河工大材料力学教案附录I 平面图形的几何性质

附录I平面图形的几何性质§I-1静矩和形心§I-2惯性矩和惯性半径§I-3惯性积§I-4平行移轴公式§I-5转轴公式与主惯性轴§I-1静矩和形心静矩定义：（1）静矩是对坐标而言的，同一图形对不同坐标轴静矩不同（面积对轴的一次矩）。（2）静矩可正值，可为负，亦可为零。（3）量纲为长度的三次方。2．形心坐标计算公式（1）合力矩定理——合力对某轴之矩，等于其各分对同一轴力矩的代数和。（2）静面矩定理——总面积对某轴之矩，等于其各分面积对同一轴之矩的代数和。（3）若某轴过形心，则图对该轴静矩为零。反之若图形对某轴静为零，则该轴过形心。Example试用积分法求图示图形对y轴的静矩Sy，并求形心坐标。Solution以y、z为参考坐标轴① ② 3．组合图形静矩计算及形心坐标确定。组合图形：有若干简单图形（如矩形、圆形、三角形）组成平面图形。（2）静矩定理：整个图形对某轴之静矩等于组合图形各组成部分面积对该轴之矩的代数和。Example1试求图形形心坐标Solution以y、z为参考坐标系，因为形心一定在对称轴上，故Example2求组合图形的形心坐标，Given[No.18aA1=25.7cm2[No.990×90×10 A2=17.2cm2Solution：以yz作为参考坐标轴§I-2惯性矩和惯性半径1．定义（1）惯性矩恒为正值（2）量纲为长度的四次方力学计算中，有时把惯性矩写成图形面积A与某一长度二次方的乘积，即2．惯性半径iy为图形对y轴的惯性半径iz为图形对z轴的惯性关径（2）量纲为长度。3．惯性矩与极惯性矩的关系（1）极惯性矩：（2） 4．组合图形惯性矩的计算当平面图形由若干个简单图形组成时，根据惯性矩的定义，可以先算出每个简单图形对某一轴的惯性矩，然后求其总和即整个图形对同一轴的惯性矩。Example1试计算图形对y、z轴的惯性矩Soution（1） （2） Example2试计算图形对y、z轴的惯性矩Soution：（1）利用惯性矩与极惯性矩的关系（2）Example3试计算空心圆图形对y、z轴的惯性矩Soution：利用组合图形计算惯性的方法§I-3惯性积1．定义：（1）由于yz乘积可正、可负、可为零，因此惯性积Iyz值可正、可负、可为零。（2）量纲为长度的四次方。（3）y、z轴中只要有一轴为对称轴，则Iyz=02．证明Iyz=0的条件证：如在z轴两侧的对称位置各取一微分面积dA，显然二者的z坐标相同，而y坐标数值相等而符号相反，它们在积分中相互抵消，最后导致§I-4平行移轴公式1．证明：证：（1） （2） （3）坐标变换关系 （4）∴ 注意：a、b是形心C在oyz坐标中的坐标，所以它们是有正负的。Example试确定T形截面对形心yc轴的IycSolution:§I-5转轴公式与主惯性轴1．转轴公式（1） （2）约定逆时针转向为正、顺为负（3）求：（4）坐标变换关系（5）利用三角恒等式讨论：（1）Iy1、Iz1、Iy1z皆为α的函数（2）注意α逆为正，顺为负（3）Iy1+Iz1=Iy+Iz=Ip=const2．主惯性轴（1）求极值若时，能使即则讨论：a.由上式可确定α0与α0+90°两个角度，从而确定一对坐标轴y0、z0图形对一对轴中一个轴的惯性矩为最大值Imax，而对另一个轴的惯性矩为最小值Imin。b.注意到恰好是Iy0z0=0说明图形对y0，z0这一对轴的惯性积为，这一对轴y0，z0称为主惯性轴。c.对y0，z0主惯性轴的惯性矩Iy0、Izo称为主惯性矩。d.推论：对称轴一定是主轴。因为图形对包含对称轴的一对坐标轴的惯性必然为零。3．主惯性矩的计算（1）由公式求得α0，α0+90°，代入一般公式得：或（2）简便公式代入（*）式得（3）Imax，Imin与y0、z0轴如何对应,可采用:Iyz>0，则Imax对应于二、四相限的轴。4．形心主惯性轴，形心主惯性矩，形心主惯性平面。（1）通过形心C的主惯性轴称为形心主惯性轴。（2）图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。（3）如要平面图形是杆件的横截面，则截面的形心主惯性轴与杆件轴线所确定的平面称为形心主惯性平面。在杆件的弯曲理论中有重要意义。Example试求图形的形心主惯性轴和形心主惯性矩Solti