求导公式-方法

04五月20261一、反函数的导数定理例1解函数y=ax的反函数为x=logay，又§3.3求导公式与求导方法即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.04五月20262例2解同理可得04五月20263二、基本导数公式04五月20264三、复合函数求导

定理(链式法则)

若函数u=g(x)在x=x0可导，y=f(u)在u0=g(x0)可导，则复合函数y=f[g(x)]在x=x0可导，且即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)04五月20265

当所针对的函数由三个以上的函数复合而成时也有类似结果，例如对三个函数y=f(u)、u=g(v)、v=h(x)复合而成的函数y=f{g[h(x)]}，有

应用时，首先把函数进行“分解”，由外到里写成几个基本初等函数复合而成的形式(注意一定要“分解”得彻底，保证最后写出的函数都是基本初等函数)，然后按照链式法则逐个求导。注意最后要把u、v换回x04五月20266例1求函数y=sinex在x=x0处的导数。解函数y=sinex由基本函数y=sinu和u=ex复合而成，又因此有例2解练习答案04五月20267例3解例4解04五月20268例5解题中函数由y=eu、u=sinv、v=1/x复合而成，又练习答案则熟练以后，可以不写出中间变量，直接求导。04五月20269例设f(u)可导，求y=f(ex)ef(x)的导数。解练习设f(u)可导，求y=f{f[f(x)]}的导数。答案注意先求导后代入先代入后求导04五月202610求导数04五月202611§3.4高阶导数与隐函数求导一、高阶导数

我们知道，速度v是位移函数s(t)的导数：v=s′(t)。设初始时刻t0的速度为v0，末时刻t的速度为v，则从t0到t的(平均)加速度为

这是对位移函数s(t)的导数v=s′(t)再求导数，我们称之为二阶导数。一般地，我们可以定义n阶导数。若要求在t0时刻的瞬时加速度，则需令t→t0对此式求极限：04五月202612定义为f(x)在x0处的二阶导数，记为上的函数，称为二阶导函数，简称二阶导数。的三阶导数，称为f(x)的四阶导数，······04五月202613定义设函数f(x)的n-1阶导数存在且可导，则称其导数f(x)的n阶导数，记为

二阶和二阶以上的导数称为高阶导数，若f(x)的n阶导数存在，则称f(x)n阶可导。由定义可以看出，求n阶导数就是进行n次求导运算，有时需要化简、归纳。例答案04五月202614练习答案例定理(Leibniz公式)计算过程对两个函数乘积的n阶导数的计算，可以利用Leibniz公式。04五月202615二、隐函数求导

用导数讨论变量的变化率时，有时变量间的关系很难甚至不能用y=f(x)的形式表示，这时应尽量用其他形式揭示变量的关系。其中一种是用方程确定。定义设Φ(x,y)=0为含有两个未知数的方程，若有函数y=f(x)使Φ(x,f(x))≡0，x∈Df，则称y=f(x)为由Φ(x,y)=0确定的隐函数。

y=f(x)形式的函数称为显函数。将隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化。

注⑴一个二元方程可能确定一个或多个隐函数；⑵并非每一个隐函数都可以显化。事实上，大部分隐函数都不能显化，这时，一般考虑用导数讨论其性质。04五月202616

y=f(x)是由方程Φ(x,y)=0确定的隐函数。即有Φ(x,f(x))=0两边对x求导得到x、f(x)和f’(x)的等式，从其中解出f’(x)(用x、f(x)表示)。实际计算时，一般把f(x)和f’(x)写成y和y’。如对方程y=x+ex+y确定的隐函数y=f(x)，对

f(x)

=x+ex+f(x)两边对x求导得

f’(x)=1+ex+f(x)[1+f’(x)]从中可求得隐函数求导方法：04五月202617例1求由2y-x=(x-y)ln(x-y)所确定的隐函数y=f(x)的导数。答案对2y-x=(x-y)ln(x-y)两边关于x求导得：整理得计算时，一定要注意y是x的函数，遇到y就会出现y’。例204五月202618练习答案计算时，一定要注意y是x的函数，遇到y就会出现y’。解解得04五月202619练习二阶导数。

对隐函数求高阶导数时，即对上面求得的导数再求导数。由于隐函数的导数的表达式中一般同时含有自变量x和因变量y，因此再次(关于x)求导时也会遇到y，这时仍要把y看作x的函数。也就是说求二阶导数时，右边会出现y’

，然后把一阶导数的表达式代入。计算过程04五月202620三、对数求导法

定义形如[f(x)]g(x)的函数称为幂指函数。对幂指函数的求导，一般有两种方法，一种是先化简：y=[f(x)]g(x)=eg(x)lnf(x)，再利用四则运算法则和复合函数求导法计算；另一种方法是用所谓的对数求导法。

定义先对函数表达式两边求对数，再两边求导以求函数的导数的方法，称为对数求导法。对数求导法主要利用对数的性质，一般适用于以下情形下的求导：①求幂指函数的导数；②求多个函数积或商的导数。

例