线性方程组解的结构

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第四章线性方程组解的结构§4.4线性方程组在几何中的应用§4.2齐次线性方程组解的结构§4.1线性方程组解的存在性定理§4.3非齐次线性方程组解的结构-3-其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解?齐次线性方程组解的结构本章以向量为工具讨论线性方程组解的结构主要内容:非齐次线性方程组解的结构如果当齐次线性方程组有无穷多解时,问题:1.2.如果当非齐次线性方程组有无穷多解时,其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解?-4-§4.1线性方程组解的存在性定理对于非齐次方程组非齐次方程组解的判别定理

齐次方程组解的判别定理对于齐次方程组-5-

第四章线性方程组解的结构§4.4线性方程组在几何中的应用§4.2齐次线性方程组解的结构§4.1线性方程组解的存在性定理§4.3非齐次线性方程组解的结构-6-记Ax=0的解集为:(1)1.解向量:的一个解向量.2.解向量的性质:(2)不妨设是N(A)的最大无关组(称为基础解系)则:由(1),(2)可知(取任意实数)§4.2齐次线性方程组解的结构-7-通过下面的例子,来解决以上问题例1问题:对于给定的方程组如何求其基础解系?解:-8-是解吗?线性无关吗?任一解都可由

表示吗?基础解系所含向量的个数=?是基础解系吗?令自由变量为任意实数

说明:1.基础解系不惟一2.但所含向量的个数唯一且等于n-R(A)-9-齐次方程组解的结构定理齐次方程组的基础解系所含向量个数为设一个基础解系为:则通解为:例２．设ｎ阶矩阵Ａ的秩为ｎ－１，Ａ的每行元素之和为零，写出ＡＸ＝０的通解．解：的基础解系所含向量个数为则通解为：-10-例2设,是的两个不同的解向量,k

取任意实数,则Ax=0的通解是例3设,证明重要结论证记则由说明都是的解因此移项-11-例4.已知的列向量组是齐次线性方程组的基础解系,B是m阶可逆矩阵,试证:AB的列向量组也是齐次线性方程组的基础解系.证明:则AB的列向量组是齐次线性方程组的解向量由条件可知A的列向量组线性无关且含m个向量所以AB的列向量组线性无关,即是方程组的基础解系.-12-

第四章线性方程组解的结构§4.4线性方程组在几何中的应用§4.2齐次线性方程组解的结构§4.1线性方程组解的存在性定理§4.3非齐次线性方程组解的结构-13-(1)设都是(1)的解,则是(2)的解.(2)设是(1)的解,是(2)的解,则仍是(1)的解.设是(1)的一个解(固定),则对(1)的任一解x是(2)的解,从而存在使得由此得:1.解向量:2.性质:§4.3非齐次线性方程组解的结构-14-非齐次方程组解的结构定理

的一特解解,则当非齐次线性方程组有无穷多解时其通解为:例5.的三个解向量解:的基础解系含一个向量-15-例6解-16-例7设是非齐次Ax=b

的两个不同的解其对应的齐次方程组的基础解系,则Ax=b

的通解是(多选)-17-例8.已知方程组问:a为何值时,方程组有唯一解?无解?无穷多解?有无穷多解时求出通解.解:所以有无穷多解,-18-因为系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,所以方程组无解.例9.的三个解向量,-19-例10设线性方程组的系数矩阵为A,存在解:则B的列向量组为AX=0的解向量例11齐次线性方程组,则下列结论正确的是-20-例１2已知方程组问ａ为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多个解？在方程组有无穷多个解时求出通解．（考试题）解：方程组