蔡中兵材料力学3扭转

§3-1概述第3章扭转杆件受到一对方向相反的力偶作用于杆件的两个横截面。外力特点：变形特点：1、杆件的相邻横截面绕轴线发生相对转动。此类以扭转变形为主的等截面直杆称为轴。2、杆件表面的纵向线将变成螺旋线。§3-1概述薄壁圆筒——通常指的圆筒

当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩——扭矩mmTMelMemmMeδr0Oδ§3-2薄壁圆筒的扭转1.实验前（1）画纵向线,圆周线;（2）施加一对外力偶.一、应力分析薄壁圆筒：壁厚（r0—圆筒的平均半径）dxx

Me

Me2.实验后（1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度

；（3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.§3-2薄壁圆筒的扭转圆筒两端截面之间相对转过的圆心角

相对扭转角

表面正方格子倾斜的角度—直角的改变量

切应变

gjABDCMe

Me

薄壁圆筒受扭时变形情况：gABCDB1A1D1

C1

D'D1'C1'C'3.推论（1）横截面上无正应力，只有切应力；（2）切应力方向垂直半径或与圆周相切，且数值相等.dxδ

圆周各点处切应力的方向于圆周相切,且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化.MeMeABDC4.推导公式

静力学条件因薄壁圆环横截面上各点处的切应力相等得tdAnnMe

r0x

根据精确的理论分析,当δ≤r/10时,上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。

薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直,指向与扭矩的转向一致.Tττ二、剪切胡克定律由前述推导可知薄壁圆筒的扭转实验曲线Me

Me

gjABDC钢材的切变模量值约为：这就是剪切胡克定律其中：G——材料的切变模量tp——剪切比例极限三个常数关系为：

§3-3传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图从动轮主动轮从动轮一、外力偶矩的计算Me—作用在轴上的力偶矩(N·m)P—轴传递的功率(kW)n—轴的转速(r/min)nMe2Me1Me3主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同，从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。Me

在n-n

截面处假想将轴截开取左侧为研究对象二、内力的计算1.求内力截面法TMeMeMex••nnMeMe•xTMe•xT

采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正,反之为负.2.扭矩符号的规定3.扭矩图

用平行于杆轴线的坐标x表示横截面的位置;用垂直于杆轴线的坐标T表示横截面上的扭矩,正的扭矩画在x轴上方,负的扭矩画在x

轴下方.

Tx+_11TTMe

Me

AB11BMe

AMe

11xMeT图+Me4ABCDMe1Me2Me3n例题3-3-1一传动轴如图所示,其转速n=300r/min,主动轮A输入的功率为P1=500kW.若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输出的功率分别为P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW.试做扭矩图.解:计算外力偶矩Me4ABCDMe1Me2Me3n

计算CA

段内任横一截面2-2截面上的扭矩.假设T

2为正值.结果为负号,说明T

2应是负值扭矩由平衡方程ABCD

Me1Me3Me222BCxMe2Me3T2Me4ABCD同理,在BC

段内在AD

段内1133

注意：若假设扭矩为正值,则扭矩的实际符号与计算符号相同.Me4Me1Me3Me2Me2Me4T1T3作出扭矩图4775N·m9550N·m6366N·m+_从图可见,最大扭矩在CA段内.例题3-3-2图示空心圆轴外径D=100mm,内径d=80mm,M1=6kN·m,M2=4kN·m,材料的切变模量G=80GPa.画轴的扭矩图；M1M2ABCll解:（1）画轴的扭矩图M1M2ABCllBC段1M2CT1T1+M2=02M2CM1BT2T2+M2-M1=0T2=2kN·mAB段（+）（-）T1=-4kN·m最大扭矩发生在BC段

Tmax=4kN·m4kN·m2kN·m+_ABC解：作轴的扭矩图MAMBMC22kN·m14kN·m+_例题3-3-3图示阶梯圆轴,AB段的直径d1=120mm,BC段的直径

d2=100mm.扭转力偶矩为MA=22kN·m,MB=36kN·m,MC=14kN·m.试作扭矩图.T图例题3-3-4图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪切弹性模量，试作扭矩图。aa2aM2M3MABCD+M2M3M解：画扭矩图ABCDmBmCmAmDmBBBCmBmC同理可得：解:1.计算外力偶矩2.计算扭矩得：同理可得：3.画扭矩图例3-2已知：传动轴转速n=300r/min，主动轮A输入功率PA=400KW三个从动轮输出功率分别为PB=120KW，PC=120KW,PD=160KW试作扭矩图。§3-4等直圆杆扭转时的应力、强度条件实验:1、实验现象2、假设*各圆周线的形状、大小，两圆周线间的距离都没有发生变化，但都绕轴转过了不同的角度。*纵线仍近似为直线，但都倾斜了一个角度，使原来的矩形都变成了平行四边形。平面假设：圆轴扭转时，各横截面如同刚性平面一样绕轴转动，即：假设圆轴各横截面在变形过程中，始终保持为平面，其形状和大小不变，半径仍为直线。一、横截面上的应力二、横截面上的应力1、变形几何关系变形前变形后变形几何关系关系式2、物理关系(胡克定律)由此，得：当ρ=0时当ρ=R时3、静力学关系令：极惯性矩令：抗扭截面系数圆轴扭转时横截面上的最大切应力现在的问题是如何求和补极惯性矩与抗扭截面系数1.实心圆截面2.空心圆截面3.薄壁圆截面注意:R0例2:

一直径为D1的实心轴，另一内外径之比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大切应力相等。求两轴外直径之比D2/D1。解：由得：

例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A点的切应力及横截面上的最大和最小切应力。解：组成顺时针转向力偶，其矩为组成逆时针转向力偶，其矩为得二、斜截面上的应力由于微体处于平衡状态，则必有单元体上只有切应力，而无正应力的状态。称为纯剪切应力状态。

两互相垂直的平面上，切应力成对存在且数值相等；两者都垂直于两平面的交线，方向则共同指向或背离此交线。——切应力互等定理表明：M1.点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b)tt´tt´(c)2.斜截面上的应力；取分离体如图(d)：(d)

t´t

tasax二、斜截面上的应力(d)

t´t

tasaxnt转角规定：轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“–”由平衡方程：解得：分析：当

=0°时，当

=45°时，当

=–45°时，当

=90°时，tt´smaxsmin45°

由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的切应力为最大值；在方向角

=

45

的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。圆轴扭转时的破坏现象脆性材料扭转破坏塑性材料扭转破坏（比如：铸铁、粉笔）（比如：低碳钢）沿横截面被剪断沿450螺旋曲面被拉断例1：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?解：设实心轴的直径为d1

，由得：TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。圆轴合理截面例:

传动轴AB传递的功率为P=7.5kW，转速n=360r/min。轴的AC段为实心圆轴，CB段为空心圆轴。已知：D=30mm，d=20mm。试计算AC段的最大切应力，CB段横截面上内、外缘处的切应力。解：（1）计算外力偶矩和扭矩（2）计算极惯性矩AC段：CB段：（3）计算应力AC段最大切应力：CB段上内外缘的切应力：三、圆轴扭转的强度条件设材料的许用切应力圆轴扭转的强度条件为说明：（2）对等截面杆，τmax在扭矩Tmax的截面上；对变截面杆，τmax不一定在扭矩Tmax的截面上，需综合分析。（3）圆轴强度计算的三类问题：（a）强度校核：（b）截面设计：（c）许用载荷计算：（1）——

由材料的扭转实验测定例：图示传动轴。齿轮2为主动轮，而齿轮1和3消耗的功率分别为0.756kW和2.98kW。若轴的转速为183.5r/min，材料为45号钢，[τ]=40MPa。试根据强度要求确定轴的直径。解：1、求外力偶矩2、求各截面扭矩，作扭矩图，确定危险截面。——轮2、3间的截面为危险截面3、由强度条件设计轴的直径

可取D=27.2mm。

+

-§3-5等直圆杆扭转的变形、刚度条件一、圆轴扭转时的变形扭转变形：——两截面的相对扭转角单位长度杆件的相对扭转角：l——称为扭转刚度说明：（1）当T变化，或轴为阶梯轴时，应分段计算，即长为l的杆件的相对扭转角：3-5等直圆杆扭转时的变形、刚度条件单位：rad/m单位：rad/m单位：°/m值可由有关手册查到。设单位长度的扭转角为：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：刚度条件的三种应用:一般规定单位长度的扭转角φ'的最大值不超过某一许用值

，则有扭转刚度条件为：解：（1）计算扭矩例3:已知:传动轴m1=2.5KNm，

m2=4KNm，

m3=1.5KNm，G=80GPa。求：截面A相对截面C的扭转角（2）计算A、C两截面间的相对扭转角解：（1）计算外力偶矩例:已知:传动轴d=4.5cm，G=80GPa，PA=36.7KW，PB=14.7KW，

PC=PD=11KW，n=300r/min,[τ]=40MPa，[φ']=2o/m

。试校核轴的强度和刚度。（2）画扭矩图，求最大扭矩同理：所以：mCBCmBAm