初一数学预科讲义

初一数学预科讲义前言同学们，欢迎来到初中数学的奇妙世界！与小学数学相比，初中数学的知识体系会更加系统和深入，思维方式也会要求更高。这份预科讲义旨在帮助大家平稳过渡，提前接触一些初中数学的基础概念和思想方法，为即将到来的学习打下坚实的基础。请大家务必认真思考，勤于练习，相信你们一定能顺利开启初中数学的学习之旅。---第一章走进有理数的世界1.1数怎么不够用了——负数的引入回顾与思考：在小学阶段，我们学习了自然数（如0,1,2,3...）、分数（如1/2,3/4...）和小数（如0.5,1.25...）。这些数帮助我们解决了很多实际问题，比如计数、表示数量的多少、比较大小等。情境引入：但是，生活中还有很多情况，仅仅用这些数是无法准确描述的。*比如，天气预报中，北京冬季某天的气温是零下5摄氏度，如何表示这个温度呢？*又如，小明家住在10楼，而地下室停车场在地下2楼，这个“地下2楼”又该如何表示呢？*再比如，妈妈在银行存入1000元，之后又取出500元，取出的钱与存入的钱意义相反，又该如何记录呢？新知学习：为了表示具有相反意义的量，我们引入了一种新的数——负数。*像“零下5摄氏度”，我们可以记作-5℃（读作“负5摄氏度”）。*“地下2楼”可以记作-2楼。*“取出500元”可以记作-500元。相应地，我们以前学过的除0以外的数（如1,2,3,1/2,0.5等）叫做正数。正数前面也可以加上“+”号，如+1,+2,+1/2等（读作“正1”，“正2”，“正二分之一”），通常情况下，正数前面的“+”号可以省略不写。特别注意：*0既不是正数，也不是负数。它是正数与负数的分界点。*负数的引入，使得我们对数的认识更加完整了。有理数的概念：整数和分数统称有理数。*整数包括：正整数、0、负整数。例如：1,2,3,...,0,-1,-2,-3,...*分数包括：正分数、负分数。例如：1/2,3/4,0.2(可化为1/5),-1/3,-0.25(可化为-1/4)等。思考：为什么说有限小数和无限循环小数都属于分数？（提示：它们都可以化为分数形式）1.2数轴——数与形的第一次牵手问题提出：我们有了正数、负数和0，怎样才能更直观地表示它们，以及它们之间的大小关系呢？数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴的三要素（缺一不可）：1.原点：通常用点O表示，它是数轴的基准点，对应数字0。2.正方向：通常规定向右为正方向，用箭头表示。3.单位长度：数轴上选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1,2,3,...；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示-1,-2,-3,...画数轴的步骤：1.画一条水平的直线。2.在直线上任取一点作为原点，标记为O。3.确定正方向，通常向右画箭头。4.选取适当的长度作为单位长度，在直线上从原点向右、向左每隔一个单位长度取一个点，并标上对应的数字。有理数与数轴的关系：*任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。（思考：反过来，数轴上的点是否都表示有理数呢？这个问题我们以后再探讨。）*数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。*正数都在原点的右边，负数都在原点的左边。*原点表示0。例题：在数轴上表示出下列各数：3,-2,0,1.5,-1/2。（*此处应有图示，文字描述：画一条数轴，原点为O，向右为正方向。在原点右侧1个单位长度处标1，2个单位标2，3个单位标3；原点左侧1个单位标-1，2个单位标-2。在原点右侧1.5个单位处标出1.5，原点左侧0.5个单位处标出-1/2。原点处标0。*）相反数：观察数轴上表示3和-3的点，它们有什么共同特点？*它们分别位于原点的两侧，到原点的距离相等。像3和-3这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。*3的相反数是-3，-3的相反数是3。*一般地，a的相反数是-a。（这里的a可以是正数、负数或0）*0的相反数是0。思考：如何求一个数的相反数？（改变其符号即可）1.3绝对值——距离的度量问题引入：在数轴上，-3和3到原点的距离都是3个单位长度；-2和2到原点的距离都是2个单位长度。我们把这个“距离”叫做该数的绝对值。绝对值的定义：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。*数a的绝对值记作|a|。（读作“a的绝对值”）例如：*|3|=3，表示3到原点的距离是3。*|-3|=3，表示-3到原点的距离是3。*|0|=0，表示0到原点的距离是0。绝对值的性质：根据定义，我们可以得出：1.正数的绝对值是它本身。若a>0，则|a|=a。2.负数的绝对值是它的相反数。若a<0，则|a|=-a。3.0的绝对值是0。若a=0，则|a|=0。重要结论：*任何一个有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。*互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a|。例题：求下列各数的绝对值：*|5|=5*|-7|=7*|0|=0*|-3.14|=3.14思考：如果|x|=4，那么x等于多少？（x=4或x=-4）1.4有理数的加减法1.4.1有理数的加法情境引入：*小明向东走了3米，再向东走了2米，一共向东走了多少米？（3+2=5米）*小明向西走了3米，再向西走了2米，一共向西走了多少米？（可以表示为(-3)+(-2)=?）*小明向东走了3米，再向西走了2米，结果如何？（3+(-2)=?）*小明向西走了3米，再向东走了3米，结果如何？（(-3)+3=?）有理数加法法则：1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。*例如：(+5)+(+3)=+(5+3)=8（读作“正5加正3等于正8”，通常写作5+3=8）*(-5)+(-3)=-(5+3)=-82.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。*例如：(+5)+(-3)=+(5-3)=2（因为5的绝对值大于3的绝对值，取正号，用5-3）*(-5)+(+3)=-(5-3)=-23.互为相反数的两个数相加得0。*例如：5+(-5)=0*(-3)+3=04.一个数同0相加，仍得这个数。*例如：0+(-8)=-8*5+0=5例题：计算1.(-4)+(-5)=-(4+5)=-9(同号，取负号，绝对值相加)2.(+6)+(-2)=+(6-2)=4(异号，6的绝对值大，取正号，大减小)3.(-1/2)+(1/2)=0(互为相反数)4.0+(-3.7)=-3.7(与0相加)加法交换律和结合律：在小学我们学过加法交换律和结合律，这些运算律在有理数范围内仍然适用。*加法交换律：a+b=b+a*例如：3+(-5)=(-5)+3=-2*加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)*例如：[3+(-4)]+(-2)=3+[(-4)+(-2)]=3+(-6)=-3运用运算律可以简化运算：*例如：计算(-12)+(+11)+(-8)+(-7)+(+39)+7可以这样分组：[(-12)+(-8)]+[(+11)+(+39)]+[(-7)+7]=(-20)+50+0=301.4.2有理数的减法情境引入：*我们知道，3-2=1。如果我们把它看成3+(-2)，结果也是1。*那么，5-(-3)等于多少呢？它是否也能转化为加法？有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。*用字母表示：a-b=a+(-b)理解：减号变加号，减数变为它的相反数。例题：计算1.5-3=5+(-3)=22.5-(-3)=5+(+3)=8(减-3等于加+3)3.(-5)-3=(-5)+(-3)=-84.(-5)-(-3)=(-5)+(+3)=-25.0-(-7)=0+(+7)=7小结：*有理数的减法运算，核心是将其转化为加法运算。*转化的关键在于“两变”：改变运算符号（减变加），改变减数的性质符号（变为其相反数）。---本章小结与思考亲爱的同学，恭喜你完成了第一章“走进有理数的世界”的学习。在这一章里，我们认识了负数，从而将数的范围扩展到了有理数；我们学习了如何用数轴来直观表示有理数，以及相反数和绝对值的概念；最后，我们重点学习了有理数的加法和减法运算。*你能清晰地说出有理数都包括哪些数吗？*数轴的三要素是什么？它对我们理解有理数有什么帮助？*相反数和绝对值分别描述了数的什么特性？*有理数的加减法运算法则是什么？减法是如何转化为加法的？这些知识是我们整个初中数学学习的基石，请务必扎实掌握。在后续