2026年全国卷高考三角函数综合押题预测卷含解析

2026年全国卷高考三角函数综合押题预测卷含解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若角α的终边经过点P(√3,-1)，则tanα的值为()A.-√3/3B.√3C.-√3D.1/√32.下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的是()A.y=sin(2x+π/4)B.y=-cos(2x)C.y=tan(x/2)D.y=sin(x)-cos(x)3.若f(x)=sin(x-π/3)，则f(π/6)的值为()A.1/2B.-1/2C.√3/2D.-√3/24.函数y=2sin(3x-π/4)的图像向右平移π/6个单位后，得到的函数图像()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.最小正周期为2π/3D.最大值为25.下列不等式中，正确的是()A.sin(π/6)>sin(π/3)B.cos(π/6)>cos(π/3)C.tan(π/6)>tan(π/3)D.sin(5π/6)>cos(π/3)6.若sinα+cosα=√2/2，则sin(α+π/4)的值为()A.1/2B.√2/2C.-1/2D.-√2/27.已知sinθ=-3/5，θ在第四象限，则cos(θ+π/3)的值为()A.-4/10B.4/10C.-13/10√2D.13/10√28.函数f(x)=sin^2(x)-cos^2(x)的最小正周期是()A.πB.2πC.4πD.π/29.在△ABC中，已知a=3，b=1，C=π/3，则sinA的值为()A.√3/2B.1/2C.√3/4D.1/410.若sin(α+β)=1/2，cosα=1/2，α在第一象限，β在第二象限，则cosβ的值为()A.-√3/2B.√3/2C.-1/2D.1/2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.化简：sin(x+π/4)+sin(x-π/4)=_______.12.函数y=cos(2x+φ)的图像经过点(π/4,0)，且φ∈(-π,π]，则φ=_______.13.已知sinα=1/3，α在第一象限，则cos(α/2)=_______.14.在△ABC中，A=π/6，B=π/4，则sinC=_______.15.若函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ)的图像关于直线x=π/4对称，则θ=_______(k∈Z).三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分12分)化简三角函数式：(sinα+cosα)^2+(sinα-cosα)^2-tan(α+π/4)/sin(α-π/4).17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=√3sin(2x)+cos(2x)-1.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)若f(α)=0，且α∈(0,π/2)，求sin(α+π/3)的值。18.(本小题满分14分)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c。已知a=2√3，b=2，cosC=1/4.(1)求边c的长；(2)求sinA的值。19.(本小题满分14分)已知sin(α+β)=3/5，cos(α-β)=4/5，其中α在第二象限，β在第一象限。(1)求cos(α+β)和sin(α-β)的值；(2)求tanα的值。20.(本小题满分15分)设函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)，其中ω>0,φ∈(0,π/2)。(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若f(x)的图像经过点(π/4,0)，求φ的值；(3)在区间[0,π]上，是否存在f(x)的最大值等于√2的情形？若存在，求出此时φ的值；若不存在，请说明理由。21.(本小题满分15分)在直角坐标系xOy中，点P在函数y=sin(x)的图像上，点A(1,0)，O为坐标原点。过点P作PA⊥x轴，垂足为A。设点B为直线PA与函数y=cos(x)的图像的交点。(1)求|AB|的表达式；(2)若|AB|=1，求x的值。试卷答案一、选择题1.C2.B3.B4.C5.B6.A7.B8.A9.B10.A二、填空题11.√212.-π/413.√5/314.√6/4或√6/415.π/8+kπ三、解答题16.解析：原式=1+2sin(α)cos(α)+1-2sin(α)cos(α)-(sin(α)+cos(α))/(sin(α)-cos(α))/(sin(α)-cos(α))=2-[(sin(α)+cos(α))/((sin(α)-cos(α))^2)]=2-[(sin(α)+cos(α))/(sin^2(α)-2sin(α)cos(α)+cos^2(α))]=2-[(sin(α)+cos(α))/(1-2sin(α)cos(α))]=2-[sin(α)+cos(α)/(1-2sin(α)cos(α))]=2-[sin(α)+cos(α)/(1-2sin(α)cos(α))]=2-[tan(α)+1]/(1-2tan(α))=2-[tan(α)+1]/(1-2tan(α))=2-[(tan(α)+1)/(1-2tan(α))]=2-[tan(α)+1]/(1-2tan(α))=2-[(tan(α)+1)/(1-2tan(α))]=2-[tan(α)+1]/(1-2tan(α))=2-[(tan(α)+1)/(1-2tan(α))]=2-[tan(α)+1]/(1-2tan(α))=2-[(tan(α)+1)/(1-2tan(α))]=2-1=1.17.解析：(1)f(x)=√3sin(2x)+cos(2x)-1=2sin(2x+π/6)-1.最小正周期T=2π/ω=2π/2=π.最大值=2+1=2.(2)由f(α)=0，得2sin(2α+π/6)-1=0，即sin(2α+π/6)=1/2.又α∈(0,π/2)，则2α∈(0,π)，故2α+π/6∈(π/6,7π/6).所以2α+π/6=5π/6，解得α=π/3.sin(α+π/3)=sin(π/3+π/3)=sin(2π/3)=√3/2.18.解析：(1)由余弦定理，c^2=a^2+b^2-2abcosC=(2√3)^2+2^2-2*(2√3)*2*(1/4)=12+4-4√3=16-4√3.所以c=√(16-4√3).(2)由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC.sinB=(b/a)sinA=(2/(2√3))sinA=1/√3sinA.由cosC=1/4，得sinC=√(1-cos^2C)=√(1-(1/4)^2)=√(1-1/16)=√(15/16)=√15/4.在△ABC中，A+B+C=π，所以B=π-A-C=π-A-arcsin(√15/4).sin(π-A-arcsin(√15/4))=sinAcos(arcsin(√15/4))-cosAsin(arcsin(√15/4)).sinB=sinA*(√15/4)-cosA*(√(1-(√15/4)^2)).sinB=(√15/4)sinA-cosA*(√(1-15/16))=(√15/4)sinA-cosA*(√(1/16))=(√15/4)sinA-cosA*(1/4).代入sinB=1/√3sinA，得1/√3sinA=(√15/4)sinA-1/4cosA.(√15/4-1/√3)sinA=1/4cosA.(√15/4-2√3/6)sinA=1/4cosA.(√15/4-√3/3)sinA=1/4cosA.(3√15-4√3)/12sinA=1/4cosA.(3√15-4√3)/3sinA=cosA.tanA=cosA/sinA=3/(3√15-4√3).sinA=(3/√(9*(15)+16*3))=3/√(135+48)=3/√183.(此处计算有误，正弦定理应用更直接)由正弦定理a/sinA=c/sinC，得2√3/sinA=√(16-4√3)/√15/4.2√3/sinA=2√(16-4√3)/√15.sinA=(√15/4)*(2/2√3)=(√15/4)*(√3/3)=√(15*3)/12=√45/12=3√5/12=√5/4.19.解析：(1)由cos(α-β)=4/5，得sin(α-β)=√(1-cos^2(α-β))=√(1-(4/5)^2)=√(1-16/25)=√(9/25)=3/5.由sin(α+β)=3/5，得cos(α+β)=√(1-sin^2(α+β))=√(1-(3/5)^2)=√(1-9/25)=√(16/25)=4/5.(注意α在第二象限，β在第一象限，所以α+β可能在第二或第四象限，cos(α+β)可能为负，但此处sin(α+β)=3/5推出cos(α+β)=4/5是因为3^2+4^2=5^2，故α+β在第一象限，cos为正).由cos(α+β)=4/5，sin(α-β)=3/5，得：cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=cos(α+β-(α-β))=cos(2β)=(4/5)*(4/5)+(3/5)*(3/5)=16/25+9/25=25/25=1.cos(α-β)cos(α+β)+sin(α+β)sin(α-β)=cos(α-(α+β))=cos(-β)=cosβ=1.因为β在第一象限，所以cosβ=1.同理，cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=cos(α+β+(α-β))=cos(2α)=(4/5)*(4/5)-(3/5)*(3/5)=16/25-9/25=7/25.由α在第二象限，得cosα<0,sinα>0.tanα=sinα/cosα<0.cosα=-√(1-sin^2α).由sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=3/5，cosβ=1，sinβ=√(1-cos^2β)=√(1-1^2)=0.3/5=sinα*1+cosα*0=sinα.sinα=3/5.cosα=-√(1-(3/5)^2)=-√(1-9/25)=-√(16/25)=-4/5.所以tanα=sinα/cosα=(3/5)/(-4/5)=-3/4.20.解析：(1)f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=√2[sin(ωx+φ)cos(π/4)-cos(ωx+φ)sin(π/4)]=√2sin(ωx+φ-π/4).函数f(x)的最小正周期T=2π/ω.(2)若f(x)的图像经过点(π/4,0)，则f(π/4)=√2sin(ω(π/4)+φ-π/4)=0.ω(π/4)+φ-π/4=kπ(k∈Z).φ=kπ-ωπ/4+π/4=(k-ω/4+1/4)π.因为φ∈(0,π/2)，所以0<(k-ω/4+1/4)π<π/2.0<k-ω/4+1/4<1/2.-1/4<k-ω/4<1/4.1/4-k<ω/4<1/4+k.1/4-4k<ω<1/4+4k.因为ω>0，且k∈Z，考虑k=0时，1/4-0<ω<1/4+0，即1/4<ω<1/4，无解。考虑k=1时，1/4-4<ω<1/4+4，即-15/4<ω<17/4，结合ω>0，得0<ω<17/4。此时φ=(1-ω/4+1/4)π=(5/4-ω/4)π.考虑k=-1时，1/4-(-4)<ω<1/4+(-4)，即17/4<ω<-15/4，无解。所以需要结合ω>0和0<φ<π/2来确定唯一解。当k=1时，0<ω<17/4，φ=(5-ω)π/4。此时0<(5-ω)π/4<π/2，即0<5-ω<2，解得3<ω<5。因为0<ω<17/4，所以3<ω<min(5,17/4)。17/4=4.25，所以3<ω<5。因此，φ=(5-ω)π/4(ω∈(3,5)).(3)f(x)的最大值为√2.需要|sin(ωx+φ-π/4)|=1.即ωx+φ-π/4=kπ+π/2(k∈Z).ωx+φ=kπ+3π/4.x=(kπ+3π/4-φ)/ω.在区间[0,π]上，需要0≤(kπ+3π/4-φ)/ω≤π.0≤kπ+3π/4-φ≤πω.φ≤kπ+3π/4≤πω.要存在满足条件的φ，φ的上界πω必须大于φ的下界0(显然成立)。φ的下界必须大于等于0。φ的上界3π/4必须大于等于kπ(k=0时0，k=1时π，k=-1时-π，...).对于k=0，需要φ≤3π/4.对于k=1，需要φ≤πω，且φ≥π.对于k=-1，需要φ≤-πω，无解。综上，需要满足φ≤min(3π/4,πω)且φ≥max(0,π).要使得φ∈(0,π/2)，且φ≥π，这是不可能的。所以在区间[0,π]上，不存在f(x)的最大值等于√2的情形。21.解析：(1)设P(x_0,sinx_0).则A(1,0),P(x_0,sinx_0).直线PA的斜率k_PA=(sinx_0-0)/(x_0-1)=sinx_0/(x_0-1).直线PA的方程为y-sinx_0=(sinx_0/(x_0-1))(x-x_0).令y=cosx，得cosx-sinx_0=(sinx_0/(x_0-1))(x-x_0).|AB|=|(sinx_0/(x_0-1))(x-x_0)+sinx_0-cosx|/√((sinx_0/(x_0-1))^2+1)=|(sinx_0/(x_0-1))x-sinx_0/(x_0-1)*x_0+sinx_0-cosx|/√((sin^2x_0)/(x_0-1)^2+1)=|(sinx_0/(x_0-1))x+sinx_0(1-1/(x_0-1))-cosx|/√((sin^2x_0+(x_0-1)^2)/(x_0-1)^2)=|(sinx_0/(x_0-1))x+sinx_0(x_0-2)/(x_0-1)-cosx|/√((sin^2x_0+x_0^2-2x_0+1)/(x_0-1)^2)=|(sinx_0/(x_0-1))x+(sinx_0x_0-2sinx_0-cosx(x_0-1))/(x_0-1)|/√((sin^2x_0+x_0^2-2x_0+1)/(x_0-1)^2)=|sinx_0x-sinx_0+sinx_0x_0-2sinx_0-cosxx_0+cosx|/√(sin^2x_0+x_0^2-2x_0+1)=|sinx_0x_0-2sinx_0+cosx|/√(sin^2x_0+x_0^2-2x_0+1).(2)由|AB|=1，得|sinx_0x_0-2sinx_0+cosx|/√(sin^2x_0+x_0^2-2x_0+1)=1.sinx_0x_0-2sinx_0+cosx=±√(sin^2x_0+x_0^2-2x_0+1).平方两边，得(sinx_0x_0-2sinx_0+cosx)^2=sin^2x_0+x_0^2-2x_0+1.sin^2x_0x_0^2-4sinx_0sinx_0x_0+4sin^2x_0+cos^2x_0-2sinx_0cosx+2sinx_0cosx_0=sin^2x_0+x_0^2-2x_0+1.sin^2x_0x_0^2-4sin^2x_0x_0+4sin^2x_0+1-2sinx_0cosx+2sinx_0cosx_0=sin^2x_0+x_0^2-2x_0+1.sin^2x_0x_0^2-4sin^2x_0x_0+4sin^2x_0+2sinx_0cosx_0=sin^2x_0+x_0^2-2x_0.sin^2x_0x_0^2-4sin^2x_0x_0+3sin^2x_0+2sinx_0cosx_0+2x_0=x_0^2.x_0^2(sin^2x_0-4sin^2x_0+3)+2sinx_0cosx_0+2x_0=x_0^2.x_0^2(-3sin^2x_0+3)+2sinx_0cosx_0+2x_0=x_0^2.-3x_0^2sin^2x_0+3x_0^2+2sinx_0cosx_0+2x_0=x_0^2.-3x_0^2sin^2x_0+2x_0^2+2x_0+2sinx_0cosx_0=0.-3x_0^2sin^2x_0+2x_0(x_0+1)+2sinx_0cosx_0=0.令t=sinx_0cosx_0=(1/2)sin(2x_0)，则sinx_0cosx_0=t.-3x_0^2t^2+2x_0(x_0+1