北师大版八年级数学下册第1章《三角形的证明》培优试题与简答

北师大版八年级数学下册第1章《三角形的证明》培优试题与简答三角形的证明是平面几何的入门与基石，对逻辑推理能力的培养至关重要。本章内容不仅要求我们掌握等腰三角形、直角三角形等基本图形的性质与判定，更要求能运用这些知识进行严谨的逻辑论证。下面这份培优试题，旨在帮助同学们巩固基础，提升综合运用能力，挑战思维极限。一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）1.已知一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A.13B.17C.13或17D.10或172.到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的（）A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三条边的垂直平分线的交点3.下列命题中，逆命题是真命题的是（）A.对顶角相等B.全等三角形的对应角相等C.若a=b，则a²=b²D.直角三角形两锐角互余4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若CD=3，AB=10，则△ABD的面积为（）A.15B.30C.20D.10（注：此处原题应有图，描述为：直角三角形ABC，直角顶点C，AD是角平分线交BC于D）5.用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，应先假设（）A.三角形中有一个内角小于60°B.三角形中有一个内角等于60°C.三角形中三个内角都大于60°D.三角形中三个内角都小于或等于60°6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则图中等腰三角形共有（）A.3个B.4个C.5个D.6个（注：此处原题应有图，描述为：等腰三角形ABC，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，CE平分∠ACB交AB于E，BD与CE交于一点）二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）7.命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是________________________。8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，若AB=8，则CD的长为______。（注：此处原题应有图，描述为：直角三角形ABC，直角顶点C，D为斜边AB中点）9.已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足(a-5)²+|b-12|+√(c-13)=0，则△ABC是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）。10.如图，∠AOB=30°，点P在OA上，且OP=6，点M、N分别是OA、OB上的动点，则△PMN周长的最小值是______。（注：此处原题应有图，描述为：∠AOB=30°，点P在射线OA上，M在OA上，N在OB上，均为动点）三、解答题（共5小题，共60分）11.（10分）已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。（注：此处原题应有图，描述为：△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且AD=AE，D在E左侧）12.（12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E。（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若AB=6，求△DEB的周长。（注：此处原题应有图，描述为：等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC，AD为∠CAB的平分线，DE⊥AB于E）13.（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的中线，且BD=BE，求∠AED的度数。（注：此处原题应有图，描述为：等腰三角形ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD是底边BC的中线，延长AB到E，使BE=BD，连接ED）14.（13分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F。（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）若AB=BC+AD，求证：BE⊥AF。（注：此处原题应有图，描述为：梯形ABCD，AD平行于BC，E为腰CD中点，AE延长线交BC延长线于F）15.（13分）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是直线AB上一点（不与点A、B重合），连接CD，过点C作CE⊥CD，且CE=CD，连接DE、BE。（1）当点D在线段AB上时，如图1，求证：AD=BE，且AD⊥BE；（2）当点D在AB的延长线上时，如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由。（注：此处原题应有图1和图2，图1：D在线段AB上；图2：D在AB延长线上，均有CE⊥CD且CE=CD，连接BE）---简答一、选择题1.B（提示：需考虑三角形三边关系，3不能为腰长）2.D3.D（提示：A的逆命题“相等的角是对顶角”为假；B的逆命题“对应角相等的三角形全等”为假；C的逆命题“若a²=b²，则a=b”为假）4.A（提示：过D作DE⊥AB于E，则DE=CD=3，面积为10×3÷2=15）5.C6.D（提示：△ABC,△ABD,△ACE,△BEC,△BDC,△BED等，需仔细辨认）二、填空题7.有两个角相等的三角形是等腰三角形8.4（提示：直角三角形斜边中线等于斜边一半）9.直角（提示：a=5,b=12,c=13，满足5²+12²=13²）10.6（提示：作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA、OB于M、N，△PMN周长最小为P1P2的长，易证OP1=OP2=OP=6，∠P1OP2=60°，故△P1OP2为等边三角形，P1P2=6）三、解答题11.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C。∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED。∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴BD=CE。12.（1）证明：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，∠DEA=∠C=90°。在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，CD=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）。（2）解：由（1）知△ACD≌△AED，∴AC=AE，CD=DE。∵AC=BC，∴BC=AE。△DEB的周长=DE+EB+BD=CD+EB+BD=BC+EB=AE+EB=AB=6。13.解：∵AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=60°，∠B=∠C=30°。∴∠ABD=30°。∵BD=BE，∴∠BDE=∠BED。∵∠ABD=∠BDE+∠BED，∴∠BED=(180°-30°)/2=75°。∴∠AED=180°-∠BED=105°。14.（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF。∵E是CD的中点，∴DE=CE。在△ADE和△FCE中，∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，DE=CE，∴△ADE≌△FCE（AAS）。（2）证明：由（1）知△ADE≌△FCE，∴AD=FC，AE=FE。∵AB=BC+AD，∴AB=BC+FC=BF。在△ABF中，AB=BF，AE=FE，∴BE⊥AF（等腰三角形三线合一）。15.（1）证明：∵∠ACB=90°，CE⊥CD，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCE+∠BCD=90°。∴∠ACD=∠BCE。在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）。∴AD=BE，∠CAD=∠CBE。∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°。∴∠DBE=∠CBA+∠CBE=45°+∠CAD。∵∠CAD=45°-∠BAD，∴∠DBE=45°+45°-∠BAD=90°-∠BAD。在△ABD中，∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-∠BAD-45°=135°-∠BAD。在△BDE中，∠DEB=180°-∠DBE-∠ADB=180°-(90°-∠BAD)-(135°-∠BAD)=2∠BAD-45°。（此步可简化，延长BE交AD或其延长线于点，证直角）（更简洁：延长BE交AD于点F。∠AFB=180°-∠BAF-∠ABF=180°-45°-(45°+∠CBE)=90°-∠CBE。又∵∠CBE=∠CAD，∠CAD+∠BAD=45°，∴∠AFB=90°。即AD⊥BE。）（2）当点D在AB的延长线上时，（1）中的结论仍然成立。理由：类似（1）可证△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠CAD=∠CBE。∵∠CAB=∠CBA=45°，∴∠CAD=∠CAB+∠BAD=45°+∠BAD。∴∠CBE=45°+∠BAD。∴∠ABE=∠CBE-∠CBA=45°+∠BAD-45°=∠BAD。又∵∠BAD+∠ABD=180°-∠ADB，而∠ABD=180°-∠ABC=135°，∴∠ABE+∠ABD=∠BAD+135°=(∠CAD-45°)