《商的变化规律》练习题

掌握商的变化规律：高效练习题与解析在数学的学习旅程中，“商的变化规律”无疑是一块重要的基石。它不仅能帮助我们快速准确地进行除法运算，更能培养我们对数字关系的敏锐洞察力。理解并熟练运用这些规律，将使复杂的计算变得简单，让我们在解决实际问题时更加游刃有余。接下来，我们通过一系列有针对性的练习来检验和巩固这些规律。一、核心规律回顾在开始练习之前，让我们简要回顾一下商的变化规律的核心内容，这将有助于我们更好地理解和解答后续题目：1.被除数不变，除数与商的关系：当被除数保持不变时，如果除数扩大了，商会相应地缩小，而且缩小的倍数与除数扩大的倍数是相同的。反过来，如果除数缩小了，商就会扩大，扩大的倍数也与除数缩小的倍数相同。2.除数不变，被除数与商的关系：当除数保持不变时，如果被除数扩大了，商也会跟着扩大，扩大的倍数与被除数扩大的倍数一致。相反，如果被除数缩小了，商也会跟着缩小，缩小的倍数与被除数缩小的倍数一致。3.被除数和除数同时变化：如果被除数和除数同时乘以或者除以一个相同的非零数，那么商的值保持不变。这些规律看似简单，但在实际应用中，需要我们仔细辨析，灵活运用。二、基础巩固练习题（一）填空题1.在除法算式中，如果被除数不变，除数乘5，商要（）。2.一个除法算式，除数不变，被除数除以4，商（）。3.两数相除的商是20，如果被除数和除数同时除以2，商是（）。4.已知100÷25=4，如果被除数100乘2，除数25不变，商是（）；如果被除数100不变，除数25乘2，商是（）；如果被除数100乘2，除数25也乘2，商是（）。5.两个数相除，商是15，如果被除数扩大到原来的3倍，除数不变，这时商是（）；如果除数扩大到原来的3倍，被除数不变，这时商是（）。（二）判断题（对的打“√”，错的打“×”）1.被除数和除数同时加上一个相同的数，商不变。（）2.一个除法算式，被除数乘10，除数除以10，商不变。（）3.因为60÷30=2，所以（60÷3）÷（30÷3）=2。（）4.除数不变，被除数越小，商就越小。（）5.被除数不变，除数越大，商就越大。（）（三）根据每组第一个算式的结果，直接写出下面各题的商1.180÷30=6180÷60=（）360÷30=（）360÷60=（）2.420÷70=6420÷35=（）210÷70=（）840÷140=（）三、解决问题1.一辆汽车3小时行驶了240千米，照这样的速度，6小时能行驶多少千米？（用两种方法解答，其中一种运用商的变化规律）2.某工厂原来每天生产120个零件，需要8天完成一批订单。现在客户要求提前2天完成，现在每天需要生产多少个零件？（假设工作总量不变）3.小明在计算一道除法题时，把被除数末尾的一个0漏写了，结果得到的商是20，正确的商应该是多少？四、拓展思考题1.两数相除，商是8，余数是10。如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，这时商是多少？余数是多少？2.一个除法算式中，被除数、除数、商与余数的和是100。已知商是12，余数是5，那么被除数和除数各是多少？五、答案与解析（一）填空题1.除以5（解析：被除数不变，除数乘5，商反而除以5。）2.除以4（解析：除数不变，被除数除以4，商也除以4。）3.20（解析：被除数和除数同时除以2，商不变。）4.8；2；4（解析：第一空，除数不变，被除数乘2，商也乘2，4×2=8；第二空，被除数不变，除数乘2，商除以2，4÷2=2；第三空，被除数和除数同时乘2，商不变，仍为4。）5.45；5（解析：第一空，除数不变，被除数乘3，商也乘3，15×3=45；第二空，被除数不变，除数乘3，商除以3，15÷3=5。）（二）判断题1.×（解析：商不变的规律是被除数和除数同时乘或除以相同的非零数，而不是加上。）2.×（解析：被除数乘10，除数除以10，商会乘10×10=100。）3.√（解析：被除数和除数同时除以3，商不变。）4.√（解析：除数不变，被除数与商成正比例关系，被除数越小，商越小。）5.×（解析：被除数不变，除数与商成反比例关系，除数越大，商越小。）（三）根据每组第一个算式的结果，直接写出下面各题的商1.3；12；6（解析：180÷60，除数乘2，商除以2，6÷2=3；360÷30，被除数乘2，商乘2，6×2=12；360÷60，被除数和除数同时乘2，商不变，仍为6。）2.12；3；6（解析：420÷35，除数除以2，商乘2，6×2=12；210÷70，被除数除以2，商除以2，6÷2=3；840÷140，被除数和除数同时乘2，商不变，仍为6。）（四）解决问题1.方法一（归一法）：240÷3=80（千米/小时），80×6=480（千米）。方法二（运用商的变化规律）：时间从3小时变为6小时，扩大了2倍。速度不变（即商不变），根据“除数不变，被除数扩大几倍，商也扩大几倍”的逆应用（这里路程相当于被除数，时间相当于除数，速度相当于商），时间扩大2倍，路程也应扩大2倍，240×2=480（千米）。答：6小时能行驶480千米。2.这批订单的总零件数为：120×8=960（个）。现在需要的天数：8-2=6（天）。现在每天需要生产：960÷6=160（个）。（运用规律思考：工作总量=工作效率×工作时间。总量不变，时间从8天变为6天，缩小为原来的6/8=3/4。根据“被除数不变，除数缩小，商扩大”，工作效率应扩大为原来的4/3，120×(8/6)=160。）答：现在每天需要生产160个零件。3.被除数末尾漏写一个0，相当于被除数缩小到原来的1/10。除数不变，商也缩小到原来的1/10。所以正确的商应该是20×10=200。答：正确的商应该是200。（五）拓展思考题1.根据商不变的规律，被除数和除数同时扩大到原来的10倍，商不变，还是8。但余数会跟着扩大到原来的10倍，是10×10=100。答：这时商是8，余数是100。2.设除数为x，则被除数为12x+5。根据题意：(12x+5)+x+12+5=100。化简得：13x+22=100→13x=78→x=6。被除数为：12×6+5=77。答：被除数是77，除数是6。结语商的变化规律