北科大材料力学课件07应力状态和强度理论

第七章应力分析和强度理论材料力学■问题的提出应力随点的位置变化应力随截面的方位变化§7-1应力状态的概念地震荷载作用下的墙体破坏说明:

破坏面与受力方向可能不一致。

对同一点:一个方向上满足强度要求,并不能说明已经安全。推论:研究应力状态的方法：截取单元体；施用截面法。■截取单元体单元体受力特征１．应力在每个侧面上均布；２．相互平行的面上应力等值、反向。从构件中截取一个三维方向尺寸无限小的正六面体（单元体）研究应力状态的目的：研究应力随点和面的变化规律，以确定最大正应力σmax和最大剪应力τmax

。

应力状态的初步概念：过一点处不同方向面上的应力(正应力和切应力)可以有不同的组合形式。■

原始单元体（各侧面应力已知的单元体）梁■施用截面法（用截面法找到特殊截面）

=0的平面主平面主平面上的正应力主应力第一主应力第二主应力第三主应力轴杆梁■应力状态概念的进一步说明拉中有剪剪中有拉

根据单元体的平衡条件说明：同一单元体的不同方向面上的应力一般是不相同的。这便是应力的截面方位的概念。根据单元体的平衡条件分析任意方向面上的应力情况应力是定义在“点”上的

材料力学中的“点”是物理点,不是几何点,有大小和形状，通常用正六面体表示，称为单元体。

通过同一点所取截面方向不同，应力的大小也不同。应力既是点的位置的函数，也是过该点的截面方位的函数。

通过同一点不同方位截面上的应力的集合称为该点的应力状态。

小结：一点的应力状态:单元体很小，可以认为:(1)各个面上的应力均匀分布；(2)相互平行的平面上，应力大小和性质完全相同。■基本变形原始单元体的画法（各侧面应力已知的单元体）1、截取无限小六面体作为单元体；1）截取横截面；2）在横截面上平行于边缘截取小矩形；3、按照杆件受力的特点，在横截面上画出相应的应力；2、分析单元体各个面的含义，分清哪个面是横截面；4、画出单元体其他各面上的应力；3）从横截面开始缘截取小立方体；右视图

弯曲梁上四个点的单元体。四个点在横截面上，既有剪应力也有正应力z

弯曲梁上一点的单元体，剪力和弯矩都不为0，在横截面上，既有剪应力也有正应力dxzFlaSyxz4321S平面应力分析yxzxyz1Mx432143Mz(TriaxialStressState)三向（空间）应力状态yxz定义：在一个单元体上，三个主应力均不为0，则称该单元体所代表的点处于三向应力状态。§7-2二向和三向应力状态的概念

Biaxial(

Plane)Stress

State二向（平面）应力状态xy定义：在一个单元体上，两个主应力均不为0，则称该单元体所代表的点处于二向应力状态。单向应力状态(UniaxialStressState)纯剪应力状态

(PureShearStressState)xy定义：在一个单元体上，仅有一个主应力不为0，则称该单元体所代表的点处于单向应力状态。定义：在一个单元体上，仅有剪应力，而无正应力。则称该单元体所代表的点处于纯剪应力状态。xyτxyτyx三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例思考：在下面单元体上，应力已知，则该单元体所代表的点处于什么应力状态？思考：纯剪应力状态，对应于几向应力状态？xyτxτyxy50MPa50MPa50MPa如图所示原始单元体取任意斜截面假想将单元体分为两部分§7-3二向应力状态分析—解析法单元体局部的平衡方程量的符号规定：1、α：沿X轴逆时针转到截面的外法线方向为正。

二向应力状态的解析法——α角的斜三角微元的平衡dA

参加平衡的量——应力乘以其作用的面积2、σ：拉正、压负。3、τ：沿单元边界，顺时针绕单元为正。

二向应力状态的解析法dA

二向应力状态的解析法dA又三角公式：整理得:其中:---任意斜截面应力---斜截面法向n与x轴正向夹角---正截面应力---（1）dAxy注意到：1.主应力与主平面:正应力的极值（极大、极小）对(1)式第一式求导,得:---（1）由(2)可解出:

0

相差90o的两个根，说明：---（2）由(2)可表示出sin2

0、cos2

0

代入(1)第一式，得：出现主应力的两个面相互垂直。

单元体上剪应力为零的平面，称为主平面；该面上的正应力称为主应力。---（3）---（2）(1)将原单元体上的剪应力等效汇合成两对流出和流入的剪应力流。(2)最大主应力σmax的作用面偏向于流出的剪应力流方向。主应力作用面与主方向配对法则:例：纯剪切应力状态及其主应力等价流入的剪应力流方向等价流出的剪应力流方向等价流入的剪应力流方向等价流出的剪应力流方向(1)出现主剪应力的两个面相互垂直。2.平面主剪应力:剪应力的极值（极大、极小）对(1)式第二式求导,经推导得:---（4）---（5）(2)主剪应力的作用面上,正应力不一定为0。说明:(3)式中两式相减与(4)式比较:---(3)---(4)(3)式中两式相加:---（3）讨论:由(2)和(4)可知:推知:与

相差90o，

与

相差45o

例：讨论单向应力状态例题：原始单元体如图示。试求：503020应力单位：MPa解：写出各应力元素的具体数值5030202）主应力，主平面因为最大主应力σmax的作用面偏向于流出的剪应力流方向,可作图主应力迹线:

主应力方向在梁内的分布规律。mmmm主拉应力

1方向:

主拉应力

3方向:自下而上由水平按顺时针转动。自上而下由水平按逆时针转动。钢筋如何布置？主应力迹线:压拉1.应力圆方程(1)改写成:由(3)2+(2)2得:§7-4二向应力状态分析—图解法R圆心:半径:应力圆cR2.应力圆作法ABa(sx

,txy)b(sy

,tyx)c在

-

坐标中，取对应于单元体A、B面的点a、b；

a、b两点连线交

轴于c点；以c为圆心ac为半径作圆。efoRa(sx

,txy)b(sy

,tyx)cefo转向、二倍角对应A'a'aAyxCaAc3.应力圆的应用点面对应求任意斜截面上的应力a(sx

,txy)b(sy

,tyx)c

自ac与

同向转2

角得ec,则e点的坐标就是

面上的

、

。2e(s

,t

)

a(sx

,txy)(sy

,tyx)bco求正应力的极值及方位：dd’在单元体上

0max、

0min相差900

x

ya(sx

,txy)(sy

,tyx)bcodd’求剪应力的极值及方位：与的作用面相差450a(sx

,txy)(sy

,tyx)bcodd’

在主剪应力面上(e,e’):(sy

,tyx)ba(sx

,txy)cd’doee’

圆心横坐标:例题：原始单元体如图示。试用图解法求解：解题步骤：(40,-50),(-60,50)3.确定点坐标1.x504060y

应力单位：MPan由应力圆中量取以下尺寸(40,-50),(-60,50)3.确定点坐标504060y

应力单位：MPanF4.作应力圆504060n5.计算结果：504060F思考：画出图示单元体对应的应力圆。思考：图示的应力圆表示单元体处于什么应力状态？σ0σ0作业7.2(a、c、d)，7.3(b、c)7.5(a、c)§7-5三向应力状态szsxsytxytyxsytxytyxsxsz三向应力状态特例的一般情形--至少有一个主应力及其主方向已知。研究方法：将已知主方向的作用面作为屏幕面，则立方单元体可以投影成平面矩形。平面矩形的上、下、左、右边缘上的应力按照已经学过的平面应力状态求主应力的方法求解。研究方法：按照平面应力状态求出的两个主应力在加另外一个已知主应力，按照代数值可以排列出三个主应力的顺序:σ2σ3σ1σ2σ1σ1σ3σ2σ3在三个主方向的作用面中都产生各自面内最大切应力τmax,即：最大切应力一点处应力状态中的最大切应力只是

1-2、

2-3、1-3

中最大者，即:结论：无论材料点（单元）处于何种应力状态，求最大切应力时，一律按照三向应力状态求解。即：按照最大主应力与最小主应力之差的一半确定。最大切应力作用面为：最大主应力σ1与最小主应力σ3的作用面夹角的一半（45o）σ1σ360MPa120MPa100MPaExample:Determinethemaximumshearstressandtheorientationofplaneonwhichthemaximumshearstressactsis:Themaximumshearstress:Answeris:AA.B.C.D.例1：材料单元的应力状态如图求：最大切应力解：已知σ=40MPa是一个主应力，水平方向的切应力对应于纯剪切应力状态。材料单元的三向应力状态如下图。402020maxt231ss-=240-（-

20）==30(MPa)一、叠加法求应变分析公式abcdaAOB剪应变：直角的增大量！（只有这样，前后才对应）

DD1EE1

*§7-7平面应变状态分析应变状态的概念通过构件某点处不同方向上的应变情况。研究应变状态的目的研究应变的变化规律，确定研究方法与步骤用叠加原理研究*§7-7平面应变状态分析依照叠加原理综合以上分析结果：微分线段的总变形为微分线段的线应变为微分线段转过的角度:将上式略作改变便可以写为至此，完成了应变规律的研究，即：(A)(B)2、已知一点A的应变（），画应变圆二、应变分析图解法——应变圆（StrainCircle）1、应变圆与应力圆的类比关系

建立应变坐标系如图

在坐标系内画出点

A(

x，

xy/2)

B(

y，-

yx/2)

AB与

a

轴的交点C便是圆心

以C为圆心，以AC为半径画圆——应变圆。eaga/2ABCeaga/2三、

方向上的应变与应变圆的对应关系

max

min2

0D(

，

/2)2n

方向上的应变(

，

/2)

应变圆上一点(

，

/2)

方向线应变圆的半径

两方向间夹角

两半径夹角2

；且转向一致。ABC四、主应变数值及其方位例：

已知一点在某一平面内的

1、

2、

3、方向上的应变

1、

2、

3，三个线应变，求该面内的主应变。解：由i=1,2,3这三个方程求出

x，

y，

xy；然后在求主应变。例：

用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。xyu45o

0

max0°90°45°90°45°12345°应变花示意图60°0°120°60°120°12360°应变花示意图问题的提出简单应力状态的应力应变关系纯剪应力状态的应力应变关系应力应变关系均可以由简单实验确定§7-8广义胡克定律复杂应力状态的应力应变关系应力分量应变分量应力应变关系？理论基础（弹性力学的结论）

各向同性的线弹性材料发生小变形时，线应变只和正应力有关，而与剪应力无关；剪应变只和剪应力有关，而与正应力无关。研究方法（叠加原理）先研究X方向的线应变=++2、三向主应力状态的广义虎克定律－叠加法σ1σ2σ3ε1=ε2=ε3=三向主应力状态的广义虎克定律复杂应力状态下的广义虎克定律

xyzszsytxysx可以把广义虎克定律用在单元体任意三个垂直的方向上我们应该把X，Y，Z理解成任意三个垂直的方向特例（主单元体）三向应力状态三向应变状态二向应力状态三向应变状态单向应力状态三向应变状态例:圆截面杆受拉扭作用如图。杆直径d，材料的弹性模量E,泊松比µ。若已分别测得圆杆表面上一点a沿x轴线以及沿与轴线成45

方向的线应变ε45

,试：确定外力偶Mx。

解:x扭转在45o对应的斜截面上为等值的一对拉应力和一对压应力利用广义胡克定律：在45o对应的线应变为1、微元应变能(StrainEnergy)dydxdz§7-9

复杂应力状态下的应变比能dU=2n=2s1e1+s2e2+s3e3变形比能3、体积改变比能与形状改变比能令+:Strain-EnergyDensityCorrespondingtotheDistortion形状改变比能:Strain-EnergyDensityCorrespondingtotheChangeofVolume体积改变比能

2

3

1图a图

c

3-

m

1-

m

2-

m

m图b

m

m称为形状改变比能或歪形能。图

c

3-

m

1-

m

2-

m例9

用能量法证明三个弹性常数间的关系。

纯剪单元体的比能为：

纯剪单元体比能的主应力表示为：txyA

1

3一、引子：1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸P铸铁压缩MP§7-10

强度理论概述低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45

的螺旋线断开。低碳钢试件的扭转失效铸铁试件的扭转失效(torsionofcastiron)(tensionofcastiron)(tensionoflowcarbonsteel)(torsionoflowcarbonsteel)Failureobservation简单拉压应力状态的强度条件复杂应力状态的强度条件如何建立？2、组合变形杆将怎样破坏？简单剪切应力状态的强度条件σu和τu均可由拉伸实验确定。一个类比的说明—体能测验问题研究净举重量P净跑距离L问题：如负重p，此人能够跑的距离L=？通过拟和实验数据，得到经验化公式重量(kg)距离(km)O分析：不能简单地按照直线公式估算!一、方法（逻辑推理的方法）现象推测假说实践学说二、强度理论的概念：是关于“构件发生强度失效（failurebyloststrength）起因”的假说。材料力学的一个基本问题就是研究构件发生破坏的条件，直接根据实验结果建立强度条件的方法是强度计算中最单可靠的方法。遗憾的是受实验技术的限制，复杂应力状态的强度条件不能通过无限的实验结果建立。观察实验现象低碳钢（塑）拉伸实验破坏现象—滑移破坏原因--扭转实验复杂破坏现象—切断破坏原因--破坏原因皆为实验现象小结：拉伸实验和扭转实验的应力状态不同，但是破坏原因相同，皆为最大切应力。三、材料的破坏形式：⑴屈服；⑵断裂。简单σ观察实验现象铸铁（脆性）拉伸实验破坏现象—拉断扭转实验复杂破坏现象—拉断实验现象小结：铸铁试件在简单拉伸时沿横截面被拉断；铸铁试件受扭时沿45o方向破裂，破裂面就是最大拉应力作用面.拉伸实验和扭转实验的应力状态不同，但是破坏原因相同，皆为最大拉应力。破坏原因--破坏原因皆为破坏原因--简单σ推测原因

根据诸如以上实验现象的大量工程材料破坏事实，人们推测：无论何种应力状态，构件破坏原因是由同一种力学因素造成的。提出假说造成破坏的主要影响因素理论分析求得该影响因素的极限值拉伸实验测定1、伽利略播下了第一强度理论的种子；2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽；3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论；4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（maximumdistortionenergytheory）；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。结论:复杂应力状态下强度理论的建立需要通过有限的实验来获得有关材料破坏的现象,然后建立材料破坏机理的理论模型并经过实验验证得以完善.§7-11

四种常用强度理论一、第一强度理论（最大拉应力理论）(MaximumNormal-StressCriterion)（1858年）Galileo1638年提出:砖石(以后的铸铁)的强度取决于材料内的最大拉应力。认为破坏条件：理论实验强度条件：当主应力中有压应力时，只要误差较大三向压应力不适用二向时：当该理论与实验基本一致三向时：当同上当主应力中有压应力时，只要同上实验表明：该理论与铸铁，陶瓷，岩石和混凝土等脆性材料的断裂破坏相符合。但是，该理论未考虑其他两个主应力的影响。对压缩应力较大的状态不适用。《评价》具体说：无论材料处于什么应力状态只要构件内有一点处的最大线应变达到了单向拉伸的应变极限，就发生断裂破坏。1682年，Mariote提出最大拉应力远小于压应力时，最大伸长线应变ε1是引起材料断裂的原因。二、第二强度理论（最大线应变理论）(MaximumNormalStrainCriterion)（1858年）认为破坏条件：理论实验强度条件：或思考：根据你的实验经验，εu

=

σb/E

是否正确？该理论能很好地解释石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩时沿横向（裂纹呈竖向）发生断裂破坏的现象（图1）。铸铁在

σ1>0>σ3，且

|σ3|>σ1

的情况下，试验结果也与该理论的计算结果相近（图2）。《评价》主应力有压应力时，当，理论接近实验但不完全符合其他情况下，不如第一强度理论《结论》除了，还有的参与，似乎有理，但是实验通不过——好看未必正确。实验表明：该理论与铸铁，陶瓷，岩石和混凝土等脆性材料的单向压缩相符合。而且与铸铁的拉压二向应力且压力较大时相符合。1773年，Coulomb提出假设1868年Tresca完善三、第三强度理论（最大剪应力理论）(TrescaCriterionorMaximumShearStressCriterion)（1868年）认为破坏条件：理论实验强度条件：

实验表明：该理论较满意地解释了塑性材料的屈服现象，但是偏于安全且未考虑第二主应力的影响。由于未考虑σ2的影响，此理论的结果偏于安全（即：偏高估计应力水平），差异有时达15%。但是，由于此理论形式简单，便于计算，常用于工程设计。《评价》认为破坏条件：理论实验四、第四强度理论（形状改变比能理论）

(vonMisesCriterionorDistortionalenergyCriterion)（1904年）强度条件：实验表明：该理论与实验结果相当接近，比第三强度理论更加完善。理论与实验基本符合比第三理论更接近实际。但是，此理论形式繁复，因此，较多用于科学研究。《评价》《备注》由于有人从均方根剪力推导对于二向应力状态五、相当应力（强度准则的统一形式）其中