信号与系统教学课件 第三章 周期信号的傅立叶级数表示

信号与系统SignalsandSystem第三章周期信号的傅立叶级数表示5/5/20261本章内容：Ⅰ.周期信号的频域分析Ⅱ.LTI系统的频域分析Ⅲ.傅立叶级数的性质5/5/202623.0

引言Introduction

时域分析方法的基础：信号在时域的分解。LTI系统满足线性、时不变性。2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。

1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：5/5/202633.1历史的回顾（AHistoricalPerspective）

任何科学理论,科学方法的建立都是经过许多人不懈的努力而得来的,其中有争论,还有人为之献出了生命。

历史的经验告诉我们,要想在科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。5/5/202641768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可以用正弦函数的级数来表示”拉格朗日反对发表1822年首次发表“热的分析理论”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件傅里叶生平1768—18305/5/20265傅里叶的两个最重要的贡献——“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示”——傅里叶的第二个主要论点5/5/20266由时域分析方法有，3.2LTI系统对复指数信号的响应TheResponseofLTISystemstoComplexExponentials考查LTI系统对复指数信号和的响应5/5/20267

可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得的。这说明和符合对单元信号的第一项要求。特征函数(Eigenfunction)如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应的特征值。5/5/20268结论：只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征函数。

复指数函数、是一切LTI系统的特征函数。、分别是LTI系统与复指数信号相对应的特征值。

对时域的任何一个信号或者,若能将其表示为下列形式：5/5/20269利用系统的齐次性与叠加性同理：即：*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的线性组合来表示？所以有由于5/5/202610FourierSeriesRepresentationofContinuous-TimePeriodicSignals3.3连续时间周期信号的傅里叶级数表示如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，一.连续时间傅里叶级数成谐波关系的复指数信号集:

，其中每个信号都是以为周期的，它们的公共周期为，且该集合中所有的信号都是彼此独立的。

5/5/202611例1：

显然也是以为周期的。该级数就是傅里叶级数，称为傅立叶级数的系数。这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，即:连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量。有5/5/202612例2：

显然该信号中，有两个谐波分量，为相应分量的加权因子，即傅立叶系数。

在该信号中，有四个谐波分量，即时对应的谐波分量。傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。5/5/202613二.频谱（Spectral）的概念在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率。信号集中的每一个信号，除了成谐波关系外，每个信号随时间的变化规律都是一样的，差别仅仅是频率不同。5/5/202614分量

可表示为

因此，当把周期信号

表示为傅里叶级数

时，就可以将

表示为这样绘出的图称为频谱图表示为5/5/202615

频谱图其实就是将随频率的分布表示出来，即的关系。由于信号的频谱完全代表了信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为频域表示法。三.傅里叶级数的其它形式

或

若是实信号,则有，于是5/5/202616若令，则为实数。于是即：表明的模关于偶对称，幅角关于奇对称。5/5/202617

——傅里叶级数的三角函数表示式

若令则5/5/202618因此即的实部关于偶对称，虚部关于奇对称。

——傅里叶级数的另一种三角函数形式将此关系代入，可得到5/5/202619四.连续时间傅里叶级数系数的确定对两边同时在一个周期内积分，有则有如果周期信号可以表示为傅里叶级数5/5/202620即

在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。5/5/202621

五.周期性矩形脉冲信号的频谱其中5/5/202622

根据可绘出的频谱图。称为占空比5/5/202623不变时5/5/202624不变时5/5/202625周期性矩形脉冲信号的频谱特征：

1.离散性2.谐波性3.收敛性考查周期和脉冲宽度改变时频谱的变化：当不变，改变时，随使占空比减小，谱线间隔变小，幅度下降。但频谱包络的形状不变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。2.

当改变，不变时，随使占空比减小，谱线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变，包络主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。5/5/202626当时，有当时，有表明：奇信号的是关于的奇函数、虚函数。表明：偶信号的是关于的偶函数、实函数。信号对称性与频谱的关系：5/5/2026273.4连续时间傅里叶级数的收敛

这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶级数。一.傅里叶级数是对信号的最佳近似若以为周期用有限个谐波分量近似时，有ConvergenceoftheFourierseries5/5/202628误差为

以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为于是：5/5/202629结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对周期信号的最佳近似。

在均方误差最小的准则下，可以证明，此时应满足：这就是傅氏级数的系数其中5/5/202630二.傅里叶级数的收敛傅里叶级数收敛的两层含义：是否存在?

级数是否收敛于?

两组条件：

1.平方可积条件：如果

则

必存在。

在一个周期内能量有限，一定存在。5/5/202631

2.Dirichlet条件：，在任何周期内信号绝对可积。在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值。在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。因此，信号绝对可积就保证了的存在。5/5/202632

这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性。几个不满足Dirichlet条件的信号5/5/202633三.Gibbs现象

满足Dirichlet

条件的信号，其傅里叶级数是如何收敛于的。特别当具有间断点时，在间断点附近，如何收敛于?5/5/2026345/5/2026355/5/202636用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的会出现振荡和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少。Gibbs现象表明：5/5/202637PropertiesofContinuous-TimeFourierSeries3.5连续时间傅里叶级数的性质

学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进行级数展开。一.线性：若和都是以为周期的信号，且则5/5/202638二.时移:三.反转:若是以为周期的信号，且则若是以为周期的信号，且则四.尺度变换:若是以为周期的信号，且则以为周期，于是5/5/202639令，当在变化时，从变化，于是有：五.相乘:若和都是以为周期的信号，且则也即5/5/202640六.共轭对称性:若是以为周期的信号，且则由此可推得，对实信号有：或时有：当5/5/202641七.Parseval

定理：表明：一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和.*掌握表3.1对实信号，当时，（实偶函数）当时，（虚奇函数）时有：当5/5/202642例1：-T1T0……10……-T．．T例2：周期性矩形脉冲将其微分后，可利用例1表示为5/5/202643设由时域微分性质有根据时移特性，有由例1知10……5/5/202644FourierSeriesRepresentationofDiscrete-TimePeriodicSignals一.离散时间傅里叶级数（DFS）

Discrete-TimeFourierSeries

考察成谐波关系的复指数信号集:该信号集中每一个信号都以为周期，且该集合中只有个信号是彼此独立的。

3.6离散时间周期信号的傅里叶级数表示5/5/202645这个级数就称为离散时间傅里叶级数（DFS），其中也称为周期信号的频谱。二.傅里叶级数系数的确定给两边同乘以，得：

将这

个独立的信号线性组合起来，一定能表示一个以

为周期的序列。即：其中为

个相连的整数5/5/202646而

显然仍是以

为周期的，对两边求和5/5/202647即或对实信号同样有：

显然上式满足，即也是以

为周期的，或者说中只有个是独立的。5/5/202648三.周期性方波序列的频谱5/5/202649

显然的包络具有的形状。时5/5/202650周期性方波序列的频谱5/5/202651当不变、时，频谱的包络形状不变，只是幅度减小，谱线间隔变小。

当改变、

不变时，由于

的包络具有

的形状，而，可知其包络形状一定发生变化。当时，包络的第一个零点会远离原点从而使频谱主瓣变宽。这一点也与连续时间周期矩形脉冲的情况类似。5/5/202652三.DFS的收敛

DFS

是一个有限项的级数，确定的关系式也是有限项的和式，因而不存在收敛问题，也不会产生Gibbs现象。

周期序列的频谱也具有离散性、谐波性，当在区间考查时，也具有收敛性。不同的是，离散时间周期信号的频谱具有周期性。5/5/2026531.相乘

2.差分周期卷积PropertiesofDiscrete-TimeFourierSeries

3.7DFS的性质DFS有许多性质，这里只选几个加以讨论。5/5/2026543.时域内插若以N为周期，则以mN为周期。令令，则有时5/5/2026554.Paseval定理

左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是信号的各次谐波的总功率。这表明：一个周期信号的平均功率等于它的所有谐波分量的功率之和。也表明：周期信号的功率既可以由时域求得，也可以由频域求得。5/5/2026563.8

傅里叶级数与LTI系统FourierSeriesandLTISystems

LTI系统对复指数信号所起的作用只是给输入信号加权了一个相应的特征值。对连续时间系统对离散时间系统、被称为系统的系统函数。5/5/202657如果则被称为连续时间LTI系统的频率响应如果则称为离散时间LTI系统的频率响应对而言，是以为周期的。如果一个LTI系统输入周期性信号或

5/5/202658则*可见，LTI系统对周期信号的响应仍是一个周期信号，LTI系统的作用是对各个谐波频率的信号分量进行不同的加权处理。5/5/202659例：某离散时间LTI系统，输入为，求输出。即：5/5/202660由得5/5/2026613.9

滤波1.频率成形滤波器（改变各分量的幅度与相位）2.频率选择性滤波器（去除某些频率分量）TheIdealFrequency-SelectiveFilters一.滤波通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为滤波。滤波器可分为两大类：5/5/202662二.理想频率选择性滤波器的频率特性

理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或几个）频段内，频率响应为常数，而在其它频段内频率响应等于零。理想滤波器可分为低通、高通、带通、带阻。

滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的通带（passband），完全不允许信号通过的频段称为阻带（stopband）。5/5/202663连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性低通高通带阻带通5/5/202664离散时间理想频率选择性滤波器的频率特性高通

-

低通2

-带通

-

0带阻

-5/5/202665

各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。离散时间理想滤波器的特性在区间上，与相应的连续时间滤波器特性完全相似。三.理想滤波器的时域特性以理想低通滤波器为例连续时间理想低通滤波器15/5/202666

各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。离散时间理想滤波器的特性在区间上，与相应的连续时间滤波器特性完全相似。三.理想滤波器的时域特性以理想低通滤波器为例连续时间理想低通滤波器15/5/202667由傅里叶变换可得:5/5/202668对离散时间理想低通滤波器有：5/5/202669如果理想低通滤波器具有线性相位特性则5/5/202670理想低通滤波器的单位阶跃响应令正弦积分5/5/202671由于5/5/202672对离散时间理想低通滤波器，相应有：从理想滤波器的时域特性可以看出：5/5/2026733.在工程应用中，当要设计一个滤波器时，必须对时域特性和频域特性作出恰当的折中。1.理想滤波器是非因果系统。因而是物理不可实现的；2.尽管从频域滤波的角度看，理想滤波器的频率特性是最佳的。但它们的时域特性并不是最佳的。h(t)或h(n)都有起伏、旁瓣、主瓣，这表明理想滤波器的时域特性与频域特性并不兼容。5/5/202674非理想滤波器TheNonidealFilters

对理想特性逼近得越精确，实现时付出的代价越大，系统的复杂程度也越高。

由于理想滤波器是物理不可实现的，工程应用中就必须寻找一个物理可实现的频率特性去逼近理想特性，这种物理可实现的系统就称为非理想滤波器。非理想滤波器的频率特性以容限方式给出。5/5/202675非理想滤波器特性1.通带绝对平坦，通带内衰减为零。理想滤波器特性2.阻带绝对平坦，阻带内衰减为。通带内允许有起伏，有一定衰减范围3.无过渡带。阻带内允许有起伏，有一定衰减范围有一定的过渡带宽度5/5/202676

通常将偏离单位增益的称为通带起伏（或波纹），称为阻带起伏（或波纹），称为通带边缘，为阻带边缘，为过渡带。非理想低通滤波器的容限5/5/202677它们都从幅频特性出发逼近理想低通的模特性。工程实际中常用的逼