有支路的回路（前2个回路）。注意：平面网络才有网孔的定义。(３)回路：电路中任一闭合的路径（3个）a-c-b-d-a,a-d-b-e-a,a-c-b-e-a（５）网络：指电网络，一般指含元件较多的电路，但往往把网络与电路不作严格区分，可混用；（６）平面网络：可以画在一平面上而无支路交叉现象的网络；（７）有源网络：含独立电源的网络。在集总参数电路中，任一时刻，任一节点上，所有支路电流的代数和为零。1-4-1基尔霍夫电流定律—KCLi1i4i2i3说明：①先选定参考方向，习惯上取流出该节点的支路电流为正，流入为负。如由下图可得②另一形式：流出电流之和=流入电流之和。④实质是电流连续性或电荷守恒原理的体现i3i2i1i6i5i7i4电路③可以扩大到广义节点（封闭面）例1-4已知：i1=-1A

,i2=2A,i4=4A,i5=-5A。求其余支路电流。解：应用KCL：对于节点a:得在集总参数电路中，任一时刻，任一回路中，各支路电压的代数和等于零。即1-4-2基尔霍夫电压定律—KVL说明：①先选定回路的绕行方向。支路电压参考方向与绕行方向一致时取正，相反时取负。+-_+__++u3u1u4u2②另一形式电压降之和=电压降之和。改写上述等式成：u1+u3=u2+u4，于是，得到：

④实质是能量守恒原理在电路中的体现uAD+u3+u2-u1=0得uAD=u1-u2-u3=3-(-5)-(-4)=12V解：A、D间并无支路，但仍可把ADCBA看成一个回路，选顺时针方向③推广到广义回路（假想回路）D例求uADAB+u1=3V--u2=-5VE+u3=-4V-+C例1-7求i1和i2。da+14V-3A-b2V+c+4V

-i1i2Iaca:I2+Iac-3=0,

得I2=1Ad:-I2-Ibd-I1=0I1=-I2-Ibd=-1-1=-2A解：对bdcb回路列KVL:ubd-4+2=0得ubd=2V,Ibd=1Auac+4-14=0uac=10V,Iac=2A1.5

单回路电路与单节偶电路

单回路电路:只有一个回路,只须列写一个KVL方程，就能求解。单节偶电路:只有一对节点,只须列写一个KCL方程，就能求解。例1-8

图1-31所示单回路电路，求电流及电源的功率。例1-9

iS1=6A，iS2=3A，求元件电流及电压。

解：单节偶电路，各支路电压相等，设为u，元件电压与电流取关联方向，列KCL方程代入元件VCR，得+6V-+3U-2-U+6I例1-10求电流I及各元件吸收的功率。P6=6I2=54W;P2=-UI=18W;P6V=-6I=-18W;P3U=3IU=-54W（产生功率）解：单回路电路，列KVL-6-U+3U+6I=0

又U=-2I故U=-6V,I=3A例1-11求电压U及各元件吸收的功率。解：4-I+2I-U/2=0

又U=6I故U=12V,I=2AP6=UI=24W;P4A=-4U=-48W;P2=U2/2=72W;P2I=-2IU=-48W（产生功率）2I26

+4AIU-摘要

1．实际电路的几何尺寸远小于电路工作信号的波长时，可用电路元件连接而成的集中参数电路(模型)来模拟。基尔霍夫定律适用于任何集中参数电路。

2．一般来说,二端电阻由代数方程f(u,i)=0来表征。线性电阻满足欧姆定律(v=Ri)，其特性曲线是v-i平面上通过原点的直线。3．电压源的特性曲线是v-i平面上平行于i轴的垂直线。电压源的电压按给定时间函数vS(t)变化，其电流由vS(t)和外电路共同确定。4．电流源的特性曲线是v-i平面上平行于v轴的水平线。电流源的电流按给定时间函数iS(t)变化，其电压由iS(t)和外电路共同确定。5．基尔霍夫电流定律(KCL)陈述为：对于任何集中参数电路，在任一时刻，流出任一节点或封闭面的全部支路电流的代数和等于零。其数学表达式式为6．基尔霍夫电压定律(KVL)陈述为：对于任何集中参数电路，在任一时刻，沿任一回路或闭合节点序列的的各段电压的代数和等于零。其数学表达式为7．任何集总参数电路的电压电流都要受两类约束：拓扑约束（KCL、KVL）和元件VCR方程的约束。直接反映这些约束关系的方程是最基本的电路方程，它们是分析电路的基本依据。第二章电路分析中的等效变换2-1等效二端网络二端网络N1、N2等效：N1、N2的VCR完全相同

iR1

R2+u-N1+u-iN2Req对外等效，对内不等效等效变换：网络的一部分用VCR完全相同的另一部分来代替。可化简电路。2-2-1电阻串联若干个电阻首尾相接，且通过同一电流电阻Rk上的电压（分压）功率2-2无源二端电阻网络的等效变换2-2-2电阻并联若干电阻两端分别跨接到同一电压上。电导Gk上的电流（分流）两个电阻时与电导值成正比，与电阻值成反比。功率:例2-2Ig=50uA,Rg=2K

Ω。欲把量程扩大为5mA和50mA，求R1和R2.-Rg+IgR2R1

I2I1(-)(+)(+)50mA5mA解：5mA档分流50mA档代入参数，得2-2-3电阻混联例2-3：R1=40Ω，R2=30

Ω，R3=20

Ω,R4=10Ω,us=60V（1）K打开时，求开关两端电压（2）K闭合时，求流经开关的电流R2+us-R4

R1R3K解：(1)各支路电流如图，则由假想回路，得+60V-R4R1R3R2I1I4+u-(2)所以+vs-R4R1R3R2I1IIsI2例2-4：平衡电路。求I。Ia361530b3

+15V-R解：由于平衡，(1)R上电流为0。R可看作开路。因此，两种方法都可得(2)R上电压为0。R可看作短路。例2-5：对称电路。求Rab解：对称电路中的c、d、e、f等电位，可以短接，得图(b)。则Rab={R//3R//[R+（R//R）}×2=R另解：由于电路中的c、d、e、f等电位，icd=0,ief=0,可以开路，得图(c)。也可得Rab

。2-3电阻星形联接与三角形联接的等效变换端子只有2个电流独立；2个电压独立。若N1与N2的i1,i2,v13,v23间的关系完全相同，则N1与N2等效三端网络的等效123i1i2i3N1123i1i2i3N2i11i22i33R12R13R23i11i22i33R1R2R3

Δ—Y互换开路测量：1—2：式（4）-（1），得一般：Y形Δ形三式相加，除2若Y形R1=R2=R3=RY;R12=R23=R13=R则：R=3RY

RY=R/3ΔΔΔ例2-6求i解：

Δ—Y转换1电压源的串联a+u-b+uS1-+uS2--uS3++uSn-a+v-b+uSeq-2-4含独立电源网络的等效变换

2电压源的并联只有电压相等且极性相同时，电压源才能并联。+u-i+uS-+uS-+uS-ab+u-i+uS-ab+v-ab+u-iSi3电流源的并联iiS1iS2+v-+u-abiSn4电流源的串联a+u-bia+u-bi...只有电流相等且参考方向相同时，电流源才能串联。5电压源与电流源的串联bi+u-ai+u-abN推广i+u-ab+uS-iS6电压源与电流源的并联推广i+u-ab+uS-iSi+u-abN+uS-bi+u-a+uS-=6AR1R2例2-7化简.uS=2V解：iS2与iS3并联=6AR1R2iS与N串联等效iS4AiS4与iS并联例2-8求各元件功率解：对RL,ab左等效uSab内部不等效，从原图求ab+uS-+uS-2-5实际电源的两种模型及等效转换1 戴维南电路模型i+u-ab外电路+uS-（1）i增大，RS压降增大，v减小（2）i=0，u=uS=u

oc，开路电压（3）u=0，i=i

Sc=us/Rs，短路电流（4）RS=0，理想电压源（黄线）戴维南特性uSuuOC

2 诺顿电路模型i+u-外电路（1）u增大，RS分流增大，i减小（2）i=0，u=u

oc=

RS’i

S，开路电压（3）u=0，i=iSc=i

s，短路电流（4）RS‘无穷大，理想电流源诺顿特性3两种电源模型的等效转换等效转换条件诺顿特性戴维南特性uSuuOC

（1）两种电源模型可互为等效转换i+u-i+u-（2）对外等效，对内不等效（3）理想电压源，，两种电源模型不能等效转换例2-9电源模型等效转换为另一形式abdcbacd例2-10求电流I.abI解：ab以左等效化简ababababIab-5V+2-6含受控电源网络的等效变换（1）与独立源一样处理（2）受控源存在时，控制量不能消失例2-11求电压u及受控源的功率.i1A2i+u-解:KCL:提供功率——有源性受控源的电阻性：R受控源=u/(-2i)=-2Ω得：i=3A,u=12VP=-2i

×u=-2×3×12=-72W例2-1求电流i解：去5欧电阻，诺顿模型化为戴维南模型2i-u1+2A-6u1+i-u1++4V-+3i--6u1+i得：i=-0.4A例2-13

化简电路解：受控源诺顿模型化为戴维南模型，去与电流源串联电阻abiabi合并电阻戴维南模型化为诺顿模型abiabiabi设端口电压u，KVLabiabi得负电阻+u-例2-14

化简电路解：若电压源戴维南化为诺顿模型，则i1将消失，受控源失控ab列端口VCR，设电压v，电流iiab即：u=10i+15，图如右例2-15

求等效电阻Rab解：端口加电压u，设电流i.列端口VCRabi+u-3线性网络的一般分析方法

3-1支路分析法支路电流法R1

+us1-BR2

+us2-ACR5R4R6R3D6个支路电流为变量，如图i1i4i6i3i5i2对节点A、B、C、D分别列KCLR1

+us1-BR2

+us2-ACR5R4R6R3Di1i4i6i3i5i2三个方程独立，另一方程可有其余三个得到。R1

+us1-BR2

+us2-ACR5R4R6R3Di1i4i6i3i5i2对七个回路分别列KVL回路ABDA回路BCDB回路ACBA回路ABCDAR1

+us1-BR2

+us2-ACR5R4R6R3Di1i4i6i3i5i2可见，该回路方程不独立，可由式（1）和（2）相加而成。同理，回路ACBDA、回路ACDBA和回路ACDA的方程也不独立。结论：4个节点，6条支路。只有3个独立节点，可列3个独立KCL方程；3个独立回路，可列3个独立KVL方程。一般：n个节点，b条支路。只有(n-1)个独立节点，可列(n-1)个独立KCL方程；独立回路数l=b-(n-1)个，可列l个独立KVL方程。（常选网孔为独立回路）支路电流分析法步骤：1 选各支流电流的参考方向；2 对(n-1)个独立节点列KCL方程；3 选b-(n-1)独立回路列KVL方程；4 求解支路电流及其他响应。独立节点的选取：任选一个为参考节点，其余即为独立节点。独立回路的选取：每选一个新回路，应含一条特有的新支路。III例3-1us1=30V，us2=20V，R1

=18Ω，R2=R3=4Ω，求各支路电流及uABR1

+us1-R2

+us2-AR3i1i2i3B解：（1）取支路电流i1，i2，i3

（2）列方程：KCLKVL(3)解方程（4）求其它响应支路法优点：直接求解电流（电压）。不足：变量多（称为“完备而不独立”），列方程无规律。一组最少变量应满足：独立性——彼此不能相互表示；完备性——其他量都可用它们表示。n个节点，b条支路的网络。只需：l=b-(n-1)个电流变量；或(n-1)个电压变量。完备和独立的变量数目：3-2网孔分析法3-2-1网孔电流和网孔方程网孔电流：沿网孔边界流动的假想电流。网孔电流：独立，完备的电流变量。网孔：独立回路R1

+us1-BR2

+us2-ACR5R4R6R3Di1i4i6i3i5i2-us3++us4-im1im2im3独立—不受KCL约束（流入节点，又流出）网孔电流完备R1

+us1-BR2

+us2-ACR5R4R6R3Di1i4i6i3i5i2-us3++us4-im1im2im3列KVL:网孔1网孔2网孔3一般形式：整理，得自电阻Rii—i网孔内所有电阻之和（正）R1

+us1-BR2

+us2-ACR5R4R6R3Di1i4i6i3i5i2-us3++us4-im1im2im3主对角线系数：互电阻R

ij—相邻网孔i和j公共电阻之和R1

+us1-BR2

+us2-ACR5R4R6R3Di1i4i6i3i5i2-us3++us4-im1im2im3非主对角线系数：uSmi=i网孔沿绕行方向的电压升R1

+us1-BR2

+us2-ACR5R4R6R3Di1i4i6i3i5i2-us3++us4-im1im2im3网孔法直接列写规则：网孔分析法步骤：1 设定网孔电流的参考方向；2 列网孔方程，求取网孔电流；3 求支路电流及其他响应；4 应用KVL验证；注意：网孔电流自动满足KCL！解：（1）设网孔电流im1，im2

（2）列网孔方程R1

+us1-R2

+us2-R3i1i2i3

+us3-im1im2例3-2us1=20V，us2=30V，us3=10V,R1=1Ω，R2=6Ω,R3=2Ω，用网孔法求各支路电流整理，得（3）支路电流R1

+us1-R2

+us2-R3i1i2i3

+us3-im1im2（4）验证：大回路，3-2-2含有电流源网络的网孔方程处理方法：（1）有伴时，化为戴维南模型；（2）无伴时，(a)移至电路最外边，为一网孔独有；(b)设未知量ux，增加列一个辅助方程。解:独立电流源处理例3-3求ix和ux5

+5V-5+10V-21Aix3A22A+ux-5

+5V-5+10V-21Aix3A2-10V++ux-（1）设网孔电流方向i1，i2，i3，i4

i1i2i3i4(2)列方程辅助方程辅助方程（3）求其它3-2-3含受控源网络的网孔方程（1）受控源按独立源处理，列网孔方程；（2）辅助方程：控制量用网孔电流表示。2

+12V-6-2u+4

+u-例3-4列网孔方程i1i2（1）设网孔电流方向i1，i2

(2)列方程辅助方程3-3节点分析法3-3-1节点电压和节点方程节点电压：节点与参考节点间的电压节点电压：完备，独立n节点的网络，有n-1个独立节点，列KCL方程：iS2G3i2+un1-iS1i5i3i1iS3G2G4G6G5G1+un2-+un3-i4i612344为参考节点，其余节点KCL分别为：iS2G3i2+un1-iS1i5i3i1iS3G2G4G6G5G1+un2-+un3-i4i61234支路电流用节点电压表示：代入KCL方程，得：节点方程一般形式iS2G3i2+un1-iS1i5i3i1iS3G2G4G6G5G1+un2-+un3-i4i61234主对角线系数自电导：Gii

—与节点i相连电导之和（正）iS2G3i2+un1-iS1i5i3i1iS3G2G4G6G5G1+un2-+un3-i4i61234非对角线系数互电导：Gij

—节点i和j间公共支路电导之和（负）iS2G3i2+un1-iS1i5i3i1iS3G2G4G6G5G1+un2-+un3-i4i61234方程右边系数i

Sni—流入节点i的电流代数和节点方程直接列写规则：节点分析法步骤：1 选定参考节点（零电位）;2 列节点方程，求取节点电压;3 求支路电压及其他响应;4 应用KCL验证。解：1）选3为参考节点2）列节点方程例3-5is1=9A，is2=5A，is3=6A,G1=1S，G2=2S,G3=1S，用节点法求电流iiS3iS1iS2G3G2G1i123整理，得3）求电流iS3iS1iS2G3G2G1i1233-3-2含有电压源网络的节点方程电压源处理方法：（1）有伴时，化为诺顿电路（2）无伴时，选其一端为参考节点，则另一端电压由电压源可直接得到（3）电压源上设未知量ix，加列辅助方程(电压源电压用节点电压表示）解：选10V负端节点4为参考节点，设5V上电流ix,则节点1：un1

=10例3-６求节点电压u和电流i节点2：节点3：辅助方程:un2

–un3

=5解得：un2

=10V,un3

=5V故：u=un1-un3

=5Vi=un2

/5=2A3-3-3含受控源网络的节点方程（1）受控源按独立源处理，列节点方程（2）辅助方程：控制量用节点电压表示解：设3为参考节点，列节点方程例3-7列节点方程iS+u-G2123guG1G3辅助方程3-4独立变量选取与独立方程存在性3-4-1网络图论的基本概念基尔霍夫定律反映网络结构约束关系，与支路元件性质无关拓扑支路：支路抽象为一根线段拓扑节点：网络节点R1i5+uS-i5i1i4R5R2R3R6i2i3ABCD线图：点与线的集合A2B3C1465D无向线图1A2B3C465D有向线图A2B3C1465DGG的子图G1——G1的所有支路与节点都是G对应的支路和节点A2BC1465DG1A2B3C1465DGA2BC465DG2AG3A2BCG4A2B3C1465DGA2BC1465DG1A2BCG4连通图：两节点间至少有一条支路。G,G1,G2,G3非连通图：G4割集：（1）移去集合中所有支路，连通图将分为两部分（2）少移去一条支路，仍连通A2B3C1465DG4，5，61，2，5，62，3，6A2B3C1465DGA2B3C1465DG不移去4仍非连通非割集：分成三部分树：特殊子图（1）连通图（2）含全部节点（3）无回路。A2B3C1465DGA2B3C5D树支：构成树的支路。2，3，5连支：余下的支路。1，4，6AB3C15D树：{1，3，5}树：{4，5，6}树支集合为树；一棵树的树支数为(n-1)连支集合为余树(补树)；连支数为b-(n-1)AC465DB完全图树的个数(凯莱):基本回路(单连支回路)：只含一条连支，其余都是树支构成的回路。b-(n-1)个。方向为连支的方向。AC465DBAC465DB213基本割集(单树支割集)：只含一条树支的割集。(n-1)个。方向为树支的方向。A2B3C1465DIIIIII3-4-2独立变量与独立方程基本回路KVL方程是独立方程；基本割集KCL方程是独立方程。树支电压是一组独立完备的变量；连支电流是一组独立完备的变量。3-5回路分析法回路电流：连支电流沿基本回路流动的假想电流。电路变量：连支电流L=b-(n-1)条连支，L个基本回路，L个KVL方程列KVL:加连支1，得基本回路IR1

+us1-BR3

+us4-ACR4R2R5R6Di1i4i5i6i2i3AB5C64D1I回路IIR1

+us1-BR3

+us4-ACR4R2R5R6Di1i4i5i6i2i3AB5C64D32IIIII回路III代入上述回路方程，整理得：i回路自电阻Rii—i回路内所有电阻之和（正）主对角线系数：R1

+us1-BR3

+us4-ACR4R2R5R6Di1i4i5i6i2i3互电阻R

ij——回路i和j公共电阻之和。电流在公共支路上方向一致——正；不一致——负非主对角线系数：R1

+us1-BR3

+us4-ACR4R2R5R6Di1i4i5i6i2i3uSli=i回路沿回路方向的电压升R1

+us1-BR3

+us4-ACR4R2R5R6Di1i4i5i6i2i3回路法直接列写规则：（1）网孔法的推广：网孔——回路;（2）自电阻恒正；互电阻可正可负;(3)在一个方程中同一个互电阻可以出现多次。回路分析法步骤：1 任选一树。2连支电流为回路的参考方向，列基本回路方程，3 求回路电流及其他响应。注：（1）电流源尽量选为连支；（2）受控源：控制支路尽量选为连支；与独立源一样处理，辅助方程—控制量用连支电流表示；（3）待求量尽量选为连支；（4）网孔法的推广，不限于平面网络。例3-8求i

解：（1）选树：连支—电流源，受控源，待求量i

R42A2iR3=15R1=105iR2=5解：（1）选树：连支—电流源，受控源，待求量i

（2）列回路方程(3)求得IIIIII3-6割集分析法电路变量：树支电压(n-1)条树支，(n-1)个基本割集，(n-1)个KCL方程。割集分析法步骤：1 任选一树；2画基本割集，参考方向为该割集的树支方向；3 列基本割集方程；4 求树支电压及其他响应。注：（1）电压源尽量选为树支；（2）受控源：控制支路尽量选为树支；与独立源一样处理，辅助方程—控制量用树支电压表示；（3）待求量尽量选为树支；（4）节点法的推广，不限于平面网络。割集法直接列写规则：（1）自电导恒正——本割集所有支路电导之和（2）互电导可正可负公共支路上，两割集方向一致——正；相反——负（3）右边电流源：与割集方向相反—正；相同——负解：（1）选树支（红色）—电压源，待求支路，控制量例3-10求u2-u1+1S1S+2V-1S2Ai1+2i1-2S2A+u2-v12i12Vv2v12i12Vv2II-u1+1S1S+2V-1S2Ai1+2i1-2S2A+u2-IIIIVII:II:辅助：解得：u

2=-2V树的选取有多种多样，故：回路法、割集法更具灵活性；树选取得好，可简化计算。3-7电路的对偶特性与对偶电路3-7-1电路的对偶特性KCL:节点、电流和为零KVL:回路、电压和为零戴维南电路：电阻、电压源串联u=uS-RSi诺顿电路：电导、电流源并联

i=iS-GSu3-7-2对偶电路节点方程：is1

G2G1G3iS2123N网孔方程：

+vs1-R3R1R2+vs2-im1im2N’电路N’网孔方程：电路N节点方程：数学意义上相同

+vs1-R3R1R2+vs2-im1im2N’is1

G2G1G3iS2123N电路对偶拓扑对偶元件对偶R1

+us1-R5R2R3R4iS2N例3-11对偶电路的画法：（1）N的每个网孔中安放N’的一个节点，N的外网孔对应N’的参考节点1234R1

+us1-R5R2R3R4iS2N1234（2）穿过N的每个元件，用虚线将节点联起来，表N’的一个支路，其元件是N中穿过元件的对偶元件（3）电源极性：设N网孔方向取顺时针。R1

+us1-R5R2R3R4iS2N1234电压源：若沿网孔方向电压升，则N’中电流源流入该网孔所对偶的节点；反之，流出该节点。——流入1电流源：若与网孔方向一致，则N’中电压源正极与该网孔所对偶的节点相接——2接+，1接-R1

+us1-R5R2R3R4iS2N1234（4）整理N’R1

+us1-R5R2R3R4iS2N1234is1G4G1G3G2-uS2+G51243N’

+us-RLCbLibNRf例3-12：画对偶图1234(1)打点

+us-RLCbLibNRf1234(2)联虚线(3)定电源极性：设网孔方向为顺时针，电压源us沿网孔1电压升，对偶电流源流入1ib与网孔1方向一致，对偶电压正极接1CCCS与网孔3方向不一致，对偶的VCVS负端接3

+us-RLCbLibNRf1234（4）整理，得：is

GLCN’Lb+ub

--+Gf13242．对于具有b条支路和n个节点的连通电路，有(n-1)个线性无关的独立KCL方程，(b-n+1)个线性无关的独立KVL方程。摘要

1.由电阻和电压源构成的电路，可以用b个支路电流作为变量，列出b个支路电流法方程，它通常由(n-1)个节点的KCL方程和(b-n+1)个回路的KVL方程构成。3，网孔分析法适用于平面电路，其方法是(l)以网孔电流为变量，列出网孔的KVL方程(网孔方程)。(2)求解网孔方程得到网孔电流，再用KCL和VCR方程求各支路电流和支路电压。当电路中含有电流源与电阻并联单口时，应先等效变换为电压源与电阻串联单口。若没有电阻与电流源并联，则应增加电流源电压变量来建立网孔方程，并补充电流源与网孔电流关系的辅助方程。4．节点分析法适用于连通电路，其方法：(l)以节点电压为变量，列出节点KCL方程(节点方程)。(2)求解节点方程得到节点电压，再用KVL和VCR方程求各支路电压和支路电流。当电路中含有电压源与电阻串联的单口时，应先等效变换为电流源与电阻并联单口。若没有电阻与电压源串联，则应增加电压源电流变量来建立节点方程，并补充电压源电压与节点电压关系的辅助方程。5．回路分析法与割集分析法6电路的对偶特性对偶电路——元件对偶，结构对偶。对偶电路的画法第四章网络定理

4－l线性和叠加定理

线性网络：由独立电源和线性元件组成。具有线性性质:1.齐次性：单个激励(独立源)作用时，响应与激励成正比。2.可加性：多个激励同时作用时，总响应等于每个激励单独作用(其余激励置零)时所产生的响应分量的代数和。

电路响应与激励之间的这种线性关系称为叠加性，它是线性电路的一种基本性质。有激励、、……

，则响应r(t)

为：

叠加定理

由全部独立电源在线性电阻电路中产生的任一响应(电压或电流)，等于每一个独立电源单独作用所产生的相应响应(电压或电流)的代数和。注意：1.适用于线性网络。非线性网络不适用。2.某一激励单独作用时，其他激励置零，即独立电压源短路，独立电流源开路；电路其余结构都不改变。3.任一激励单独作用时，该电源的内阻、受控源均应保留。6.只适用于电压和电流，不能用于功率和能量的计算，它们是电压或电流的二次函数。4.受控源不能单独作用。5.叠加的结果为代数和，注意电压或电流的参考方向。

例4-1已知us＝12V，is＝6A，试用叠加定理求支路电流i。解当us单独作用时，is因置零而被开路，如图(b)，可得故

i'=1A

usus当is单独作用时，us因置零而被短路，如图(c)，可得响应分量

i

’’=

3A

根据叠加定理，可得us和is共同作用下的响应为

i=i’+i’’=1+3=4A例4-2

No为线性无源网络。当us＝1V，is＝1A时，u＝0；当us＝10V，is＝0时，u＝1V；求:当us＝20V，is＝10A时，u＝？解

线性网络的响应v可表示为

k1,k2为常数No+-uSiS+u-由已知条件可得：

k1

×1＋k2×1＝0

k1

×10＋k2×0＝1解方程组可得：

k1

＝0.1，

k2＝－0.1

因此,当us＝20V，is＝10A时

u＝k1×20＋k2×10

＝1V例4-3

已知us＝10V，is＝5A，试用叠加定理求电流i和功率p1

解：10V和5A单独作用如图(b)和(c)。(每个电路内均保留受控源，但控制量分别改为分电路中的相应量)。由图(b)列出KVL方程：2i'+i'+2i'-us＝0求得：i'=2A由图(c)列出KCL方程

i"-i1"=-5列KVL：2i"+i1"+2i"=0最后得到：p=i12R=6W

叠加得：i=i'+i1"=2-1=1A则，i1=+i1+5=6A解得：i"=-1A在具有唯一解的任意集总参数网络中，若某条支路k与网络中的其他支路无耦合，如果已知该支路的支路电压（支路电流），则该支路可以用一个电压为的独立电压源（电流为的独立电流源）替代，替代前后电路中各支路电压和电流保持不变。4－2替代定理注意：1.适用于任意集总参数网络（线性的、非线性的，时不变的、时变的）3.“替代”与“等效变换”是不同的概念。“替代”是特定条件下支路电压或电流已知时，用相应元件替代支路。等效变换是两个具有相同端口伏安特性的电路间的相互转换，与变换以外电路无关。2.所替代的支路与其它支路无耦合4.已知支路可推广为已知二端网络（有源、无源）。大网络成小网络N1N1N2N2+-u+-u+-uN1N1N2N2iii例4-4

无源网络No的22’端开路时，11’端的输入电阻为5Ω;如左图11'端接1A时，22'端电压u=1V。求右图11'端接5Ω、10V的实际电压源时，22'端的电压u’=?1A11’22’+u-No5Ω11’22’+u’-No+10V-i'解：22’端开路时，11’端的输入电阻为5Ω，因此右图中流过实际电压源支路的电流i'为

i'=1A实际电压源支路用1A的电流源替代，u'不变，替代后的电路与左图相同，故

u'=u

=1V1A11’22’+u-No5Ω11’22’+u’-No+10V-i'4－3戴维南定理和诺顿定理

任一线性有源二端网络N，就其两个输出端而言总可与一个独立电压源和线性电阻串联的电路等效，其中独立电压源的电压等于该二端网络N输出端的开路电压，电阻Ro等于N内所有独立源置零时从输出端看入的等效电阻。4-3-1戴维南定理

端口电压电流关联例4-5求图(a)网络的戴维南等效电路。

解:(1)开路电压uoc应用叠加定理，参考方向如图(b)和（c），可得：uoc=uoc'+uoc“=8+8=16V(2)求R0电压源用短路代替，电流源用开路代替，得图(d)，求得R0=8Ω可画出戴维南等效电路，如图(e)。

4-3-2诺顿定理

任一线性有源网络N，就端口而言，可以等效为一个电流源和电阻的并联。电流源的电流等于网络外部短路时的端口电流isc；电阻Ro是网络内全部独立源为零时，No的等效电阻。

isc——短路电流。Ro——诺顿电阻。电流源isc和电阻Ro的并联，称为网络的诺顿等效电路。电压电流采用关联参考方向时，例4-6求图(a)网络的诺顿等效电路。

解:(1)求isc网络外部短路，由图(b)和(c)叠加而成。isc=isc'+isc"=1+1=2A(2)求得Ro=8Ω画出诺顿等效电路，如图(d)所示。含源线性电阻单口网络的等效电路只要确定uoc,isc或Ro就能求得两种等效电路。

戴维南定理和诺顿定理注意几点：1.被等效的有源二端网络是线性的，且与外电路之间不能有耦合关系2.求等效电路的Ro时，应将网络中的所有独立源置零，而受控源保留

3.当Ro≠0和∞时，有源二端网络既有戴维南等效电路又有诺顿等效电路，并且、isc和Ro存在关系：，例4-8用戴维南定理求电路中的电流i。解电路a、b以左电路部分化简。1.求开路电压uoc1

2

i14

+10V--6i1+abi4

(a)1

2

i14

+10V--6i1+(b)+uoc-由图b可得受控源的控制量i1为

i1

＝2A故

uoc＝6i1+4i1=20V1

2

i1’4

-6i1’+(c)+u’-i’2.求电阻Ro图b网络的独立电压源置零,得图c，设端口电压为u'，端上电流为

i'则

u'＝6×i1'＋2×i'＋4×i1'由1Ω和4Ω分流关系可得i1'＝0.2i'

因此u’＝4i’即

Ro＝4Ω3.求i

由戴维南定理可将图a化简为图d4

+20V-abi4

(d)4-4最大功率传输Ro+uoc-abiRL

负载电阻吸收的功率欲获得最大功率，可得最大功率传输条件：

RL＝Ro此时，负载获最大功率为：此时对于等效电路而言:效率为50%。例4-9RL=?，负载获最大功率,PLmax=？

解

a、b以左化为等效戴维南电路。1.求开路电压u

oc10

50

+10V-0.04vabRL+u-uoc＝12.5V10

50

+10V-0.04vocab+uoc-节点法得2.求电阻Ro先求iscisc

＝1A

Ro＝uoc/isc=12.5Ω10

50

+10V-0.04vab+u-isc由于u=0，受控源开路3.当RL=

Ro=12.5Ω时，负载获最大功率4-5特勒根定理特勒根第一定理(功率守恒)：任意一个具有b条支路、n个节点的集总参数网络，设它的各支路电压和电流分别为和(k＝1、2、3、…b)，且各支路电压和电流取关联参考方向，则有

特勒根第二定理(似功率守恒)：和支路电压和电流取关联参考方向且相同，则有NN’有向图相同支路电压支路电流2422-2V+5Ai1i2i5i6i3i4242-4V+2Ai1’i2’i5’i6’i3’i4’

+4V-156234验证：有相同的有向图如右N:u1＝6V，u2＝－4V，u3＝2V，u4＝4V，

u5＝2V，

u6＝－8V；

i1＝3A，

i2＝－2A，

i3＝1A，

i4＝1A，

i5＝4A，

i6＝5A。因此有，6×3＋(-4)×(-2)＋2×1＋4×1＋2×4＋(-8)×5＝0N’:u1'＝4V，u2'＝0V，u3'＝4V，u4'＝8V，u5'＝4V，u6'＝－8V；

i1'＝2A，

i2'＝0A，

i3'＝－2A，

i4'＝2A，

i5'＝0A，

i6'＝2A。因此有，4×2＋0×0＋4×(-2)＋8×2＋4×0＋(-8)×2＝0这就验证了特勒根第一定理。=

6×2＋(-4)×0＋2×(-2)＋4×2＋2×0＋(-8)×2＝0=4×3＋0×(-2)＋4×1＋8×1＋4×4＋(-8)×5＝0这就验证了特勒根第二定理。特勒根定理适用于任意集总参数电路特勒根第二定理的证明：设N和N’两网络均有n个节点b条支；。各支路电压、电流的参考方向关联且相同。则N网络的KCL方程为将上式分别乘以N’网络的相应电压，有将上式右端全部加起来，得由故得同理例4-11

NR仅由电阻组成，已知i1＝-2A，

i2＝1A；若电阻由4Ω改为8Ω，i1'＝-1.8A，

试求i2'?。NRi1'+3v-+u1'-i2'+u2'-8ΩNRi1+3v-+u1-i2+u2-4Ω解：NR仅由电阻组成(k=3,…,b)得：故：i1＝-2A，

i2＝1A，i1‘＝-1.8A代入NRi1'+3v-+u1'-i2'+u2'-8ΩNRi1+3v-+u1-i2+u2-4Ω4-6互易定理互易性——线性不含独立源、受控源的电路，在单一激励情况下，激励和响应的位置互换，相同激励的响应不变互易网络：具有互易性的网络R1R2abcdi+uS-R3R1R2abcdi’+uS-R3互易定理有