内科大材料力学（材料、成型、矿物等）课件第11章 能量方法

材料力学第十一章能量方法第十一章能量方法

§11–1

变形能的普遍表达式§11–2莫尔定理(单位力法)§11–3截面上的应力及强度条件§11–1变形能的普遍表达式一、能量原理：二、杆件变形能的计算：1.轴向拉压杆的变形能计算：能量方法弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，即利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。2.扭转杆的变形能计算：3.弯曲杆的变形能计算：能量方法三、变形能的普遍表达式：变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加。细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。能量方法QMNMTAAPNBjT例1图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作

用，求A点的垂直位移。解：用能量法（外力功等于应变能）①求内力能量方法APR③外力功等于应变能②变形能：能量方法例2用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能在应用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？能量方法qCaaAPBf§11–2

莫尔定理(单位力法)求任意点A的位移fA。一、定理的证明：能量方法aA图fAq(x)图c

A0P=1q(x)fA图b

A=1P0

莫尔定理(单位力法)二、普遍形式的莫尔定理能量方法三、使用莫尔定理的注意事项：④M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。⑤莫尔积分必须遍及整个结构。②M0——去掉主动力，在所求广义位移

点，沿所求

广义位移

的方向加广义单位力

时，结构产生的内力。①M(x)：结构在原载荷下的内力。③所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。能量方法例3用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。解：①画单位载荷图②求内力能量方法BAaaCqBAaaC0P=1x③变形能量方法BAaaC0P=1BAaaCqx④求转角，重建坐标系（如图）

能量方法qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1

d)()(

)()()(00)(00òò+=aBCaABxEIxMxMdxEIxMxM例4拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移。解：①画单位载荷图②求内力能量方法510

20A300P=60NBx500Cx1510

20A300Bx500C=1P0③变形能量方法§11–3卡氏定理给Pn

以增量dPn

，则：1.先给物体加P1、

P2、•••、

Pn

个力，则：2.先给物体加力

dPn

，则：一、定理证明

能量方法dn再给物体加P1、

P2、•••、Pn个力，则：

能量方法dnn=nPU¶¶d第二卡氏定理意大利工程师—阿尔伯托·卡斯提安诺(AlbertoCastigliano，1847～1884)二、使用卡氏定理的注意事项：①U——整体结构在外载作用下的线弹性变形能②

Pn视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为Pn的函数③

n为Pn

作用点的沿Pn

方向的变形。④当无与

n对应的Pn

时，先加一沿

n

方向的Pn

，求偏导后，再令其为零。能量方法dn三、特殊结构（杆）的卡氏定理：能量方法例5结构如图，用卡氏定理求A

面的挠度和转角。③变形①求内力解：求挠度，建坐标系②将内力对PA求偏导能量方法ALPEIxO

求转角

A①求内力没有与

A向相对应的力（广义力），加之。“负号”说明

A与所加广义力MA反向。②将内力对MA求偏导后，令M

A=0③求变形（注意：MA=0）能量方法LxO

APMA例6结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。解：求挠曲线——任意点的挠度f（x）①求内力②将内力对Px求偏导后，令Px=0没有与f（x）相对应的力，加之。能量方法PALxBPx

CfxOx1③变形（注意：Px=0）能量方法例7

等截面梁如图，用卡氏定理求B

点的挠度。②求内力解：1.依求多余反力，③将内力对RC求偏导①取静定基如图能量方法PCAL0.5

LBfxOPCAL0.5

LBRC