北师大版八年级初二数学下册复习提纲典型题

同学们，八年级数学下册的学习旅程即将告一段落。这份复习提纲旨在帮助大家系统梳理本学期所学知识，巩固重点，突破难点，并通过典型例题的解析，提升解题能力与应试技巧。希望大家能结合课本，认真回顾，查漏补缺，为期末考试做好充分准备。第一章三角形的证明本章是平面几何的重要基础，核心在于理解并运用全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形、直角三角形的特殊性质与判定。知识梳理1.全等三角形：*定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。*性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。*判定公理/定理：*SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。*SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。*ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。*AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。*HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。2.等腰三角形：*性质：*两腰相等。*两底角相等（等边对等角）。*顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（“三线合一”）。*判定：*有两边相等的三角形是等腰三角形。*有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。3.等边三角形：*性质：三边相等，三个角都等于60°。*判定：*三边都相等的三角形是等边三角形。*三个角都相等的三角形是等边三角形。*有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。4.直角三角形：*性质：*两锐角互余。*斜边上的中线等于斜边的一半。*30°角所对的直角边等于斜边的一半。*勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（a²+b²=c²）。*判定：*有一个角是直角的三角形是直角三角形。*如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。5.线段的垂直平分线：*性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。*判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。6.角平分线：*性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。*判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。典型例题与解析例题1：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC。求证：AD⊥BC。证明：∵AB=AC(已知)∴△ABC是等腰三角形(等腰三角形定义)∵BD=DC(已知)∴AD是△ABC底边BC上的中线(中线定义)∴AD⊥BC(等腰三角形“三线合一”性质)点拨：本题直接考查等腰三角形“三线合一”的性质，找准条件，直接应用定理即可。例题2：已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF。求证：△ABC≌△DEF。证明：在△ABC和△DEF中∠A=∠D(已知)∠B=∠E(已知)BC=EF(已知)∴△ABC≌△DEF(AAS)点拨：本题考查AAS判定定理的应用。注意区分ASA和AAS，ASA是两角夹边，AAS是两角及其中一角的对边。例题3：已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，求第三边的长。解：设第三边为x。情况一：若3和4为两直角边，则根据勾股定理：x²=3²+4²=9+16=25∴x=5(x=-5舍去)情况二：若4为斜边，3为直角边，则：x²+3²=4²x²=16-9=7∴x=√7(x=-√7舍去)答：第三边的长为5或√7。点拨：本题考查勾股定理的应用，关键在于分类讨论，考虑已知的两边是直角边还是斜边（斜边最长）。第二章一元一次不等式与一元一次不等式组本章主要学习不等式的基本性质，一元一次不等式（组）的解法及其在实际问题中的应用。知识梳理1.不等式的基本性质：*性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。*性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。*性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。2.一元一次不等式：*定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式。*解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（注意不等号方向是否改变）。*解集：使不等式成立的未知数的取值范围。在数轴上表示解集时，注意实心圆点与空心圆圈的区别，以及方向。3.一元一次不等式组：*定义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式组成的不等式系统。*解法：分别求出每个不等式的解集，再求出它们的公共部分（借助数轴）。*解集的四种情况（设a<b）：*{x>a,x>b}的解集是x>b(同大取大)*{x<a,x<b}的解集是x<a(同小取小)*{x>a,x<b}的解集是a<x<b(大小小大中间找)*{x<a,x>b}的解集是无解(大大小小无解了)4.列不等式（组）解决实际问题：*关键步骤：审清题意，找出不等关系，设未知数，列不等式（组），解不等式（组），检验并作答。典型例题与解析例题1：解不等式(x-1)/2-(x+1)/3≥1，并把解集在数轴上表示出来。解：去分母，得3(x-1)-2(x+1)≥6去括号，得3x-3-2x-2≥6移项，得3x-2x≥6+3+2合并同类项，得x≥11这个不等式的解集在数轴上表示为：(数轴略，应在11处画实心圆点，向右画线)点拨：解一元一次不等式与解一元一次方程步骤类似，但要特别注意当两边乘除负数时，不等号方向要改变。去分母时，不要漏乘不含分母的项。例题2：解不等式组：{2x-1>x+1①{x+8<4x-1②并写出它的所有整数解。解：解不等式①：2x-x>1+1x>2解不等式②：x-4x<-1-8-3x<-9x>3(注意不等号方向改变)∴原不等式组的解集为x>3它的所有整数解为4,5,6,...(所有大于3的整数)点拨：先分别解出每个不等式，再在数轴上找出公共部分。本题两个不等式的解集都是x大于某个数，故取较大的那个作为不等式组的解集。例题3：某商店准备购进A、B两种商品。已知购进A商品3件和B商品2件，共需120元；购进A商品5件和B商品4件，共需220元。(1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？(2)若该商店准备用不超过1000元购进这两种商品，且A商品数量不少于B商品数量的2倍，问最多能购进多少件A商品？解：(1)设A商品每件进价x元，B商品每件进价y元。根据题意，得：{3x+2y=120{5x+4y=220解这个方程组，得x=20,y=30答：A商品每件进价20元，B商品每件进价30元。(2)设购进A商品m件，则购进B商品n件。根据题意，得：20m+30n≤1000①m≥2n②由②得n≤m/2将n≤m/2代入①得：20m+30*(m/2)≤100020m+15m≤100035m≤1000m≤1000/35≈28.57∵m为正整数，∴m的最大值为28。答：最多能购进28件A商品。点拨：列不等式解决实际问题，关键是找到题目中的不等关系。本题的不等关系是“总费用不超过1000元”和“A商品数量不少于B商品数量的2倍”。注意未知数的实际意义，结果需取整数。第三章图形的平移与旋转本章主要学习图形的两种基本变换：平移和旋转，理解它们的概念、性质，并能进行简单的图案设计。知识梳理1.图形的平移：*定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。*性质：*平移不改变图形的形状和大小（即平移前后的图形全等）。*对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。*对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。*作图：确定平移的方向和距离，找出原图形的关键点，将关键点按方向和距离平移，连接对应点得到平移后的图形。2.图形的旋转：*定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。*性质：*旋转不改变图形的形状和大小（即旋转前后的图形全等）。*对应点到旋转中心的距离相等。*对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。*对应线段相等，对应角相等。*作图：确定旋转中心、旋转方向和旋转角，找出原图形的关键点，将关键点绕旋转中心按指定方向和角度旋转，连接对应点得到旋转后的图形。3.中心对称：*定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。*性质：*关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分。*关于中心对称的两个图形全等。*中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。4.简单的图案设计：利用平移、旋转、轴对称等变换组合设计图案。典型例题与解析例题1：如图，将△ABC沿射线AB的方向平移2cm得到△DEF。若AB=5cm，求AD和BE的长度。解：∵△ABC沿射线AB的方向平移2cm得到△DEF∴对应点所连的线段AD、BE、CF都等于平移距离2cm。∴AD=2cm，BE=2cm。点拨：平移的距离是指对应点之间的距离，所有对应点之间的距离都相等，都等于平移的距离。例题2：如图，已知△ABC和点O，画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A'B'C'。作法：(图略，文字描述作法)1.连接OA；2.以OA为一边，在顺时针方向作∠AOA'=90°，且OA'=OA，得到点A的对应点A'；3.用同样的方法分别作出点B、C的对应点B'、C'；4.连接A'B'、B'C'、C'A'，则△A'B'C'就是所求作的三角形。点拨：旋转作图的关键是确定旋转中心、旋转方向和旋转角，然后准确作出各关键点的对应点。例题3：下列图形中，是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形C.正五边形D.等腰梯形答案：B点拨：中心对称图形是指绕自身某一点旋转180°后能与原图重合的图形。平行四边形绕其两条对角线的交点旋转180°后能与自身重合，是中心对称图形。其他选项均不符合。第四章因式分解本章主要学习因式分解的概念、方法，并能运用因式分解解决一些简单问题。知识梳理1.因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。*注：因式分解与整式乘法是互逆变形。2.提公因式法：*公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。*提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。*步骤：确定公因式（系数取最大公约数，字母取相同字母的最低次幂），提取公因式。3.公式法：*平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)*特点：两项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。*完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²；a²-2ab+b²=(a-b)²*特点：三项式，其中两项能写成平方的形式且符号相同，第三项是这两数乘积的2倍。4.因式分解的一般步骤：*一“提”：先看是否有公因式，若有，则先提取公因式。*二“套”：再看能否运用公式法（平方差公式或完全平方公式）进行分解。*三“查”：检查因式分解是否