【《矩阵初等变换的若干应用研究》6700字（论文）】

矩阵初等变换的若干应用研究TOC\o"1-2"\h\u26569摘要 I276961引言 1261182预备知识 1262943矩阵初等变换的若干应用 277413.1求整数的最大公因数 2323423.2求整数的商与余数 5285923.3求多项式的最大公因式 5137273.4求多项式的商与余式 12268963.5判断多项式有无重因式 1313923.6判断多项式有无重根 14309513.7化二次型为标准型 15160474结束语 1924316参考文献 20摘要矩阵的初等变换是矩阵的一个十分重要的内容,它在求矩阵的秩、矩阵的逆、解方程组、判定多项式有无重因式或重根等方面都起着至关重要的作用.本文对矩阵初等变换的应用进行了讨论,通过举例分析了矩阵初等变换在整数、多项式以及二次型标准化方面的应用,为后续高等代数的学习奠定基础.关键词：矩阵；初等变换；整数；多项式；二次型标准化1引言高等代数作为一门重要基础课程,是师范类院校和综合性大学针对数学专业学生专门开设的必修课程,而在高等代数的所有必修内容中,矩阵的初等变换这一知识占据着重要的地位,是学生在学习高等代数的过程中重要且关键的工具,矩阵初等变换的这一思想始终贯穿于高等代数的学习过程,在矩阵的理论研究方面属于重中之重.在国外,英国数学家西尔维斯特创造的“矩阵”这一专业术语,是为了能将数字的矩形阵列区别于行列式.在行列式的发展中,确立了矩阵的许多性质.在矩阵理论的发展过程中,矩阵初等变换的定义也随之被确定.矩阵的初等变换这一关键知识在求解线性方程组以及求逆矩阵等问题上发挥了巨大的作用,而国内外学者关于矩阵初等变换在高等代数中的应用的相关探讨仍在继续.近年来,国内有很多有关于矩阵初等变换及其应用的研究论文、学术论文,从思想和相关研究中涉及了高等代数中诸多领域的知识.文[1]和文[3]介绍了高等代数的相关知识；文[2]则根据初等变换和初等矩阵的基本性质推出引理；文[4]利用了矩阵初等行变换,求出了数域上的多项式的最大公因式,构建了多行矩阵表示式与多项式的系数之间的对应关系；文[5]将矩阵的初等变换作为基础的理论工具,将它应用于求整数和多项式的最大公因式；文[6]利用矩阵初等变换的某些性质,在带余除法中求出了商和余式,解决了求两个或多个多项式的最大公因式以及判定一个多项式有无重因式的问题；文[7]在求解多项式的最大公因式、多项式的根、判断多项式的整除性以及判断多项式有无重因式等问题时应用了矩阵初等变换的思想；文[8]主要探讨了在高等代数中,当出现关于求矩阵的秩、矩阵的逆、线性方程组的解、二次型标准化和标准正交基等方面的问题时应怎样使用矩阵的初等变换求解,并针对矩阵初等变换的教学作出了论述.研究矩阵初等变换的若干应用,学者可以找到解决高等代数相关问题的更多解法,使得数学专业或其他专业需要学习线性代数的学生能更好地加深对于矩阵的理解,从而对矩阵进行应用,促使学生的整个知识体系得以系统化.与此同时,在前人研究的基础上进行归纳总结,学生能够进一步理解和掌握高等代数相关知识,为深入了解和学习高等代数以及矩阵奠定基础,在研究过程中重新剖析问题的本质并进行更加深度地思考,对相关数学问题进行推广引申,提高思维灵活性.2预备知识定义1REF_Ref6816\r\h[1]矩阵的行（列）初等变换是指下列三种变换:交换矩阵的两行（列）;用一个非零的数乘矩阵的某一行（列）;用一个数乘矩阵的某一行（列）加到另一行（列）.矩阵的初等变换就是上述三种行（列）初等变换的统称.当一个矩阵经过了初等变换,变成矩阵时,写成.矩阵的行（列）初等变换也称为初等行（列）变换.初等矩阵是由单位矩阵通过一次初等变换得到的矩阵.并且记是的第行乘得到的矩阵（称第一类初等矩阵）,是的第行的倍加到第行得到的矩阵（称第二类初等矩阵）,是通过交换第,行得到的矩阵（称第三类初等矩阵）.引理1REF_Ref6816\r\h[1]在矩阵的左边乘以一个相应的初等矩阵,即对施行一次初等行变换；在矩阵的右边乘以一个相应的初等矩阵,即对矩阵施行一次初等列变换.上述的三种初等变换并不是互不相关的,实际上我们可以有如下结论.引理2REF_Ref7028\r\h[2]第一、二类初等矩阵的乘积可以被表示为第三类初等矩阵,或者说,对某一矩阵实行第三种初等行（列）变换相当于对这一矩阵实行若干次的第一类和第二类初等行（列）变换.3矩阵初等变换的若干应用3.1求整数的最大公因数定义2REF_Ref7028\r\h[3]设,则矩阵被称为整数矩阵当且仅当为整数.定义3REF_Ref7028\r\h[3]矩阵的整数行（列）变换可以表现为下面三种矩阵变换:（1）交换的两行（列）;（2）用±1乘以某一行（列）;（3）某一行（列）乘以整数加到另一行（列）上.定理1REF_Ref7368\r\h[4]设,则存在整数矩阵,且,使得,其中,例1已知,,求最大公因数和最小公倍数.解构造矩阵,并对其实施初等变换:所以,最大公因数为,最小公倍数为.定理2REF_Ref7028\r\h[3]设是个不全为0的整数,他们的最大公因数,则存在可逆矩阵使得.因此由定理2可知:要求出的最大公因数,只需要在矩阵的右方添加一个阶单位矩阵,构成一个阶的矩阵,再对实施初等行变换,直到它的第一行化为,则其右方单位矩阵便被化成了可逆矩阵,即例2已知,,,求,,的最大公因数.解构造矩阵,并对其实施初等行变换:所以有.例3已知,,,,求,,,的最大公因数.解构造矩阵,并对其实施初等行变换:所以有.根据曾经学习过的知识,我们可以知道,提取公因数法和辗转相除法都是求整数的最大公因数的方法.但是,在应用提取公因数法求整数的最大公因数时,运算量相对较大.在应用辗转相除法求整数的最大公因数时,每一个步骤都只能求出其中两个整数的最大公因数,然后再将求得的数继续和第三个整数继续运用辗转相除法求它们的最大公因数.如此循环往复,若是要求出个整数的最大公因数,就需要进行次的运算,运算量极大,步骤过于繁杂,求出最终结果的过程较为困难.因此,利用矩阵的初等变换可以很好地解决以上方法的缺点,条理清楚、思路清晰且运算简单.3.2求整数的商与余数若整数不能整除整数,则有,其中是除的商,是除的余数.反之,在数域中一定存在数和使得.若令乘再加到上可得,则该过程本质上运用了初等变换的思想,即:.或.例4已知,,求商数与余数.解利用矩阵初等行变换的方法可得:故,.例5已知,求商数与余数.解利用矩阵初等列变换的方法可得:.故,.运用初等变换的方法求整数的商与余数,其实就是将简单的除法算数转化为矩阵的表达方式,此种方法可以使得运算过程及运算结果看起来清晰明了,而且解答步骤简单便捷,体现了数学的简洁性.3.3求多项式的最大公因式在高等代数中,求解多项式的最大公因式,我们通常会应用到辗转相除法,但是在应用该方法解题时会比较麻烦,也比较容易造成错误,并且当多项式次数较高时,计算更加繁琐复杂.因此,应用矩阵的初等变换来求多项式的最大公因式则更加方便,而且不容易出现计算错误的问题.定理3REF_Ref15901\r\h[5]设数域上有两个多项式:其中,,;当时,令;当时,令;则多项式,的最大公因式具有以下三个基本性质:（1）;（2）若,则;（3）;因此,根据多项式,的最大公因式的基本性质,可以有如下事实:（1）将二行系数矩阵第一行与第二行的位置进行交换后,所得到的矩阵仍然对应着这两个多项式的最大公因式.（2）当时,我们有,因此,.当时有.左右平行移动二行系数矩阵中的任意一行,用零补齐平移后二行系数矩阵中相对应的空位,通过这一个步骤所得到的二行系数矩阵,仍然对应于这两个多项式的最大公因式,即多项式的最大公因式不会因为它进行了平行移位而发生改变.特别地,当为非零常数时,有,因此,当所要求解的二行系数矩阵中的任意一行在乘以某一个非零常数后,得到的二行系数矩阵仍然对应着这两个多项式的最大公因式.（3）使二行系数矩阵的某一行加上另一行的倍之后,所得到的二行系数矩阵仍然对应着这两个多项式的最大公因式,即多项式最大公因式不会因为它进行加减运算而发生改变.上述事实表明：可以利用二行系数矩阵,对其进行初等行变换以求出数域上的多项式,的最大公因式,具体操作步骤如下所述:（1）根据已知多项式的系数,作出多项式的最大公因式所对应的二行系数矩阵;（2）利用矩阵的初等行变换,使得二行系数矩阵中的任意一行（或两行）出现端首（左端或右端）为0;（3）向左（或向右）平移二行系数矩阵中出现端首为0的某一行,去掉这一行端首的0,再在该行另一端的端首加上0,以此保持上下两行的矩阵元素个数相等.（我们约定：在本小节例子中,计算过程中非最后一步化简的“→”均表示矩阵的某一行向左（或向右）平移,去掉端首的0,再在另一端首加上0）.重复使用步骤（1）（2）（3）,当二行系数矩阵的两个元素等比例时,则可得到相应的公因式.若二行系数矩阵中的其中一行全为0,而另一行不全为0,那么可以说明这两个多项式互素.例4设,,求与的最大公因式.解作二行系数矩阵,并对其实施初等变换:所以有.由此,当扩展至要求个多项式的最大公因式时,我们可以作出相应的行矩阵,再按照上述步骤进行求解即可.例5求,,的最大公因式.解作三行系数矩阵,并对其实施初等变换:所以有.例6求,,和的最大公因式.解作四行系数矩阵,并对其实施初等变换:所以有.定理4REF_Ref7290\r\h[6]设,是数域中的任意两个多项式,若存在一个最大公因式,记为,且可以表示成多项式,的一个组合,即存在任意和是中的多项式,使得.如此,便可以构造函数的系数矩阵并进行初等行（列）变换:或若是题目只要求求出两个多项式的最大公因式,而不需要求出和,则可以构造更为简洁的系数矩阵,通过初等行（列）变换求得最大公因式,即:或上述情况针对的是两个多项式的情形,如果碰到有多个多项式的情形,我们也可以得到类似的结论.定理5REF_Ref7290\r\h[6]设是数域中的任意个多项式,若存在一个最大公因式,记为,且可以表示成多项式的一个组合,即存在任意是中的多项式,使得.如此,便可以构造函数的系数矩阵并进行初等行（列）变换:或若题目只要求求出任意个多项式的最大公因式,而不需要求出,则可以构造更为简洁的系数矩阵,通过初等行（列）变换求得最大公因式,即:或例7运用定理4的方法求解例4.解由已知,构造多项式矩阵得:所以有.例8运用定理5的方法求解例5.解由已知,构造多项式矩阵得:所以有.例9运用定理5的方法求解例6.解由已知,构造多项式矩阵得:所以有.通过上述几个例子,我们可以知道,运用矩阵的初等变换方法来解决多项式的最大公因式问题,能够让学者在解题过程中更深刻地理解矩阵知识在数学中的应用,进一步增强高等代数前后知识的联系,学者还可以加深对抽象数学符号背后的实际背景的了解,发展了学生的数感,也提升了学生的数感水平.除此之外,如果题目要求求出多个多项式的最大公因式,利用初等变换的方法能够更加快速地得出答案,而不需要先求两个多项式的最大公因式,再将得到的结果与第三个多项式放在一起求出它们的最大公因式,以此类推,经过多重计算才能得到结果,解答过程过于繁琐.3.4求多项式的商与余式在高等代数中,通常用带余除法来求解多项式的商和余式.带余除法定理是指对于数域中的任意两个多项式与,其中,一定存在中的多项式与,使得成立,其中或,并且对于这样的,是唯一的,其中通常称为除的商,称为除的余式REF_Ref26777\r\h[7].若令乘上,再加到上,可以得到,不难看出该过程本质上是运用了初等变换的思想,即:.例10设,,求用除所得的商和余式.解根据已知构造矩阵得:所以有,.相比较于带余除法,我们在运用矩阵的初等变换法来求多项式的商与余式时,能够更加的简单和便捷,与此同时,运算过程也会相对更加的清晰和明了.但是,我们在进行矩阵的初等行（列）变换的过程中,需要时刻注意计算的准确性,要避免因为某个符号或数字的错误而导致在简单的四则运算中出现计算错误的情况.3.5判断多项式有无重因式定理6REF_Ref7028\r\h[3]若的重因式为不可约多项式,则是的导数的重因式.定理7REF_Ref28341\r\h[8]数域上的一元多项式的重因式是不可约多项式的充分必要条件为是与的公因式.定理8REF_Ref28341\r\h[8]数域上的一元多项式没有重因式的充分必要条件为与互素,即.定理9REF_Ref7028\r\h[3]数域上的不可约多项式是一元多项式的重因式的充分必要条件为是的重因式.根据上述四个定理可知,如果要想判断一元多项式是否有重因式,只需要判断与的最大公因式是否为次数大于等于1的多项式即可.例11判断有无重因式.解由已知可得：,利用矩阵初等变换求最大公因式的方法求出与的最大公因式,即:所以,,即存在重因式.再由定理8可知,是的2重因式.例12判断有无重因式.解由已知可得：,则求与的最大公因式,有:所以,与无最大公因式,则没有重因式.综上所述,要求出一元多项式的重因式,只需要将进行分解,将的标准分解式写出即可.但是对于较复杂的多项式,无法简单地进行因式分解而求得重因式,因此利用矩阵的初等变换将多项式分解成不可约因式的乘积从而求出一元多项式的重因式能够很好地解决一些复杂的问题,且该方法简单易懂、容易操作,但在运算时需要确保准确性,以免出现计算上的错误.3.6判断多项式有无重根定义4REF_Ref6816\r\h[1]若是的一个重因式,即有,但∤,则有是的一个重根.例13判断有无重根.解由例8已知存在重因式,且是的2重因式.进一步可知存在重根,其重根为.例14判断有无重根.解由题意可得：,利用矩阵初等变换求最大公因式的方法求出与的最大公因式,即:所以,,即存在重因式.再由定理8可知,是的3重因式.则存在重根,重数为3.如果能够判断出一元多项式存在重因式和重根,那么我们可以根据得出的因式分解（与有完全相同的不可约因式,且的因式为单因式）.如在例14中,根据带余除法或者矩阵的初等变换法得到,则.由此我们可以得出,要判断多项式有无重根最重要的步骤就是要先判断多项式有无重因式,根据3.5节的内容先把多项式的重因式通过矩阵的初等变换法求出,如果存在重因式,则多项式有重根;如果不存在重因式,则多项式没有重根.3.7化二次型为标准型定理10REF_Ref6816\r\h[1]数域上以为矩阵的元二次型,经过非退化线性替换后得到以为矩阵的二次型,则.定理11REF_Ref6816\r\h[1]数域上任意一个元二次型都可以经过一个非退化的线性替换化成平方和的形式,它称为二次型的标准型.定理12REF_Ref6816\r\h[1]数域上每一个阶对称矩阵都与一个对角矩阵合同,即总存在上一个阶非退化矩阵,使得.故根据定理9、定理10和定理11,可以得到化二次型矩阵为标准型矩阵的初等变换法.引理3REF_Ref6816\r\h[1]假定为一个初等矩阵,有（1）若,有.此时,把的第行乘,得到,再把此矩阵的第列乘,即得到;（2）若,有.此时,把的第行与第行互换,得到,再把的第列与第列互换,即得到;（3）若,有.此时,把的第行的倍加到第行,得到,再将的第列的倍加到第列,即得到.例15将二次型化为标准型.解令其中为线性替换矩阵,所作出的非退化线性替换为即则二次型的标准型为需要特别注意的是,由于变换过程中进行的是合同变换,因此行初等变换和列初等变换必须同时使用.例16将二次型化为标准型.解令,其中为线性替换矩阵,所作出的非退化线性替换为,即则二次型的标准型为综上可知,对于不太复杂的二次型,我们在求它相应的标准型时,可以灵活地运用矩阵的初等变换方法进行求解.此时,运算过程会更加的简洁、更加的方便,同时节约了运算时间,也相应地减少了运算量.4结束语本篇论文以矩阵初等变换的定义和引理为基础,展开探讨了矩阵初等变换的若干应用,主要包括求整数的最大公因数、求多项式的最大公因式、求多项式的商和余式、判定多项式有无重因式、判定多项式有无重根和化二次型为标准型,