华北理工杨梅材料力学课件12能量法

第十二章能量法§12-2杆件应变能的普遍表达式

§12-3虚功原理

§12-4单位荷载法图乘法

§12-5卡氏定理

§12-1能量法的概念

§12-6互等定理

§12-1能量法的概念

应变能

——由于变形而储存于弹性体内部的能量。功能原理

——静载下，外力所做的功全部转变为应变能利用功能原理分析计算杆件或结构的变形、位移和内力等问题的方法称为能量法。一、轴向拉（压）而或：dXFN（X）PΔΔFX§12-2杆件应变能的计算二、扭转外力功而：或：MeφMeMedX三、弯曲:(FS的影响略去)内力与变形仍成正比FSFSMz（X）Mz（X）+dMz（X）Mz（X）Mz（X）+dMz（X）dθzdXX4、组合变性杆的变形能计算：

小变形时，各基本变形的变形能可单独计算，然后相加，得到组合变性杆的总变形能。即：

注意:变形能是力的二次函数，因此，引起同一基本变形的一组外力在杆内所产生的变形能，并不等于各力分别作用时产生的变形能之和。例如：结论：变形能与加载次序无关。一、Vε

的普遍表达式：五、变形能的普遍表达式∵Vε

与加载的中间过程无关，只与载荷最终值有关∴设F1…Fn按相同比例由0分别加至各自最终值。则：各载荷与相应位移保持线性关系F1FnF3F2δ1δ2δ3δnFδδ1一、虚位移概念：§13—3虚功原理虚位移满足边界条件满足连续性条件微小变形※可与载荷作用下的真实位移无关※可是载荷作用下的真实位移的增量※可是另一与之相关的系统载荷作用下的真实位移.

结构在原有载荷作用下平衡，再发生的位移称为虚位移。A两梁除载荷外其它条件均相同：Pqw1(x)w2(x)δw=w1(x)可把看成第二梁的虚位移在载荷作用下分别产生位移A二、虚功原理表述对于一个处于平衡状态下的杆件，其外力和内力对任意给定的虚位移所作的总虚功也必然等于零。数学表达式：弹性体平衡以图示梁为例，写出虚功原理的具体表达式：略去FS的影响:dθMz（X）Mz（X）+dMz（X）A……§12-4单位荷载法图乘法以图示梁为例（略去FS影响）：视F1······Fn引起的位移，如dθ，fc等为虚位移据虚功原理：莫尔积分线弹性范围内小变形杆dθ视F0=1为梁载荷，对应的内力：一、单位载荷法推导：fCfCABCABCA……BCfCdXX莫尔定理，也称莫尔积分、单位力法或单位载荷法。三、使用莫尔定理的注意事项：⑤:莫尔积分必须遍及整个结构。②：

:去掉主动力，在所求广义位移处，沿所求

广义位移的方向加广义单位力时，结构产生的内力。①：M(x)：结构在原载荷下的内力。③：所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。④：M(x)与的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。例1:用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。③、求变形解：①加单位载荷如图②求内力x④、求转角，重建坐标系（如图）图乘法等截面直杆，EI为常数，只须计算积分即可。图纵坐标的乘积。与其形心C所对应的等于图的面积式中：w

为M图的面积；

为M图形心对应下的图的值。常见图形的面积和形心为置式中：w

为M图的面积；

为M图形心对应下的图的值。式中：w

为M图的面积；

为M图形心对应下的图的值。式中：w

为M图的面积；

为M图形心对应下的图的值。式中：w

为M图的面积；

为M图形心对应下的图的值。式中：w

为M图的面积；

为M图形心对应下的图的值。应用图乘法的注意事项：应用图乘法求变形的解题步骤：①画M图；②加单位力，画

图；③代入图乘公式求解。①M图为正弯矩时，w

应代以正号，反之代以负号；②

也应按弯矩符号代以正负号；③若

(x)由几段直线组成时，应分段利用图乘法。例12-6：求解：（一）作载荷作用下的M图LCAPMPL+xLCA1L+x例12-6：求（二）加（四）求（三）作图例12-7用图乘法求外伸梁D点的竖直位移，EI为常数。aaa2qaqABDqa2C1C2C3qa2/21a解：1)用叠加法画M图计算M图面积：2)加单位力画M0图3)代入图乘公式求解例12-8用图乘法求刚架C截面的转角和铅垂位移，EI为常数。解：1)画M图2)加单位载荷画M0图3)代入图乘公式求解aaqABC11M011M0′Mqa2/2解：1)画M图2)加单位载荷画M0图3)代入图乘公式求解§12-5卡氏定理若给Pn以增量dPn，则：①：先给物体加P1、

P2、•••、

Pn

个力，则：②：先给物体加力

dPn

，则：再给物体加P1、P2、•••、Pn个力，则：一、定理证明P1dnP2P

n意大利工程师——阿尔伯托·卡斯提安诺(AlbertoCastigliano，1847～1884)第二卡氏定理二、使用卡氏定理的注意事项：①：V——整体结构在外载作用下的线弹性变形能②：

Pn

视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为Pn的函数③、

n为Pn

作用点处沿Pn

方向的位移。④、当无与

n对应的Pn

时，先加一沿

n

方向的Pn

，求偏导后，再令其为零。三、特殊结构（杆）的卡氏定理：A例12-10结构如图，用卡氏定理求A截面的挠度和转角。EI③求变形①求内力解：求挠度，建立坐标系②将内力对PA求偏导1、求fA2、求转角

A：①求内力A由于没有与

A向相对应的力（广义力），加MA。“负号”说明

A与所加广义力MA反向。②将内力对MA求偏导后，令MA=0③求变形（注意：MA=0）例12-11结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。求挠曲线——任意点的挠度f（x）①求内力②将内力对Px求偏导后，令Px

=0没有与f（x）相对应的力，加Px。ABC③求变形（注意：Px

=0）åò¶¶=EIdxPMMyA-+=+=xqxPqaMCAxPqaMBA2112