电磁场与微波技术第2版

第1章矢量分析

矢量代数1.1矢量场的散度1.2矢量场的旋度1.3标量场的梯度1.4亥姆霍兹定理1.5常用坐标系

1.6

如果在空间的一个区域中，每一点都有一个物理量的确定值与之对应，则在这个区域中就构成了该物理量的场。场的一个重要属性是它占有一个空间，它把物理量用空间和时间的数学函数来描述。标量场在数学上只用一个代数变量描述，只有大小，没有方向。矢量场不仅需要定出大小，而且需要定出方向。1.1矢量代数

矢量既有大小，又有方向。矢量A可以表示为A=eAA，其中A表示矢量A的大小，eA表示矢量A的方向。

A=exAx+eyAy+ezAz

(1.1)

由式(1.1)可以看出，一个矢量场对应三个标量场。

1.1.1矢量的加法和减法两个矢量相加，等于两个矢量相应的分量分别相加，它们的和还是一个矢量。如图1.1(b)所示。A+B=ex(Ax+Bx)+ey(Ay+By)+ez(Az+Bz)(1.4)

两个矢量相减，等于两个矢量相应的分量分别相减，它们的差依旧是一个矢量。如图1.1(c)所示。A-B=A+(-B)=ex(Ax-Bx)+ey(Ay-By)+ez(Az-Bz)(1.5)

图1.1矢量加减法

1.1.2标量与矢量相乘标量k与矢量A相乘，结果是A的方向未变，大小改变了k倍，

kA=eAkA=exkAx+eykAy+ezkAz(1.6)

1.1.3矢量的点积矢量A与矢量B的点积，写成A·B，它的结果是一个标量，其大小等于两个矢量的大小与它们夹角θ余弦的乘积，如图1.2所示，表示为

A·B=ABcosθ(1.7a)A·B=AxBx+AyBy+AzBz(1.7b)

图1.2点积的图示

1.1.4矢量的叉积矢量A矢量B的叉积，写成A×B，它的结果是一个矢量，其大小等于两个矢量的大小与它们夹角θ正弦的乘积，其方向垂直于矢量A与矢量B组成的平面(符合右手螺旋法则)，如图1.3所示，表示为

A×B=enABsinθ(1.8a)

图1.3叉积的图示及右手螺旋

exeyez

A×B=AxAyAz(1.8c)BxByAz

例1.1已知A=ex3+ey4+ez2,B=ex2+ey4+ez7,求:（1）A·B;(2)A与B的夹角;(3)A×B。解（1）A·B=AxBx+AyBy+AzBz=3×2+4+4+2×7=36

(2)

A·B36cosθ==≈0.80AB32+42+2222+42+72

(3)exeyez

A×B=AxAyAzBxByAz

=ex(4×7－2×4)+ey(2×2－3×7)+ez(3×4－4×2)=ex20－ey17+ez41.2矢量场的散度1.2.1矢量场的矢量线矢量场A可以用画图的方式描述，称为矢量场的矢量线（也叫做力线、流线、通量线等）图。矢量线图上每一点处的切线应当是该点矢量场的方向，如图1.4（a）所示。

图1.4矢量场的矢量线图

1.2.2矢量场的通量面元矢量dS定义为

dS=en

dS(1.12)

图1.5矢量的通量图

1.2.3矢量场的散度散度的定义设有矢量场A，在场中任一点P处做一个包含该点的闭合面S，设闭合面S所包围的体积为Δτ。当体积Δτ以任意方式缩向点P时，每单位体积由闭合面S向外穿出的净通量为矢量场A在该点的散度，即

SA·dSdivA=lim(1.16)Δ

0Δ∮ττ

于是得到A的散度在直角坐标系中的计算公式为

n的取向有两种情形：一种是面元dS为开表面，这个开表面由一条闭合曲线C围成，选择C的环行方向后，按右手螺旋法则，螺旋前进的方向为en的方向；另一种是面元dS为闭合面上的一个面元，则en

取闭合面的外法线方向。

通量=∫S|A|cosθdS=∫SA·dS(1.13)在直角坐标系中，∫S·dS=∫S(exAx+eyAy+ezAz)·(exdSx+eydSy+ezdSz)=∫S(AxdSx+AydSy+AzdSz)

散度的定义：设有矢量场A，在场中任一点P处作一个包含该点的闭合面S，设闭合面S所包围的体积为。当体积以任意方式缩向点P时，每单位体积由闭合面S向外穿出的净通量为矢量场A在该点的散度，即1.2.3矢量场的散度

(1.16)

于是得到A的散度在直角坐标系中的计算公式为

(1.17)

为了方便，我们引入一个矢量微分算子，称为哈密顿算子，它在直角坐标系表示为

(1.18)

(1.19)

例１.２已知矢量场

求：（1）（2）计算通量。积分区域为闭合面Ｓ，Ｓ为一个球心在原点、半径为的球面。

解（1）

（2）的方向与的方向相同，所以有：

1.2.4散度定理散度定理也称高斯散度定理，表示为

(1.20)

式中积分区域为闭合面S所包围的体积，并假设A及其一阶导数连续。

例1.3已知现有一个边长为1的单位立方体，它的一个顶点在原点，如图1.7所示。

图1.7例1.3图

求：（1）矢量场的散度；（2）计算通量，积分区域为如图所示的单位立方体；（3）验证高斯散度定理。

解（1）

（2）A从单位立方体内穿出的通量为分三对面分别计算。

（3）

因此，，高斯散度定理成立。1.3矢量场的旋度1.3.1矢量场的环流设某矢量场A绕着场中某闭合路径C的线积分为

(1.21)上述线积分称为该矢量场A的环流。

称为线元矢量，线元矢量既有大小，也有方向。

1.3.2矢量场的旋度

A的旋度，记为或。

(1.22)式中为矢量在面元矢量上的投影，如图1.8所示。

图1.8在面元上的投影

(1.24)

旋度有一个重要的性质，就是它的散度恒等于0。

(1.25)

1.3.3斯托克斯定理在矢量分析中，除散度定理外，另一个重要的定理是斯托克斯定理，即

(1.26)式中积分区域面S的外围线为C。

例1.4已知。现有一个在面内的闭合路径C，此闭合路径由和之间的一段抛物线和两段平行于坐标轴的直线组成，如图1.9所示。

图1.9例1.4图

求：（1）矢量场的A旋度；（2）计算环流。积分区域为如图所示的闭合路径C；（3）验证斯托克斯定理。

解（1）

（2）

（3）斯托克斯定理成立。1.4标量场的梯度

标量场是仅用大小就能完全表征的场。为了研究标量场的空间分布和变化规律，引入等值面、梯度和方向导数的概念。

1.4.1标量场的等值面等值面就是标量函数相等的点构成的曲面，如图1.10（a）所示。等值面画在二维平面上就成为等值线，例如在地图上的等高线就是等值线，如图1.10（b）所示。

图1.10标量场图

1.4.2标量场的梯度

(1.27)而矢量为

(1.28)称为标量场的梯度，也可用表示。梯度是与等值面垂直的一个矢量，是沿等值面法向的变化率。1.4.3标量场的方向导数

为沿方向的变化率，称为标量场沿方向的方向导数。

(1.29)

例1.5已知标量场。求空间一点A（1,0,1）的梯度和沿方向的方向导数。

解由梯度公式(1.28)有

方向的单位矢量为

故沿方向的方向导数为

梯度有一个重要的性质，就是它的旋度恒等于0。

(1.30)在直角坐标系中

(1.31)1.5亥姆霍兹定理

亥姆霍兹定理在空间有限区域内有一矢量场F，若已知它的散度、旋度和边界条件，则该矢量场就唯一确定了。换言之，一个矢量场所具有的特性完全由它的散度和旋度确定。

如果一个矢量场的旋度为0，则称为无旋场；如果一个矢量场的散度为0，则称为无散场。矢量场的散度对应标量源，称为发散源；矢量场的旋度对应矢量源，称为旋涡源。对于一个无旋场，可以表示为一个标量场的梯度，这一原则将标量场与矢量场联系了起来。1.6常用坐标系1.6.1直角坐标系（1.35）（1.36）

（1.37）（1.38）

1.6.2圆柱坐标系图1.15圆柱坐标系

（1.47）

（1.48）

（1.49）

（1.50）（1.51）

(1.53)(1.55)

1.6.3球坐标系

图1.18球坐标系

（1.63）（1.64）（1.65）

（1.66）

第2章静态电磁场

静态电磁场的基本实验定律2.1静电场2.2恒定电场2.3恒定磁场2.4

静态电磁场分为静电场、恒定电场和恒定磁场三部分。静态电磁场只是空间位置的函数，不随时间变化，这时电场和磁场虽然可以共处一个空间，但它们却是相互无关、各自独立存在的。本章将从静态电磁场的基本实验定律出发，分别引出电场和磁场的概念，本章的目的是掌握静态电磁场的基本理论，学会计算典型分布的静态电磁场。2.1静态电磁场的基本实验定律2.1.1电荷及电荷密度电量的单位是C（库仑），基本电荷带的电量为

C

1.体电荷分布

连续分布于一个体积之内的电荷，称为体电荷。体电荷密度定义为

(2.1)2.面电荷分布

连续分布于一个几何曲面上的电荷，称为面电荷。设面积元内有的带电量，则面电荷密度定义为

(2.3)3.线电荷分布

连续分布于一条线上的电荷，称为线电荷。设线元内有的带电量，则线电荷密度定义为

(2.4)

4.点电荷分布

当某一电荷量被想象地集中在一个几何点上时，这样的电荷称为点电荷。

2.1.2电流及电流密度 电荷的宏观定向运动称为电流。1.体电流分布

电荷在某一体积内定向运动所形成的电流为体电流。表示为

(2.6)2.面电流分布

电流在厚度可以忽略的薄层内流动所形成的电流称为面电流。表示为

(2.8)

图2.1面电流密度3.线电流分布

电荷在一个横截面可以忽略的细线中流动所形成的电流称为线电流。若长度元中流过的线电流为，则称为电流元。

2.1.3库仑定律和电场强度

一个基本的实验现象是两个带电体之间有相互作用力。带电体之间没有相互接触，却有相互作用力，是因为带电体在周围的空间产生了电场，带电体之间的相互作用力是通过电场传递的。也就是说，一个带电体在周围产生的电场对另一个带电体有作用力。

假设在电场中引入一个足够小的试验电荷，则试验电荷必然受到作用力F

。我们将电场强度定义为

(2.9)

E的单位是V/m（伏[特]/米）。库仑于1785年从实验中总结出，受到的作用力为

(2.10)

式中，F/mF/m（法[拉]/米），称为真空中的介电常数；如图2.2所示。式（2.10）称为库仑定律。（2.11）

图2.2两个点电荷之间的相互作用力

(2.13)

(2.14)

(2.15)

例2.1无界真空中，有限长直线上均匀分布着线密度为的电荷，如图2.4所示，求线外任意点的电场强度。解

图2.3q点电荷的电场

例2.2一个均匀带电的环形薄圆盘，内半径为a，外半径为b，电荷面密度为常数，如图2.5所示，求环形薄圆盘轴线上任一点的电场强度。解

图2.5例2.2用图

实验结果表明，在真空中两个通有恒定电流的回路之间有相互作用力。1820年~1825年间，安培从实验中总结出这个作用力的规律，称为安培力定律，该实验定律用图2.6和说明。设有两个电流回路C1和C2，分别通有电流I1和I2，则回路C1对回路的作用力为2.1.4安培力定律和磁感应强度

(2.17a)

式中，H/m（亨[利]/米），称为真空中的磁导率。

图2.6两电流回路间的相互作用力

B1为回路C1中的电流在电流元所在点产生的磁场，称为磁感应强度或磁通密度，表示为

(2.18)

磁感应强度Ｂ的单位为T（特斯拉）或Wb/m2（韦[伯]/米2）。

2.2静电场2.2.1真空中静电场的基本方程静电场基本方程的积分形式为

(2.20)(2.21)

图2.8立体角

图2.9电场的线积分

微分形式：

例2.4利用高斯定理求无限长线电荷在任意点P产生的电场强度。解由静电场的高斯定理有

上式等号左边为

高斯面S内的总电荷为于是有

(2.28)

例2.5利用高斯定理求电场强度。已知电荷分布于一个半径为a的球形区域内，电荷体密度为。解用高斯定理求解电场，高斯面S为半径为r的同心球面。 当时

所以

(2.29)

当时所以

(2.30)

电位函数，定义为

(2.31)

(2.33)2.2.2电位函数

当电荷分布已知时，可以求出任一点的电位函数。对于点电荷，其周围的电位为

(2.36)

例2.7求电偶极子的电位分布。解一对等值异号的电荷相距一个小的距离，称为电偶极子，如图2.11所示。

图2.11电偶极子

(2.40a)电偶极子的电场为

(2.41)

现在我们来推导电位的微分方程。

(2.42)式(2.43)称为电位函数的泊松方程。对于的区域，式(2.43)为

(2.44)式(2.44)称为电位函数的拉普拉斯方程。

在直角坐标中，拉普拉斯算子表示为

(2.45)

例2.8平行板电容器由两块面积为S、距离为d的平行导体组成，极板间为空气，板间加电压为U，如图2.12所示。求极板间的电位和电场分布。

图2.12电容器的截面图

解忽略电场的边缘效应，极板间电位的拉普拉斯方程为其通解为。又因为

,

所以、。即

(2.48)

(2.49)平行板电容器极板间电位是线性的，电场是匀强的。

2.2.3电介质中的高斯定理及边界条件

1.电介质中的高斯定理

(2.53)为束缚面电荷密度；令

(2.54)

图2.13电介质的极化

为束缚体电荷密度。

(2.57)称D为电位移矢量或电通密度。在介质中高斯定理成为

(2.59)(2.60)

2.边界条件

(2.61)

图2.14分界面上电位移法向边界条件

(2.64)

(2.65)

图2.15分界面上电场切向边界条件

(2.67)(2.68)(2.69)

例2.9平行板电容器的长和宽为a和b，距离为，极板间一半填充介电常数为的介质，一半为空气，板间加电压为U，如图2.16所示。求极板间的电场分布和电容器的电容。

图2.16例2.9用图

(2.70)2.2.4静电场的能量

(2.71)

(2.74)静电能量的体密度为

(2.76)

例2.10同轴线内导体半径为a，外导体内半径为，内外导体间填充介电常数为的介质，外加电压为U，如图2.17所示。求同轴线单位长度内储存的电能。

图2.17同轴线

2.2.5直角坐标中的分离变量法本节介绍在直角坐标系解拉普拉斯方程的分离变量法。

采用分离变量法的前提是：问题所给出的边界面与一个坐标系的坐标面平行或相合，或分段地与坐标面平行或相合。

(2.79)将用三个未知函数的乘积表示为(2.80)

的解为

(2.86)或(2.87)或(2.88)或(2.89)

例2.11求如图2.18所示一个长方体内的电位分布。已知面的电位为，其它各面的电位为0。

图2.18长方体内的电位

(2.90)

(2.92)

例2.12如图2.19所示，无限长金属槽，两平行侧壁相距为a，高度向上方无限延伸，两侧壁的电位为零0，槽底的电位为U。求槽内电位分布。

图2.19例2.12图

(2.93)

2.2.6唯一性定理及镜像法

如图2.20所示，在无限大导体平面（）的上半空间，放一点电荷q。在计算上半空间观察点的电位时，由于导体表面上分布有感应电荷，故不能直接用无界空间点电荷的电位公式来计算。

如果用点电荷-q来代替导体表面上的感应电荷，并把它放在原电荷的镜像位置上，同时移去导体，则上半空间的电力线没有改变，此时两点电荷在观察点产生的电位就是原问题的解。

图2.20点电荷对无限大导体平面的镜像法

(2.94)(2.95)2.3恒定电场2.3.1恒定电场的基本方程（2.96）式（2.96）称为电流连续性方程的积分形式。

(2.97）式（2.97）称为电流连续性方程的微分形式。

恒定电流得出

（2.98）（2.99）（2.100）（2.101）2.3.2导电媒质中的传导

电流

金属导体、电解液或漏电的介质中都可以存在传导电流。实验表明，传导电流密度与电场强度之间满足如下关系（2.102）

单位体积的功率（单位为W/m3）为

（2.104）对于传导电流，单位体积的功率是变为热的功率，即焦耳损耗。此时，式（2.104）为

（2.105）

还应指出，导电媒质内净电荷密度，是指电荷分布达到稳态的情形。在给导电媒质充电时，开始时是有电荷进入导电媒质内的，设电荷密度的初始值为。但由于电荷的相互排斥作用，它们都向导电媒质表面扩散，我们称其为暂态过程。

的解为

（2.107）

上式表明，体积内的ρ随时间按指数规律减小，减小的速度取决于τ=ε/σ。当ρ由ρ0减小到ρ0/e时，所需时间为τs，称τ为弛豫时间。（2.108）

不同导电媒质分界面上的边界条件为或（2.110）或（2.111）

例2.13如图2.21所示，一个有两层介质、的平行板电容器，两层介质的电导率分别为、，极板的面积为S，求该电容器的漏电导G。在外加电压U时，求两极板及介质分界面上的自由电荷密度。

图2.21具有两层介质的平行板电容器

解

，（2.112）

，（2.113）

2.3.3恒定电场与静电场的比拟恒定电场静电场

2.4恒定磁场2.4.1真空中恒定磁场的基本方程（2.118）（2.119）

式（2.118）和（2.119）称为磁通连续性方程。（2.120）（2.121）

例2.14半径为a的无限长直导体通过电流I，计算导体内外的B。 解由于对称，场的分布明显与和z

无关，磁力线是圆心在导线轴上的圆。所以有。可以用安培定律直接计算B。

当时

当时

（2.122）

2.4.2矢量磁位

（2.123）式中A称为矢量磁位。（2.124）其称为库仑规范。

（2.125）称为矢量磁位的泊松方程。（2.126）称为矢量磁位的拉普拉斯方程。

矢量泊松方程的解为

（2.129）（2.130）（2.131）

例2.15求半径为a、通过电流为I的小圆环在远离圆环处的B。

图2.22小圆环电流矢量磁位的计算

解（2.133）

（2.134）

2.4.3磁介质中的安培定律及边界条件

（2.136）

（2.137）

（2.138）（2.139）（2.140）（2.141）

B的法向边界条件由磁通连续性方程得出。或（2.142）

H的切向边界条件由安培定律得出。

（2.143）（2.144）

（2.145）

例2.16如图2.16所示，环行铁芯螺线管的半径a远小于环半径R，环上均匀密绕N匝线圈，通过电流为I，铁芯磁导率为，计算环中的B、磁通、磁链和自感L。如果在环上开一个小的切口，长度为l，匝数、电流如前，假设铁芯的也不变，再计算环中和空气隙的B和H。图2.24环形螺线管

解

当在环上开一个小的切口时因为，所以，与没有切口相比，B值将下降许多。

2.4.4恒定磁场的能量

第3章时变电磁场

麦克斯韦方程组3.1边界条件3.2坡印廷定理3.3波动方程3.4时谐电磁场3.5

随时间变化的电磁场称为时变电磁场。时变电磁场既是空间的函数，也是时间的函数，这时变化的电场和变化的磁场不再独立存在，出现了由电场和磁场构成的统一电磁场。麦克斯韦概括了前人成果，对宏观电磁场的变化规律加以总结，提出了著名的麦克斯韦方程组。以麦克斯韦方程组为核心的经典电磁理论已成为研究宏观电磁现象和现代工程电磁问题的基础。3.1麦克斯韦方程组3.1.1法拉第电磁感应定律（3.1）这就是法拉第电磁感应定律。

图3.1穿过导体回路的磁通变化产生感应电动势

（3.3）（3.5）

式（3.3）和（3.5）为法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式。

3.1.2位移电流

（3.7）麦克斯韦称为位移电流密度。

图3.3交流电路中的电容器

例3.2如图3.3所示电路，已知平行板电容器的横截面为S，极板间距为d，外加电压为，求导线上的传导电流i和极板间的位移电流id。

解 平行板电容器间的电场垂直于极板，大小为

极板上的电荷密度为，总电荷为

导线上的传导电流i是由于极板上的电荷q随时间变化导致的，因为有

（3.10）

极板间的位移电流id是由于极板间的电场随时间变化产生的，位移电流密度，则有

（3.11）平行板间的位移电流id等于导线中的传导电流i，说明全电流是连续的。

例3.3已知海水的电导率为4S/m，相对介电常数

为81。求当

f=1MHz时，传导电流与位移电流的比值。

假设电场是正弦变化的，可以写成。位移电流密度为

传导电流为

传导电流振幅与位移电流密度振幅的比值为

位移电流振幅随着频率的升高而增大，使随频率而变。

3.1.3麦克斯韦方程和边界条件积分形式为

（3.13）

微分形式为

（3.14）（3.15）（3.16）（3.17）

任何电磁场都存在于一定的媒质中，媒质中和的关系及和的关系由本构关系给出。若媒质是线性、各向同性的，有

（3.19）式（3.19）称为媒质的本构关系。3.2边界条件3.2.1边界条件的一般形式磁场切向分量的边界条件或(3.20)电场切向分量的边界条件

或(3.21)

磁感应强度法向分量的边界条件或（3.22）电位移法向分量的边界条件或（3.23）

3.2.2理想导体表面的边界条件

或或或或

3.2.3理想介质分界面的边界条件

或或或或

例3.4无限大无源区域中，已知其中和是常数，求。

解3.3坡印廷定理

时变场的一个重要性质是电磁波能在媒质中传播。定义单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位表面的能量为能流矢量，其方向为该点能量流动的方向。

能流矢量或坡印廷矢量，用S表示。

（3.35）

例3.5在两导体平板和之间的空气中传播电磁波。已知其中及为常数。求：（1）磁场H；（2）能流矢量S；（3）两导体板表面上面电流密度的分布。

解 （1）（3.36）

（3.37）

在导体的表面上，法线，则

在导体的表面上3.4波动方程

（3.42）上式称为电场E的波动方程。（3.43）上式称为磁场H的波动方程。

3.5时谐电磁场

时谐电磁场也称为正弦电磁场，指场的每一个分量随时间是正弦变化的。由于任意时变波形都可以用傅立叶变换分解为各种频率的正弦分量之叠加，因此讨论时谐电磁场具有普遍意义。

3.5.1时谐场的复数表示法时谐场也称正弦场，指场的每一个分量随时间是正弦变化的。

电场强度复矢量为（3.46）

电场强度瞬时值与电场强度复矢量之间的关系为

（3.47）

3.5.2复数形式的麦克斯韦方程组和亥姆霍兹方程复数麦克斯韦方程组的微分形式为（3.48）

复数形式的波动方程（也称为亥姆霍兹方程）为

3.5.3平均能流密度矢量（3.51）上式为用复数表示的坡印廷矢量平均值。

例3.6将例3.5中的电场和磁场改写为复数形式，并求坡印廷矢量平均值。

对应的复数形式为

坡印廷矢量平均值为

第4章平面电磁波

无界理想介质中的均匀平面波4.1波的极化4.2无界损耗媒质中的均匀平面波4.3均匀平面波对平面分界面的垂直入射4.4均匀平面波对平面分界面的斜入射4.54.1无界理想介质中的均匀平面波

均匀平面波是指波阵面（等相位面）为无限大平面，波阵面上各点的场强大小相等、方向相同的电磁波。

电场的波动方程为

（4.1）该方程的通解为

（4.2）

图4.1沿+z方向传播的电磁波

是一个以为速度沿方向传播的电磁波。

这里考虑场按正弦变化的情况，则电场可以写成（4.5）

（4.6）

（4.8）考虑式（4.8）右边第一项，其正是式（4.5）的复数形式。周期为（4.11）频率为（4.12）

图4.2正弦变化的电磁波

（4.13）（4.14）（4.16）（4.17）

在自由空间中

（4.18）

图4.3理想介质中均匀平面波的电场和磁场

（4.20）

例4.1已知无界理想介质（）中正弦平面波的频率Hz，电场强度,求：（1）平面波的相速度、波长、相位常数、波阻抗；（2）写出电场E和磁场H的瞬时表达式；（3）求坡印廷矢量的平均值。

v/m

解（1）

（2）电场和磁场的瞬时表达式为

（3）坡印廷矢量的平均值为4.2波的极化

波的极化是指在空间任一固定点上波的电场矢量空间取向随时间变化的方式，用E的矢端轨迹来描述。

波的极化状态有三种。如果E的矢端轨迹为直线，波为线极化波；如果E的矢端轨迹为圆，波为圆极化波；如果E的矢端轨迹为椭圆，波为椭圆极化波。显然，对于均匀平面波而言，在空间所有点上波的极化状态都相同。4.2.1线极化

如果Ex和Ey相位相同或相差，合成电场的矢端轨迹为直线，波为线极化。取，有

图4.5线极化

4.2.2圆极化如果Ex和Ey振幅相同，相位相差，合成电场的矢端轨迹为圆，波为圆极化。取，，有（4.31）

图4.6右旋圆极化

图4.7固定时刻圆极化波的电场在空间分布

4.2.3椭圆极化通常Ex和Ey振幅和相位都不相等，合成电场的矢端轨迹为椭圆，波为椭圆极化。

图4.8椭圆极化4.3无界损耗媒质中的均匀平面波4.3.1等效介电常数

（4.44）

工程上常用损耗角正切的概念说明媒质损耗的程度，其定义为

4.3.2损耗媒质中的电场和磁场称为传播常数。

（4.52）（4.53）

图4.9导电媒质中平面波的电场和磁场

4.3.3良介质和良导体中的参数

1良介质（σ/ωε<<1）

2良导体（σ/ωε>>1）良导体中，α、β和ηc近似为

例4.5海水的媒质参数为μ=μ0、ε=81ε0、σ=4S/m。已知频率为f=100Hz的均匀平面波在海水中沿z方向传播，电场在x方向，其振幅为1V/m，求：（1）衰减常数、相位常数、波阻抗、相速度和波长；（2）电场和磁场的瞬时表达式。

解当f=100Hz，海水在频率f=100Hz时为良导体。

（1）

Np/m

在海水中电磁波的波长变短，速度变慢。rad/mΩmm/s

（2）设电场的初相为0。有4.4均匀平面波对平面分界面的垂直入射4.4.1对理想导体平面的垂直入射入射波场量可以表示为（4.67）

（4.68）

图4.10均匀平面波向理想导电平面垂直入射

反射波场量表示为

（4.69）

（4.70）

（4.71）

（4.72）

（4.73）

上面合成场的坡印廷矢量平均值为

（4.74）

将式（4.72）和（4.73）写成瞬时值形式，为

图4.11驻波电场和磁场的时空关系

4.4.2对理想介质平面的垂直入射

图4.12均匀平面波向理想介质平面垂直入射

（4.89）

（4.90）

图4.13均匀平面波垂直入射到理想介质分界面上的反射（H——磁场驻波，E——电场驻波，T——行波）

4.4.3对导电媒质平面的垂直入射

图4.14均匀平面波向导电平面垂直入射

进入良导体的电磁波只存在于表面，这个现象称为集肤效应。工程上常用趋肤厚度来表示集肤程度，它等于电磁波由良导体表面振幅衰减到表面值的所经过的距离。

（4.101）

（4.102）（4.103）

（4.104）

例4.6分别计算频率为f1=50Hz、f2=1MHz、f3=10GHz时电磁波在铜中的趋肤厚度。已知铜μ≈μ0、ε≈ε0、σ=5.8×107S/m。

解当f1=50Hz时当f2=1MHz时当f3=10GHz时

mmmmmm

例4.7均匀平面波的电场振幅为10-2V/m，从真空中垂直入射到理想介质平面上。已知介质的μ=μ0、ε=4ε0,求入射波、反射波和折射波的坡印廷矢量平均值。

解 反射系数为

折射系数为

介质的波阻抗为入射波的坡印廷矢量平均值为

W/m2πΩ

反射波的坡印廷矢量平均值为

W/m2

折射波的坡印廷矢量平均值为

W/m2

因为，所以能量守恒。4.5均匀平面波对平面分界面的

斜入射4.5.1对理想导体平面的斜入射1.平行极化波的斜入射

图4.15对理想导体平面斜入射

θ′=θ（4.113）式（4.113）表明反射角等于入射角，这是斯耐尔反射定律。

E-0=E+0

（4.114）式（4.114）表明入射波与反射波电场振幅相等。

（4.115）（4.116）

（4.117）

在z<0区域合成场有5个特点。

(1)在z方向为驻波。电磁场量中振幅cos(βzcosθ)或sin(βzcosθ)表示场沿z方向为驻波。

(2)在x方向为行波。电磁场量中相位e-jβxsinθ表示场沿x方向为行波。

(3)合成场不是TEM波，因为在电磁波传播的x方向，电场有纵向（x方向）分量。由于磁场只有横向（y方向）分量，简称这种横磁波为TM波。

(4)合成场不是均匀平面波。因为在等相位面上，场量振幅不是常数。(5)x方向行波的相速度为（4.118）相速度是等相位面移动的速度，它不是能量传播的速度。相速度可以大于光速。

4.5.2对理想介质平面的斜入射

1.平行极化波的斜入射

（a）平行极化（b）垂直极化图4.16对理想介质平面斜入射

（4.140）

（4.141）式（4.140）为斯耐尔反射定律，说明反射角等于入射角。式（4.141）为斯耐尔折射定律。

（4.147）

（4.148）

2.垂直极化波的斜入射

4.5.3全反射和全透射

1.全反射当时的入射角记为，称为临界角。

（4.151）

2.全透射布儒斯特角，记为。

（4.153）

第5章传输线理论

传输线方程和传输线的场分析方法5.1传输线的基本特性参数5.2均匀无耗传输线工作状态分析5.3

传输线的阻抗匹配5.6史密斯阻抗圆图和导纳圆图5.5有耗传输线5.4

常用的传输线有平行双导线、同轴线、带状线和微带线（传输准TEM波）等，如图5.1所示。

图5.1常用TEM波传输线5.1传输线方程和传输线的

场分析方法5.1.1长线及分布参数等效电路

·分布电阻R。定义为传输线单位长度上的总电阻值，单位为Ω/m。

·分布电导G。定义为传输线单位长度上的总电导值，单位为S/m。

·分布电感L。定义为传输线单位长度上的总电感值，单位为H/m。

·分布电容C。定义为传输线单位长度上的总电容值，单位为F/m。

图5.2传输线的等效电路

5.1.2传输线方程及其解

1.均匀传输线方程

图5.3传输线上电压和电流的定义及其等效电路

传输线方程（5.3）

2.均匀传输线方程的解（5.4）

（5.5）

γ称为传输线上波的传播常数，一般情况下为复数，其实部α称为衰减常数，虚部β称为相移常数。

（5.6）（5.7）

图5.4由边界条件确定积分常数

(1)已知终端的电压U2和电流I2；（5.9）

(2)已知始端的电压U1和电流I1；（5.12）

(3)已知电源电动势Eg、内阻Zg及负载阻抗Zl时的解（5.14）

式中，5.2传输线的基本特性参数5.2.1特性阻抗

（5.25）可见，在无耗或微波情况下，传输线的特性阻抗为纯电阻。

平行双导线的特性阻抗

（5.26）

平行双导线的特性阻抗值一般为250～700Ω，常用的是250Ω、400Ω和600Ω。同理得同轴线的特性阻抗公式为同轴线的特性阻抗值一般为40～100Ω，常用的有50Ω和75Ω。

5.2.2传播常数对于无耗线，，

对于微波低耗传输线，

，（5.28）

（5.30）

（5.31）（5.32）dB

（5.33）

（NP）

（5.34）1奈培（NP）=8.686分贝（dB）1分贝（dB）=0.115奈培（NP）

功率（dBm）=（5.35）显然，0dBm=1mW

功率（dBW）=（5.36）

30dBm=0dBW

5.2.3输入阻抗（5.38）

图5.5传输线上的输入阻抗

5.2.4反射系数

1.反射系数的定义及表示式

（5.39）（5.42）

图5.6传输线上的入射波电压和反射波电压

（5.43）

2.输入阻抗与反射系数的关系

（5.45）

（5.46）（5.47）

3.驻波系数和行波系数（5.48）

（5.49）VSWR

（5.51）（5.52）

5.2.5传输功率

（5.53）

（5.54）

（5.55）5.3均匀无耗传输线工作状态分析5.3.1行波工作状态

（5.56）

（5.58）

图5.7行波电压、电流和阻抗的分布图

行波有三个特点。（1）沿线各点电压和电流的振幅不变。（2）电压和电流的相位随的增加连续滞后。（3）沿线各点的输入阻抗均等于特性阻抗。

5.3.2驻波工作状态

1.终端短路当终端短路时，Zl=0，终端反射系数Γ2=-1。（5.59）

图5.8终端短路时沿线电压、电流和阻抗的分布图

（5.62）

2.终端开路

（5.63）

3.终端接纯电抗负载

图5.9终端开路时沿线电压、电流和阻抗的分布图

图5.10端接纯感抗和纯容抗沿线电压、电流和阻抗的分布

（5.66）

驻波有三个特点。（1）沿线电压和电流的振幅是位置的函数，具有波腹点和波谷点。短路线终端为电压的波谷点（零点）、电流的波腹点；开路线的终端为电压波腹点、电流波谷点（零点）。

（2）沿线各点的电压和电流在时间上相差π/2，在空间也相差π/2，因此驻波情况下既无能量损耗，也无能量传播。

（3）沿线各点的输入阻抗为纯电抗。每过λ/4，阻抗性质改变一次（容性改变为感性，感性改变为容性，短路改变为开路，开路改变为短路）；每过λ/2，阻抗性质重复一次。

5.3.3行驻波工作状态（5.68）

此时输入阻抗为

（5.69）

（5.70）

此时输入阻抗为

（5.71）

图5.11行驻波沿线分布图

例5.2已知均匀无耗长线如图5.12(a)所示，Z0=R1=R2=250Ω。由终端表头指示得到终端电流最大值为1/10A，表头的内阻为0。

(1)要使ed段传行波，点d并联长线的负载电阻R等于多少?(2)画出主线及并联支线上|U|、|I|和|Z|的分布曲线,并计算曲线上的极值；(3)电源电压E等于多少?(4)求R1、R2和R吸收的功率。

图5.12例5.2用图5.4有耗传输线

图5.13有耗线上的入射波和反射波

5.4.1有耗传输线的参数及电压、电流和阻抗分布

1.有耗传输线的参数(5.7