北科大材料力学课件04弯曲内力

第四章弯曲内力材料力学工程实例受力特点：力偶或垂直于轴线的外力作用在一个通过轴线平面内。变形特点：杆件的轴线（力偶或横向力）由直线变为曲线。弯曲变形梁挠曲线平面弯曲

把以弯曲为主要变形的杆称为梁。载荷作用在同一平面，并使梁的轴线在该平面内弯曲时称为平面弯曲。§4-1弯曲的概念工程中的梁横截面一般都是对称的。平面弯曲

外载荷作用在纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条平面曲线-------挠曲线。PPP纵向对称面挠曲线悬臂梁外伸梁简支梁梁的计算简图:PRARBABC2aaqP=qaABDRARB§4-2梁的支座和载荷的简化ql简支梁(simplysupportedbeam)外伸梁(overhangingbeam)悬臂梁(cantileverbeam)这三种基本梁的形式是从工程实际中经过简化得到：1.用截面法求内力：IIo剪力(shearforce)弯矩(Bendingmoment)P2.内力符号规定：+Q+M剪力:“左上右下为正”弯矩:“左顺右逆为正”§4-3剪力和弯矩M利用梁弯曲后的形状可以快速判断梁内弯矩的符号.例如+M-Ma2aaPPABCD梁弯曲后的形状练习：快速判断右梁内弯矩的符号BAlq取左侧位研究对象：IIoP注意:对截面O取力矩平衡剪力Q—

截面一侧所有竖向分力的代数和;弯矩M—

截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。取右侧位研究对象：ooIIPIIII例题：简支梁，求1-1，2-2截面上的内力B（1）求支反力RA、RBRA–8–22+RB=0RA=7kN（2）求内力∑Y=0,

RA–P–Q1=0；Q1=RA–8；Q1=–1kN∑M=0,–RA1.5+P0.5+M1=0；M1=6.5kN.m∑Y=0,当内力的方向设正时，外力的方向和内力的方向相反则取正号B取2-2截面的右侧研究剪力方程Q(x):描述剪力沿梁的轴线变化规律的方程．§4-4剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图定义域的表示规定:Q(x),集中力作用处为开域,其他为闭域.M(x),集中力偶作用处为开域,其他为闭域.弯矩方程M(x):描述弯矩沿梁的轴线变化规律的方程．剪力方程的分段规定:在不同的定义域内用不同的方程表示在集中力(包括约束反力)作用处;在分布载荷(主要是均布载荷)的作用起点和终点．弯矩方程的分段规定:与剪力方程的分段规定相同;在集中力偶(包括约束反力偶)作用处;解：（1）支反力(2)列Q、M方程例:作Q、M

图PRARBABCAC段Q(x)M(x)xAC段CB段Q(x)M(x)CB段PRARBABC(3)作Q、M图

有集中力作用处，Q图有突变.AC段CB段Q—+M+解：（1）支反力Q(x)M(x)xQ(x’)M(x')（2）列Q、M方程例5-4:梁，已知Q，L。列Q，M方程；画Q，M图。RARBmABCAB段AC段CB段(3)作Q、M图RARBmABCAB段AC段CB段Q+M+—

有集中力偶作用处，M图有突变.解：（1）支反力Q(x)M(x)xqlRARB（2）列Q、M方程（3）作Q、M图MQ例题：简支梁，已知q,L，试列Q，M方程；画Q，M图。本题：若分别对M（x），Q（x）求一阶导数，得：这个微分关系是偶然？必然？Q(x)M(x)xqlRARBQ、M方程习题4-2(b,d,f,g),4-3(c,g,i)lP1P2BA1.梁的内力：弯矩和剪力mmaRAMQRBP2P1QMRBRA上次课主要内容回顾2.内力符号规定：剪力符号:-Q+Q弯矩符号:+M-M3.梁内力的简便求法：剪力——截面一侧所有竖向分力的代数和。

（左上右下为正）弯矩——截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。（左顺右逆为正）RAQcMc确定M(x)、Q(x)、q(x)的联系，正确、方便画出内力图。1.微分关系q(x)在dx上看成是均布，所有力按正向画出。dxQ(x)M(x)Q(x)+dQ(x)q(x)M(x)+dM(x)cyBAxq(x)l取典型微段xdx§4-5荷载集度、剪力、弯矩间的微分关系列平衡方程dxQ(x)M(x)Q(x)+dQ(x)q(x)M(x)+dM(x)c对上式求导得：高阶微量dxQ(x)M(x)Q(x)+dQ(x)q(x)M(x)+dM(x)c归纳①Q图曲线的切线斜率为q(x)②M图曲线的切线斜率为Q(x)③M图曲线的凹凸向与q(x)符号有关PQMmQM1.q=0的区间,Q水平直线,

M为斜直线;

Q>0,M的斜率为正，

Q<0,M的斜率为负。

3.集中力P作用点剪力图有突变,突变值等于P,

弯矩图有拐点。4.集中力偶M作用点,弯矩图有突变,突变值等于M。QMqMQq2.q为常数(向下)的区间,

Q为斜向下的直线,M为向上凸的曲线。

Q=0的位置对应于

M图上的极值点位置。内力图画法：

求控制截面的内力值（截面法）确定内力图形状（微分关系）例:求下列各梁的剪力弯矩图。解：(1)支反力q2aaABCRARBQM(2)作剪力图、弯矩图解：（1）支反力a2aaPPABCDRARBQM(2)作剪力图、弯矩图解：（1）支反力2aaqP=qaABDRARBQCM(2)作剪力图、弯矩图2aaqACBRARBQM解:（1）支反力(2)作剪力图、弯矩图（1）q=0，Q=常数，为一水平线。M为

x的一次函数，是一条斜直线。（计算特殊点按x顺序连直线）（2）q=常数时，Q为

x的一次函数，是一条斜直线。M为

x的二次函数，是一条抛物线（附加中间的特殊点值，用三点连抛物线）。（3）若均布载荷向下，剪力图曲线的斜率为负，为一向右下倾斜的直线。此时弯矩图曲线的开口向下，具有极大值，极值点位于剪力Q为零的截面。（4）集中力使剪力图突变，集中力偶矩使弯矩图突变。（突变值等于集中力或集中力偶矩的值）ACDBE习题4-7(a,b),(4-8)，4-13(a,b),4-16(b)课堂练习画剪力弯矩图1.ABCq=10kN/mQM1.332.670.270.36ABC10NmQM50N10Nm2.ACqQM0.283/45/410.53.4.ABCqQM5/6qa13/67/65/6qa21/613/725.检查下列剪力弯矩图是否正确qABCABqP=qaAq刚架：由两根或两根以上的杆件组成的并在连接处采用刚性连接的结构。横梁立柱当杆件变形时，两杆连接处保持刚性，即角度（一般为直角）保持不变。在平面载荷作用下，组成刚架的杆件横截面上一般存在轴力、剪力和弯矩三个内力分量。§4-6平面刚架和曲杆的内力图特点：在刚结点处，

1)各杆段不能发生相对移动，和相对转动。保持角度不变。

2)因为刚结点约束杆端相对转动，所以能承受和传递弯矩。(与铰相反)3)有消减结构中弯矩的峰值的作用。工程中：杆件少，内部空间大，制作方便。建筑工程中，用来承重骨架，通过它将载荷传到地基。刚架内力图分析步骤：2)求内力1)由整体及某些部分的平衡条件求出支座的反力及铰结处的约束力。对于每一杆件的无载荷区段和承受均布载荷区段分别计算。无载荷区段：定出弯矩控制竖标连直线。有载荷区段：利用叠加方法。3)画图例：作刚架的内力图Paa2aABCDRAyRByRAx解：（1）支反力N图Q图M图+-+（2）作图

刚架和曲杆可看作折线或曲线的梁，内力的计算和剪力弯矩图的作法原理上与横梁相同。剪力的正负仍以外法线为基准判断，弯矩图画在受压一侧。<1>取整体为隔离体，由平衡条件：利用校核例：静定平面刚架,计算内力，并画出内力图.30kN<2>作弯矩图：AD杆：AC段无载荷区，CD段无均布载荷；(左侧受拉)DE杆：DE段受均布载荷，产生弯矩，为二次抛物线。连续性要求:(上边受拉)(右边受拉)峰值＝例题：求做图示刚架的内力图qLLABCqLqL/2qL/2例题：求做图示刚架的内力图2kN/m4m4mABC2kN2kN8kN24kNm例题：等截面折杆ABC的A端固定在墙上,自由端承受集中力F=20kN.设L1=2m,L2=1m,θ1=450,θ2=900,试作折杆的剪力和弯矩图AL1L2FC2rrABF例题：图示杆ABC由直杆和半圆组成,试作该杆的内力图.AB:BC:本章结束lP1P2BA1.梁的内力：弯矩和剪力mmaRAMQRBP2P1QMRBRA梁的内力主要内容回顾2.内力符号规定：剪力符号:-Q+Q弯矩符号:+M-M3.梁内力的简便求法：剪力——截面一侧所有竖向分力的代数和。

（左上右下为正）弯矩——截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。（左顺右逆为正）RAQcMcPQMmQM1.q=0的区间,Q水平直线,

M为斜直线;

Q>0,M的斜率为正，

Q<0,M的斜率为负。

3.集中力P作用点剪力图有突变,突变值等于P,

弯矩图有拐点。4.集中力偶m作用点,弯矩图有突变,突变值等于m。QMqMQq2.q为常数(向下)的区间,

Q为斜向下的直线,M为向上凸的曲线。

Q=0的位置对应于

M图上的极值点位置。4.M(x)、Q(x)、q(x)的微分关系弯曲内力课堂练习1.根据Q、M图的特征，试判断Q、M图的错误，作出正确的Q、M图。在支座C处有集中力作用（约束反力）剪力值将有突变；M图在AB段不应是直线而是折线（M图在C点的斜率发生变化）。Q图mM图m2aCBAQ图M图mCB段Q=0，

Q图上不应有数值；错误分析：CB段Q=0，CB段的M图应是水平线（M是常数）;2.判断图示Q、M图的错误，画出正确的Q、M图。Q图maaDBaCAM图Q图mM图错误分析：BD段的剪力正负号有错；铰B处没有集中力，Q图应是连续的;在C处有集中力偶作用，M图应有突变;在中间铰B处M应等于零。3、判断Q、M图错误，画出正确的内力图。CBDAQ图M图1.5aqaQ图错误分析：在B点剪力不应有突变（因为没有集中力作用）；M图在B点应有突变（有集中力偶作用）；对应于M最大点处，剪力为零。qa2aBACM图4、利用Q、M之间的微分关系，作图示梁的Q、M图。(2)作Q、M图求Q=0点位置:P=3kNm=6kNmq=1kN/mDCBA3m2m4m3.532.5CBAQ图(kN)DExYBYA(1)求约束反力解:3.532.5CBAQ图(kN)DExP=3kNm=6kNmq=1kN/mDCBA3m2m4mYBYA求D点M值：求AD段最大M值：DB段M图是二次曲线，凸向由q(x)确定。M图(kN

.m)429错误分析：①

Q图的正负号“左上右下为正,且反对称；②M图画在受压的一侧，且BC段不为零③在B、C点无集中力偶，M图不应有突变；又因为BC段Q=0，所以该段M=常量。5.试判断Q、M图是否正确，画出正确的内力图。PPQ图PaPaM图aaaDCBAPPxPPPPQ图PaPaM图（1）求支反力RA、RB解：RA=1.5qa，RB=1.5qa（2）作Q图（3）作M图6、作Q、M图（1）求支反力RA、RB解：RA=2kN，RB=4kN（2）作Q图AC：Q=RACD：Q=RADE：Q=RA-P=-2kNEB：QB-=RA-P-q

1=-4kN（3）作M图MA=0MC-=RA

1=2kN.mMC+=MC-+m0=3kN.mMD=MC++1

2=5kN.mME=MD-2.1=3kN.m2kN-2kN-4kN3kN.m5kN.m3kN.m2kN.