南航材料力学课件08组合变形

1材料力学2026年5月6日第八章组合变形2第八章组合变形本章内容:1组合变形和叠加原理2拉伸或压缩与弯曲的组合3偏心压缩和截面核心

4扭转与弯曲的组合5 组合变形的普遍情况3§8.1组合变形与叠加原理1组合变形

基本变形

拉伸、压缩

剪切

弯曲

扭转

组合变形有两种或两种以上的基本变形同时发生。

求解组合变形的方法将载荷分为几组分别产生基本变形的载荷，然后应用叠加原理。42叠加原理如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷单独作用下的内力、应力、变形等的叠加而得到，且与各组载荷的加载次序无关。

叠加原理成立的条件(1)应力应变关系为线性关系，即满足胡克定

律；(2)变形是小变形，可以用原始尺寸原理。下面的讨论，都假设用叠加原理的条件成立。5§8.2拉伸或压缩与弯曲的组合例1(书例9.1)已知：P=8kN,AB为工字钢，材料为A3钢，[

]=100MPa。解：求:工字钢型号。AB受力如图这是组合变形问题

压弯组合。6取AB,受力如图这是组合变形问题

压弯组合。

求约束反力

内力图

危险截面C

截面7

内力图

危险截面C

截面

设计截面的一般步骤

先根据弯曲正应力选择工字钢型号；再按组合变形的最大正应力校核强度，必要 时选择大一号或大二号的工字钢；若剪力较大时，还需校核剪切强度。8

设计截面的一般步骤

先按弯曲正应力选择工字钢型号；再按组合变形的最大正应力校核强度，必要 时选择大一号或大二号的工字钢；若剪力较大时，还需校核剪切强度。

按弯曲正应力选择工字钢型号选16号工字钢

按最大正应力校核强度9

按弯曲正应力选择工字钢型号选16号工字钢

按最大正应力校核强度可以使用

本题不需要校核剪切强度拉(压)弯组合变形时，危险点的应力状态是单向应力状态。10例2(书例9.2)已知：铸铁框架，[

t]=30MPa,[

c]=160MPa。解：求：许可载荷P(kN)。这是组合变形问题

拉弯组合。

求内力(作用于截面形心)

几何参数11

几何参数

危险截面各截面相同

应力分布

求内力(作用于截面形心)取研究对象如图12

N引起的应力

My引起的应力

危险截面各截面相同

应力分布13

最大拉应力

最大压应力14

最大压应力

最大拉应力

由抗拉强度条件

由抗压强度条件

结论15§8.3偏心压缩和截面核心偏心压缩设O为形心，y轴和z轴均为形心主惯性轴。力作用点A的坐标：yp,zp.弯矩：16弯矩：坐标为y,z

的B点的应力：

应力17惯性矩可表为：

中性轴位置设中性轴上的点的坐标为y0,z0。18

中性轴位置设中性轴上的点的坐标为y0,z0。在上式中令

为零，得：

中性轴方程19

中性轴方程设中性轴在y轴和z轴上的截距为ay,az

，则有：由上可知：1)压力作用点与中性轴分别位于形心的两侧；2)中性轴将横截面分为两部分，一部分受压， 一部分受拉；20由上可知：1)压力作用点与中性轴分别位于形心的两侧；2)中性轴将横截面分为两部分，一部分受压， 一部分受拉；3)在截面的周边上，切 线与中性轴平行的点 的应力为极值。

截面核心在土木工程中，对于受偏心压缩的混凝土、大理石等柱子，要求在横截面上不出现拉应力。21

截面核心在土木工程中，对于受偏心压缩的混凝土、大理石等柱子，要求在横截面上不出现拉应力。使横截面上不出现拉应力的压力作用点的集合，称为截面核心。要使坐标为r,s

的C点的应力为零，则由22要使坐标为r,s

的C点的应力为零，则由使横截面上不出现拉应力的压力作用点的集合，称为截面核心。

直线pq的方程23要使坐标为r,s

的C点的应力为零，则由

直线pq的方程当压力作用点在直线pq上移动时，C点的应力保持为零。中性轴通过C点，但方位不断变化。

截面核心的确定24当压力作用点在直线pq上移动时，C点的应力保持为零。中性轴通过C点，但方位不断变化。

截面核心的确定

设AE为中性轴中性轴的截距为ay,az，由：a点坐标

设AB为中性轴b点25

截面核心的确定

设AE为中性轴中性轴的截距为ay,az，由：a点坐标

设AB为中性轴b点

同理可确定c,d,e点。

连线可得到截面核心。26例3(书例9.3)已知：矩形截面解：求：截面核心。对矩形截面

设AB为中性轴a点坐标AB直线的截距为：由：27

设AB为中性轴a点坐标AB直线的截距为：由：

设BC为中性轴b点坐标:

同理可确定c,d点坐标连线得截面核心。28§8.4扭转与弯曲的组合常见的弯扭组合变形的构件主要有

圆轴类

曲杆类这里主要考虑圆形截面杆的弯扭组合变形。

例子29

例子3031

内力图如图

危险截面E截面E截面的内力32E截面的内力

对圆截面杆可将两个方向的弯矩按矢量合成。33

对圆截面杆可将两个方向的弯矩按矢量合成。

危险点的应力

扭转切应力

弯曲正应力

弯曲切应力一般可忽略34

危险点的应力

扭转切应力

弯曲正应力

弯曲切应力一般可忽略

危险点的应力状态

相当应力35

相当应力

用内力表示的相当应力对圆截面杆同样可得36同样可得

矩形截面杆的弯扭组合变形问题

两个方向的弯矩不宜合成，可 分别计算应力。扭转切应力按矩形截面扭转公 式计算。37例3(书例9.5)已知：传动轴,45号钢，d=35mm,[

]=85Mpa,

输入功率N=2.2kW，n=966r/min。D=132mm，F+f=600N。齿轮E的d1=50mm。求：校核轴的强度。38解：

求外力

力偶矩

皮带张力又

齿轮作用力

将各力向轴线简化39

齿轮作用力

将各力向轴 线简化

画出内力图40

将各力向轴 线简化

画出内力图

危险截面B截面

B截面内力41

危险截面B截面

B截面内力

强度校核按第三强度理论校核安全42例3(书例9.6)已知:

曲轴,碳钢,各几何尺寸已知。P=32kN,F=17kN,

曲柄的惯性力C=3kN,平衡重的惯性力C1=7kN,[

]=120MPa

。求：校核曲轴的强度。解：

求外力43解：

求外力对主轴的扭矩(1)连杆轴颈的强度计算

危险截面连杆轴颈的中点

计算内力MzMyTQzQy取左半部分44

危险截面连杆轴颈的中点

强度校核按第四强度理论MzMyTQzQy

计算内力取左半部分45

强度校核按第四强度理论(2)主轴颈的强度计算

危险截面II-II截面MzMyTQzQy

计算内力取右段46(2)主轴颈的强度计算

危险截面II-II截面MzMyTQzQy

强度校核按第四强度理论

计算内力取右段47(3)曲柄的强度计算

强度校核按第四强度理论

危险截面III-III截面

取下半部分

计算内力QzQx48

取下半部分

计算内力QzQx六个内力分量中，只有一个为零。49

计算内力QzQxA点,

强度校核

危险点B点。

A点单向应力状态50QzQxA点,

强度校核

危险点B点。

A点单向应力状态

B点平面应力状态

扭转切应力51

B点平面应力状态

扭转切应力系数

根据比值h/b查表3.2(p.116)确定。本题中：52本题中：作线性插