海南大材料科学基础课件Chapter 2-2 固体结构-晶体学基础浓缩版

材料科学基础FundamentalsofMaterialsScienceE-mail:rentong.yu@于人同博士（1）晶胞定位（用分数坐标）

原点（0,0,0）

晶胞内离原点最远的顶角点（1,1,1）即位置为（1a,1b,1c）

定位系数以晶胞的尺度来表示,

点的位置用（x,y,z）表示,（点在晶胞内,无符号,分数）

2.1.3晶向指数和晶面指数（2）晶向指数

晶向

通过晶体中任意两个结点的连线的方向，代表了晶体中

原子列的方向。

晶向指数

用晶胞各轴上投影的最低整数标明

[uvw]

表示晶向，其中uvw即晶向指数

Determinetheindicesforthedirectionshownintheaccompanyingfigure.Thisproceduremaybesummarizedasfollows:xyzProjectionsa/21b0cProjections(intermsofa,b,andc)1/2

10Reduction120EnclosureSOLUTION[120][110][110]晶向a-a在立方晶胞中画出晶向6

有些晶向在空间位向上不同，但晶向原子排列情况相同，这些晶向可归为一个晶向族，用<uvw>表示。如<111>晶向族包括[111]、[T11]、[1T1]、[11T]、[TT1]、[1TT]、[T1T]、[TTT]同一晶向族中晶向上原子排列因对称关系而等同

晶体中同一晶向的阵点直线系列称为晶列。

〈uvw〉表示晶向族，代表原子密度相同(等价)的所有晶向

方向可不同，如立方晶体中：〈100〉包括[100],[100],[010],[010],[001],[001].一个晶向代表了一系列相互平行的阵点构成的直线8<110>=?<110>=[110]+[101]+[011]+[T10]+[1T0]+[T01]+[10T]+[0T1]+[01T]+[TT0]+[T0T]+[0TT]9晶向族:任意交换指数的位置和改变符号后的所有指数。<111>=?<111>=[111]+[11]+[11]+[11]＋[TT1]＋[1TT]＋[T1T]＋[TTT]

（3）晶面指数

晶面：晶体结构中不在同一直线上任三个阵点所构成的

平面，代表了晶体中原子面的方向。

晶面组：晶体所有阵点被划成平行等距的一组晶面。如何表示晶面？晶面指数：用（hkl）表示

是晶面在三个晶轴上的截距倒数。截距用晶格常数a，b，c的倍数r，s，t表示即：h:k:l=1/r:1/s:1/t，最小整数晶面指数（hkl）常称密勒指数（MillerIndices）1.选取原点,x、y、z轴晶面指数如何来确定？1.为避免0截距，原点在晶面外；

2.晶面与晶轴平行，截距为∞，

该指数为零；

3.截负端时，上加横线；

4.截距越大、指数越小。xzy2.写出截距，避免0截距

3323.取截距的倒数

3321/31/31/24.倒数通分后去分母2/62/63/6（223）注确定如图所示的晶面指数SOLUTIONThesestepsarebrieflysummarizedbelow:xyzIntercepts∞a-bc/2Reciprocals0-12Reductions(unnecessary)Intercepts(intermsoflatticeparameters)∞-11/2Enclosure(012)在立方晶胞中画出米勒指数为的晶面(011)[011]取倒数[

11]找截距X轴平行，Y轴为-1，Z轴为1，做图

立方晶系中：相同指数（指数和符号均相同）的晶向和晶面互相垂直，即同指数的晶向是晶面的法线方向。如：[111]⊥（111）、[110]⊥（110）、[100]⊥（100）。该规律适用于三根晶轴相互垂直时，如果三轴不相互垂直，则(hkl)与[hkl]不垂直。

晶面（hkl）的法线与晶向[hkl]的方向平行，这就是晶面指数的几何意义。

（100）与［100］？有何关系？晶面族：

在晶体内凡晶面间距和晶面上原子排列分布情况完全相同，只是空间位向不同的一组晶面的集合称为晶面族。晶面族用{hkl}表示,代表原子排列相同（晶面方位不同）的所有晶面。对立方晶体：

A．{100}3组

B．{111}4组

C．{110}6组

晶面族表示方法：用{hkl}表示。它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。如{100}包括(100)、(010)、(001)、(T00)、(0T0)、(00T)。Total:12{hkl}晶面族：等价晶面晶面族：任意交换指数的位置和改变符号后的所有结果。晶面族中等价晶面的个数用于多晶x射线衍射中多重性因子的表示。立方晶系晶体acb六方晶系的晶向指数和晶面指数同样可以应用上述三轴方法标定，这时取a1，a2（b），c为晶轴，而a1轴与a2轴的夹角为120度，c轴与a1，a2轴相垂直。但这种三轴方法标定的晶面指数和晶向指数，不能完全显示六方晶系的对称性。用三个指数表示晶面和晶向，晶体学上等价的晶面和晶向不具有类似的指数。(4)六方晶系的晶向和晶面指数六方晶系晶面指数标定根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120度，这样，其晶面指数就以(hkil）四个指数来表示晶面指数(hkil)四个指数来表示确定步骤方法同立方晶系一样，(hkil)为在四个坐标轴的截距系数倒数的化简。底面指数为(0001)六方晶系晶面指数

可以证明:i≡－(h＋k)根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系：i

＝－(h+k)a3＝一(a1+a2)(1)平移晶向(或坐标)，让原点为晶向上一点，取另一点的坐标;(2)必须满足u+v+t＝0，或t=－(u+v)。标定方法：晶向指数[uvtw]四个指数来表示25(3)化成最小、整数比u：v：t：w(4)放在方括号中[uvtw]，不加逗号，负号记在上方(5)晶面间距(dhkl)

晶面组中最近两晶面间的距离叫晶面间距

晶面指数低，面上具有较高的原子密度，间距大、作用力弱。

a

立方晶体

dhkl=

h2+k2+l2

a为点阵常数晶面距公式

使用X-射线衍射（X-rayDiffraction）结果

通过布拉格定律（Bragg’sLaw），可测定晶面间距：

nλ=2dsinθ=MH’’P

（光程差）

n=1，2，3……为衍射级数；λ为波长；θ为衍射角晶体的对称元素

对称：相同部分有规律重复生长良好的晶体外形常有某些对称性2.1.4晶体的对称性对称图形：经不改变其任两点间距离的操作

而能完全复原的图形。

对称操作：能使图形自身重合复原的操作。

对称元素：一组操作中不动的点、线、面。

a.

对称中心（点）——反演（倒反）操作

欧几里得几何中,点

X

关于一个点

P

的反演是点

X*使得

P

是以

X

和

X*为端点的线段的中点。

Ⅰ宏观对称元素

b.

旋转轴

——旋转操作,可旋360o/n

n（轴次）:仅1，2，3，4，61611年，德国天文学家Kepler在一本晶体学论著《圣诞节的礼物——六方形雪》中提出：为什么天上不飘落五角和七角的雪花？这一问题过了200年才由法国结晶学家Bravais解决。

c.

镜面——反映操作

d.反轴——旋转反演操作（旋转与反演的复合）

e.平移对称——点阵(Lattice)——平移操作以连接图形中任何两点的矢量进行平移，图形能复原。f.滑移面——平（滑）移反映操作（反映与平移的复合）滑移量受点阵限制2ttMtⅡ微观对称元素g.

螺旋轴——旋转平移操作（旋转与平移的复合）滑移量受点阵限制，轴次同旋转轴。L（180°）t2.1.5

极射投影面角守恒定律晶体的球面投影及其坐标极射赤平投影和乌尔夫网(Wulffnet)乌尔夫网应用举例晶体的投影面角守恒定律

晶体能够自发地形成规则几何多面体外形，但实际晶体在生长过程中，往往由于外界客观环境的影响，造成形态上发生不同程度的畸变，从而形成歪晶正是由于这种原因，致使人们在长远的历史年代里，未能掌握晶体形态的规律

直至1669年，丹麦学者斯丹诺（N.Steno）对石英（SiO2）和赤铁矿（Fe2O3）晶体的研究，发现同种矿物的各个晶体大小和形态虽然不同，但它们对应晶面间的夹角是守恒的。提出了面角守恒定律（lawofconstancyofangles），即：“同种矿物的晶体，其对应晶面间的角度守恒。”石英晶体

面角守恒定律（lawofconstancyofangles）的发现，为结晶学的发展起了颇为深远的作用，为几何结晶学一系列规律的研究打下了基础，并给晶体内部结构的探索以有益的启发。由此也可以看出，对晶体的研究最初是以测量晶面夹角（即晶体测量）开始的。晶体测角(crystalgoniometry)晶体的球面投影(Sphericalprojection)以晶体的中心为球心，任意长为半径（远远大于晶体尺寸）作一球面；然后从球心出发（注意：不是从每个晶面本身的中心出发），引每一晶面的法线，延长后各自交球面于一点，这些点便是相应晶面的球面投影点（晶面极点）每一晶面法线与球面交于2点，一点南半球，一点北半球仍然是3维。球面坐标类似于地球的经纬度(计数方法有差异，没有南北纬和东西经)(纬度，经度)方