南航材料力学课件13能量方法

1材料力学2026年5月6日第十三章能量方法2第十三章能量方法本章内容:1概述2杆件变形能的计算3变形能的普遍表达式

4互等定理5 卡氏定理6 虚功原理7 单位载荷法莫尔积分8 计算莫尔积分的图乘法3§13.1概述

能量原理与功和能有关的定理，统称为能量原理。运用能量原理求解问题的方法称为能量法。

功能原理外力的功等于变形能:§13.2杆件变形能的计算1轴向拉伸或压缩PlDl4§13.2杆件变形能的计算1轴向拉伸或压缩

轴力N是x的函数时

应变能密度PlDl5

应变能密度2纯剪切

应变能密度3扭转63扭转

扭矩T是x的函数时4弯曲

纯弯曲时转角74弯曲

纯弯曲时转角纯弯曲时各截面的弯矩相等，m为常数。变形能8变形能

横力弯曲时对细长梁，剪力引起的变形能与弯矩引起的变形能相比很小，通常可忽略不计。横力弯曲时，弯矩是x的函数。95用广义力和广义位移表示变形能可将统一写为6非线性弹性材料的变形能10例1(书例10.1)已知:

圆截面半圆曲杆，P,R,EI,GIp

。求：A点的垂直位移。解：1求内力

截面mn,取左段TM2变形能111求内力

截面mn,取左段2变形能TM123外力的功由U=W，得:13例2(书例10.2)已知:

应变能密度公式。求：横力弯曲时的弯曲变形能和剪切变形能公式。解：应变能密度为y处应力14解：应变能密度为y处应力

弯曲变形能15与前面导出的弯曲变形能公式相同。I

弯曲变形能

剪切应变能密度16

剪切变形能

剪切应变能密度记为

k17记为

k其中的系数对矩形截面圆截面薄壁圆环18例3(书例10.3)已知:

矩形截面简支梁。求：比较弯曲和剪切变形能的大小。解：由于对称性，只需计算一半梁中的变形能。

剪力方程

弯矩方程

弯曲变形能19

弯曲变形能

剪切变形能

两种变形能之比

对矩形截面又：20

两种变形能之比

对矩形截面又：

取

=0.3当h/l=1/5

时:当h/l=1/10

时:

所以，对长梁，剪切变形能可忽略不计。21§13.3变形能的普遍表达式1变形能的普遍表达式

比例加载比例系数

时广义力的大小为:

线弹性体无刚体位移广义力P1,

,Pn

力作用点沿力的方向的 广义位移

1,

,

n

22

时广义力的大小为:当

有d

时,

位移的增量为:则功的增量为:力的总功为:23力的总功为:由功能原理，变形能为:

变形能的普遍表达式注意：

i

是P1,P2,

,Pn

共同作用下的位移。取一微段为研究对象2组合变形时的变形能242组合变形时的变形能取一微段为研究对象由变形能的普遍表达式，有：积分可得杆的总变形能25积分可得杆的总变形能注：1)上式中忽略了剪切变形能；

2)若为非圆截面杆，则扭转变形能中的Ip

应改为It

；

3)不同内力分量引起的变形能可以叠加， 同一内力分量的变形能不能叠加。26§13.4互等定理1功的互等定理

两种加载方式下的 变形能1)先加第一组，再加 第二组。

线弹性体上作用有 两组力。第一组为P1,

,Pm;第二组为Q1,

,Qn。271)先加第一组，再加第二组

加完第一组力时的功为:

加完第二组力时，第二 组力的功为:

加第二组力时，第一组力的功为:

总的功为三项之和:28

加第二组力时，第一组力的功为:

总的功为三项之和:2)先加第二组，再加第一组292)先加第二组，再加第一组

加完第二组力时的功为:

加完第一组力时，第一 组力的功为:

加第一组力时，第二组力的功为:

总的功为三项之和:30

加第一组力时，第二组力的功为:

总的功为三项之和:

变形能与加载次序无关，所以:31

变形能与加载次序无关，所以:这就是功的互等定理，即:32这就是功的互等定理，即:第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。2位移互等定理当仅有两个力P1和P2作用时,P1P2记P1作用时，在P2作用点产生的沿P2作用线方向的位移为d21,

21332位移互等定理当仅有两个力P1和P2作用时,P1P2记P1作用时，在P2作用点产生的沿P2作用线方向的位移为d21,

21

12而P2作用时，在P1作用点产生的沿P1作用线方向的位移为d12

,则由功的互等定理，有:当P1=P2

时，则有34P1P2

21

12则由功的互等定理，有:当P1=P2

时，则有即:当P1=P2

时，P1作用点沿P1方向由于P2的作用而引起的位移，等于P2作用点沿P2方向由于P1的作用而引起的位移。

位移互等定理说明：1)位移应理解为广义位移；

2)功的互等定理和位移互等定理只对线弹

性材料和结构成立。35例4(书例10.4)已知:

静不定梁，P,

a,l

。求：用功的互等定理求B处反力。解：

取静定基

相当系统如图RB

取第一组力:P,RB

假想作用第二组力 为:X=1。

设第一组力在X作用点B引起的位移为

B

。

B36

取第一组力:P,RB

假想作用第二组力 为:X=1。

设第一组力在X作 用点B引起的位移 为

B

。RB

B

由变形协调条件：

第二组力X在P,RB作用点引起的位移为

1,

2。由上册书p.224

表6.1中的2，可得:37RB

B由上册书p.224

表6.1中的2，可得:

第一组力在第二组力引起的位移上的功为:

第二组力在第一组力引起的位移上的功为:38

第一组力在第二组力引起的位移上的功为:

第二组力在第一组力引起的位移上的功为:

由功的互等定理，二者应相等:39§13.5卡氏定理1卡氏第一定理设di有一增量Ddi,其它各dj不变，则

Pi作的功为PiDdi

，其它各Pj不作功，则:两边取极限，得:注：卡氏第一定理适用于非线性材料及结构， 是一个普遍定理，有较重要的理论价值。

卡氏第一定理402卡氏第二定理两边取极限，得:注：卡氏第一定理适用于非线性材料及结构， 是一个普遍定理，有较重要的理论价值。

卡氏第一定理设Pi有一增量DPi,其它各Pj不变，则Pi的增量DPi所作的功为DPiDdi/2，其它各Pi所作的功为PiDdi

。但由于di一般是未知的，使用不方便。41忽略高阶微量DPiDdi/2，有:2卡氏第二定理设Pi有一增量DPi,其它各Pj不变，则Pi的增量DPi所作的功为DPiDdi/2，其它各Pi所作的功为PiDdi

。

为应用功的互等定理，取两组力42忽略高阶微量DPiDdi/2，有:

为应用功的互等定理，取两组力将P1,P2,……,Pn看作第一组力,DPi看作第二组力。第一组力在第二组由功的互等定理,有力DPi

作用点引起的位移为di，第二组力在第一组力作用点引起的位移为Dd1，Dd2,……,Ddn。43将P1,P2,……,Pn看作第一组力,DPi

看作第二组力,第一组力在第二组由功的互等定理,有力DPi

作用点引起的位移为di，第二组力在第一组力作用点引起的位移为Dd1，Dd2,……,Ddn。44由功的互等定理,有两边取极限，得:注：推导卡氏第二定理时，用了功的互等定理， 所以它只适用于线弹性材料及结构。

卡氏第二定理3几种常见情况

横力弯曲453几种常见情况

横力弯曲横力弯曲的变形能代入卡氏第二定理交换求导和积分的次序，有

桁架、拉、压杆设有n根杆，则变形能为:46代入卡氏第二定理

桁架、拉、压杆设有n根杆，则变形能为:

扭转代入卡氏第二定理扭转变形能为:47

组合变形代入卡氏第二定理扭转变形能为:若Pi力同时引起轴力、扭矩和弯矩，则48

用卡氏定理解题的一般步骤1)求约束反力；2)分段列出内力方程（轴力、扭矩、弯矩方程）；3)对广义力求偏导数；4)将内力方程和偏导数代入卡氏定理，积分。49例1(书例10.5)已知:

EI,m,P,a,l。求：fC,

A。解：

求反力AB段

分段列弯矩方程RBRABC段50AB段

分段列弯矩方程BC段RBRA

求偏导数51

求偏导数

由卡氏定理RBRA

将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理52

由卡氏定理

将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理53

将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理

求

C54

求

CRBRA55

问题RBRA本例中求fC,

A。题中正好C点作用有P，A点作用有m。若没有P力作用或没有力偶m作用，则怎样求出

fC

或

A？56aa2aABCDm例2(书例10.6)已知:

EI为常数,m

。求：

C

及D点的水平位移

x，轴力及剪力不计。解：1为求

C

，加m2

分段列弯矩方程并求对m2的偏导数m2

求反力RAyRD

将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理积分求出57

将弯矩方程和偏导数 代入卡氏定理积分求出实际上并无m2

，所以令m2=0，得：通常在积分前即令m2=0，可使积分简单。aa2aABCDmm2RAyRD58aa2aABCDmPaRAx2为求

x

，加PaRAyRD

分段列弯矩方程并求 对Pa的偏导数

求反力

在弯矩方程和偏导数中，令Pa=0积分求出

将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理59§13.6虚功原理微小位移力在虚位移上所作的功。分为:

弹性体的虚位移：满足约束条件和连续条件的 微小位移。小变形2虚功1虚位移外力的虚功;内力的虚功

虚变形能3虚功原理外力的虚功等于内力的虚功。即:603虚功原理外力的虚功等于内力的虚功。即:4外力虚功表达式

广义力P1,

, Pn;

q(x)

力作用点沿力的

外力的虚功方向的广义虚位移61

外力的虚功5内力虚功表达式

取微段考虑

内力在刚体虚位移 上的虚功为零

内力在虚变形上作 虚功

不同内力的虚功可 以叠加微段上内力的虚功为62

不同内力的虚功可 以叠加积分可得物体上内力的总虚功为微段上内力的虚功为(忽略高阶微量后)63积分可得物体上内力的总虚功为6虚功方程将外力的虚功和内力的虚功代入虚功原理，得:

虚功原理可用于线弹性材料，也可用于非线

性弹性材料。64例

(书例10.9)已知:

P,1号杆长

l,,三杆材料均为相同的线弹性材料，截面积相同，E，A已知。求：三杆的内力。解：设平衡时，A点的真实位移为v。

各杆的伸长

由胡克定律n65

由胡克定律nv

设A点有一虚位移

外力虚功

内力虚功因为杆中轴力为常量66n

内力虚功因为杆中轴力为常量v而67

代入虚功方程

代入轴力表达式68§13.7单位载荷法莫尔积分为求出结构上某一点沿某方向的位移△

，1单位载荷法取结构在外载荷作用下产生加一单位载荷。由虚位移原理的真实位移作为虚位移，69取结构在外载荷作用下产生的真实位移作为虚位移，由虚位移原理为单位载荷引起的内力;其中，为外载荷引起的真实位移.

几种简化形式

以弯曲为主的杆

拉压杆

轴力为常量时70

几种简化形式

以弯曲为主的杆

拉压杆

轴力为常量时

n根杆(桁架)

扭转

注：1)单位载荷法可用于非线性弹性材料;71

扭转

注：1)单位载荷法可用于非线性弹性材料;2)若求出的△为正，则表示△与单位力的 方向相同。3)单位力和位移均为广义的。2莫尔积分对于线弹性材料，单位载荷法中的位移为722莫尔积分对于线弹性材料，单位载荷法中的位移为则:73则:这些公式统称为莫尔定理，积分称为莫尔积分。74这些公式统称为莫尔定理，积分称为莫尔积分。或:式中：加一杠的内力是单位力引起的内力； 未加杠的内力是原外力引起的内力。显然，莫尔积分仅适用于线弹性结构。75

求相对位移加一对方向相反的单位力。76例3(书例10.11)已知:

P,l,

,截面积A,求：B点垂直位移。解：单位载荷法可求解材料非线性问题。

对杆系

求杆的伸长应力应变关系为其中，C为常数，s,e

皆取绝对值。N1N2

取B点，受力如图77

对杆系

求杆的伸长N1N2

由平衡方程

应力

取B点，受力如图(压力)(压应力)78

应力

应变

杆的伸长79

杆的伸长

单位载荷引起的轴力1

取B点，受力如图

由平衡方程80例4(书例10.12)已知:

P,l,a,E,I1,I2,

不计轴力和剪力的影响。求：A点垂直位移

y及B截面的转角

B

。解：1实际载荷的弯矩

AB段在A点加y方向单位力laCEI2BAEI1x1x2P

BC段2求

y

CBAx1x21811实际载荷的弯矩

AB段在A点加y方向单位力

BC段2求

y

CBAx1x21

单位载荷的弯矩AB段BC段

代入莫尔积分公式82

代入莫尔积分公式

AB段

BC段83在B点加单位力偶矩2求

B

CBAx1x21

单位载荷的弯矩AB段BC段

代入莫尔积分公式84

代入莫尔积分公式

AB段

BC段CBAx1x21

这里的负号表示 转向为顺时针的85例5(书例10.13)已知:

平面桁架如图，P,a,

各杆EA相等。求：AC两点间的相对位移

AC

。解：1实际载荷的轴力

用节点法可求出各杆的 轴力。在A、C两点沿AC方向加一对方向相反的单位力。2加单位力PAFDCBE154326798aaa86在A、C两点沿AC方向加一对方向相反的单位力。2加单位力1AFDCBE154326798aaa1

用节点法可求出在这一 对单位力作用下，各杆 的轴力。3代入莫尔积分公式87例6(书例10.14)已知:

活塞环如图，P,

R,EI。求：切口处的张开量。解：

对曲杆，可近似用 对直杆的公式。

只考虑弯矩的影响1实际载荷的弯矩由于对称性，只需列出半圆部分的弯矩。

处截面:PPAB

881实际载荷的弯矩由于对称性，只需列出半圆部分的弯矩。

处截面:在A、B两点沿AB方向加一对方向相反的单位力。2加单位力PPAB

AB

11

单位载荷的弯矩

处截面:891实际载荷的弯矩PPAB

单位载荷的弯矩3代入莫尔积分公式2加单位力90§13.8计算莫尔积分的图乘法杆件为等截面直杆。

图乘法的条件莫尔积分对等截面直杆，EI,GIp或EA为常量。所以需要计算积分成为

用图乘法计算莫尔积分91所以需要计算积分

用图乘法计算莫尔积分

通常是x的线性函数

设直线与x轴的夹角为

则有：上述积分可表示为：M(x)弯矩图的面积对y轴的静矩。92M(x)弯矩图的面积对y轴的静矩。记M(x)弯矩图的面积为

。根据静矩的计算公式，有:93式中，为图中与图的形心位置C所对应处的纵坐标。

莫尔积分的图乘公式为94

莫尔积分的图乘公式为

此式对轴力和扭矩也适用即：莫尔积分的计算，可用载荷的弯矩图的面积与该图形形心位置所对应之处的单位载荷(直线)的弯矩图的幅度之积代替