内科大材料力学教案

第一讲材料力学教案PAGE2PAGE1第1讲教学方案——绪论基本内容材料力学的基本任务、变形固体的基本假设、内力的概念及求截面上内力的方法、应力应变的概念、杆件变形的基本形式。教学目的掌握构件强度、刚度和稳定性的概念，明确材料力学这门课的基本任务和学习目的。深入理解变形固体基本假设的内涵和意义。准确理解内力、应力和应变的概念及其物理含义。熟练应用截面法求截面上的内力。掌握杆件四种基本变形的受力和变形特点。重点、难点本节重点：基本概念和假设的定义与理解，用截面法求构件截面上内力。本节难点：材料内一点受力和变形程度的度量方法——应力、应变的定义方法和物理含义。

材料力学材料力学是应用力学的一个分支，是一门技术基础课，是以数学、物理、理论力学为基础的课，又是某些课的基础，如机械零件、结构力学、机床设计——主要研究构件在外力作用下的应力和变形。第一章绪论§1-1材料力学的基本任务一、材料力学的任务：任何机械，各种结构物，在正常工作状态下组成它们的每一个构件都要受到从相邻件或从其它构件传递来的外力——载荷的作用。例如，车床主轴，切削力，齿轮啮合力材料力学是一门研究各种构件抗力性能：承载能力的一门科学1．几个术语构件与杆件：组成机械的零部件或工程结构中的构件统称为构件。如图1-1a所示桥式起重机的主梁、吊钩、钢丝绳；图1-2所示悬臂吊车架的横梁AB，斜杆CD都是构件。实际构件有各种不同的形状，所以根据形状的不同将构件分为：杆件、板和壳、块体。杆件：长度远大于横向尺寸的构件，其几何要素是横截面和轴线，如图1-3a所示，其中横截面是与轴线垂直的截面；轴线是横截面形心的连线。按横截面和轴线两个因素可将杆件分为：等截面直杆，如图1-3a、b；变截面直杆，如图1-3c；等截面曲杆和变截面曲杆如图1-3b。板和壳：构件一个方向的尺寸（厚度）远小于其它两个方向的尺寸，如图1-4a和b所示。块体：三个方向（长、宽、高）的尺寸相差不多的构件，如图1-4c所示。在本教程中，如未作说明，构件即认为是指杆件。·变形与小变形：在载荷作用下，构件的形状及尺寸发生变化称为变形，如图1-2所示悬臂吊车架的横梁AB，受力后将由原来的位置弯曲到AB′位置，即产生了变形。小变形：绝大多数工程构件的变形都极其微小，比构件本身尺寸要小得多，以至在分析构件所受外力（写出静力平衡方程）时，通常不考虑变形的影响，而仍可以用变形前的尺寸，此即所谓“原始尺寸原理”。如图1-1a所示桥式起重机主架，变形后简图如图1-1b所示，截面最大垂直位移f一般仅为跨度l的l/1500～1/700，B支撑的水平位移Δ则更微小，在求解支承反力RA、RB时，不考虑这些微小变形的影响。2．对构件的三项基本要求强度：构件在外载作用下，具有足够的抵抗断裂破坏的能力。例如储气罐不应爆破；机器中的齿轮轴不应断裂等。刚度：构件在外载作用下，具有足够的抵抗变形的能力。如机床主轴不应变形过大，否则影响加工精度。稳定性：某些构件在特定外载，如压力作用下，具有足够的保持其原有平衡状态的能力。例如千斤顶的螺杆，内燃机的挺杆等。构件的强度、刚度和稳定性问题是材料力学所要研究的主要内容。3．材料力学的任务1）研究构件的强度、刚度和稳定性；2）研究材料的力学性能；3）为合理解决工程构件设计中安全与经济之间的矛盾提供力学方面的依据。构件的强度、刚度和稳定性问题均与所用材料的力学性能有关，因此实验研究和理论分析是完成材料力学的任务所必需的手段。§1-3变形固体及其基本假设在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体，而构件一般均由固体材料制成，所以构件一般都是变形固体。由于变形固体种类繁多，工程材料中有金属与合金，工业陶瓷，聚合物等，性质是多方面的，而且很复杂，因此在材料力学中通常省略一些次要因素，对其作下列假设：1．连续性假设：认为整个物体所占空间内毫无空隙地充满物质。2．均匀性假设：认为物体内的任何部分，其力学性能相同。3．各向同性假设：认为物体内在各个不同方向上的力学性能相同。外力是外部物体对构件的作用力，包括外加载荷和约束反力。1.按外力的作用方式分为：体积力和表面力1）体积力：连续分布于物体内部各点上的力，如物体的自重和惯性力。2）表面力：作用于物体表面上的力，又可分为分布力和集中力。分布力是连续作用于物体表面的力，如作用于船体上的水压力等；集中力是作用于一点的力，如火车轮对钢轨的压力等。2.按外力的性质分为：静载荷和动载荷1）静载荷：载荷缓慢地由零增加到某一定值后，不再随时间变化，保持不变或变动很不显著，称为静载荷。2）动载荷：载荷随时间而变化。动载荷可分为构件具有较大加速度、受交变载荷和冲击载荷三种情况。交变载荷是随时间作周期性变化的载荷；冲击载荷是物体的运动在瞬时内发生急剧变化所引起的载荷。§1-4内力、截面法1．内力由于构件变形，其内部各部分材料之间因相对位置发生改变，从而引起相邻部分材料间因力图恢复原有形状而产生的相互作用力，称为内力。注意：材料力学中的内力，是指外力作用下材料反抗变形而引起的内力的变化量，也就是“附加内力”，它与构件所受外力密切相关。2．截面法假想用截面把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。如图1-5所示：（1）截面的两侧必定出现大小相等，方向相反的内力；（2）被假想截开的任一部分上的内力必定与外力相平衡。例1-1钻床如图1-6a所示，在载荷P作用下，试确定截面m—m上的内力。解：（1）沿m—m截面假想地将钻床分成两部分。取m—m截面以上部分进行研究（图1-6b），并以截面的形心O为原点。选取坐标系如图所示。（2）为保持上部的平衡，m—m截面上必然有通过点O的内力N和绕点O的力偶矩M。（3）由平衡条件∴因此用截面法求内力可归纳为四个字：1）截：欲求某一截面的内力，沿该截面将构件假想地截成两部分。2）取：取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分。3）代：用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下部分的作用力。4）平：建立留下部分的平衡条件，由外力确定未知的内力。§1-5内力、应变、胡克定律1．应力参照图1-7，围绕K点取微小面积。根据均匀连续假设，上必存在分布内力，设它的合力为，与的比值为是一个矢量，代表在范围内，单位面积上的内力的平均集度，称为平均应力。当趋于零时，的大小和方向都将趋于一定极限，得到称为K点处的（全）应力。通常把应力分解成垂直于截面的分量和切于截面的分量，称为正应力，称为剪应力。应力即单位面积上的内力，表示某微截面积处内力的密集程度。应力的国际单位为N/m2，且1N/m2=1Pa（帕斯卡），1GPa=1GN/m2=109Pa，1MN/m2=1MPa=106N/m2=106Pa。在工程上，也用kg(f)/cm2为应力单位，它与国际单位的换算关系为1kg/cm2=0.1MPa。对于构件上任“一点”材料的变形，只有线变形和角变形两种基本变形，它们分别由线应变和角应变来度量。2．线应变通常用正微六面体（下称微单元体）来代表构件上某“一点”。如图1-8，微单元体的棱边边长为，变形后其边长和棱边的夹角都发生了变化。变形前平行于x轴的线段MN原长为，变形后M和N分别移到M′和N′，的长度为，这里于是表示线段MN每单位长度的平均伸长或缩短，称为平均线应变，若使趋近于零，则有一点线应变称为M点沿x方向的线应变或正应变，或简称为应变。线应变，即单位长度上的变形量，为无量纲量，其物理意义是构件上一点沿某一方向线变形量的大小。3．角应变如图1-6，正交线段MN和ML经变形后，分别是和。变形前后其角度的变化是，当N和L趋近于M时，上述角度变化的极限值是称为M点在xy平面内的剪应变或角应变。剪应变，即微单元体两棱角直角的改变量，为无量纲量。例1-2图1-9a所示为一矩形截面薄板受均布力p作用，已知边长l=400mm，受力后沿x方向均匀伸长Δl=0.05mm。试求板中a点沿x方向的正应变。解：由于矩形截面薄板沿x方向均匀受力，可认为板内各点沿x方向具有正应力与正应变，且处处相同，所以平均应变即a点沿x方向的正应变。，x方向例1-3图1-9b所示为一嵌于四连杆机构内的薄方板，b=250mm。若在p力作用下CD杆下移Δb=0.025，试求薄板中a点的剪应变。解：由于薄方板变形受四连杆机构的制约，可认为板中各点均产生剪应变，且处处相同。§1-6杆件的基本变形形式杆件受力有各种情况，相应的变形就有各种形式，在工程结构中，杆件的基本变形只有以下四种：1．拉伸和压缩：变形形式是由大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对力引起的，表现为杆件长度的伸长或缩短。如托架的拉杆和压杆受力后的变形（图1-10）。2．剪切：变形形式是由大小相等、方向相反、相互平行的一对力引起的，表现为受剪杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动。如连接件中的螺栓和销钉受力后的变形（图1-11）。3．扭转：变形形式是由大小相等、转向相反、作用面都垂直于杆轴的一对力偶引起的，表现为杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。如机器中的传动轴受力后的变形（图1-12）。4．弯曲：变形形式是由垂直于杆件轴线的横向力，或由作用于包含杆轴的纵向平面内的一对大小相等、方向相反的力偶引起的，表现为杆件轴线由直线变为受力平面内的曲线。如单梁吊车的横梁受力后的变形（图1-13）。杆件同时发生几种基本变形，称为组合变形。

第2讲教学方案——拉压杆的内力和应力基本内容杆件轴向拉伸与压缩时的内力与应力计算教学目的通过几个杆件拉压的工程实例，建立从工程实例向计算模型简化的初步概念，并给出拉压杆的几个基本概念。熟练掌握轴力图的绘制方法。理解掌握横截面与任意斜截面上应力的计算公式和推导方法。重点、难点本节重点：轴力与轴力图，拉压杆的应力计算。本节难点：拉压杆应力计算公式推导过程中的平面假设。

第二章轴向拉伸与压缩§2-1轴向拉伸与压缩的概念与实例轴向拉伸和压缩的杆件在生产实际中经常遇到，虽然杆件的外形各有差异，加载方式也不同，但一般对受轴向拉伸与压缩的杆件的形状和受力情况进行简化，计算简图如图2-1。轴向拉伸是在轴向力作用下，杆件产生伸长变形，也简称拉伸；轴向压缩是在轴向力作用下，杆件产生缩短变形，也简称压缩。实例如图2-2所示用于连接的螺栓；如图2-3所示桁架中的拉杆；如图2-4所示汽车式起重机的支腿；如图2-5所示巷道支护的立柱。通过上述实例得知轴向拉伸和压缩具有如下特点：1.受力特点：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反，作用线与杆件轴线重合，即称轴向力。2.变形特点：杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。§2-2横截面上的内力和应力1．内力在图2-6所示受轴向拉力P的杆件上作任一横截面m—m，取左段部分，并以内力的合力代替右段对左段的作用力。由平衡条件，得由于（拉力），则合力的方向正确。因而当外力沿着杆件的轴线作用时，杆件截面上只有一个与轴线重合的内力分量，该内力（分量）称为轴力，一般用N表示。若取右段部分，同理，知得图中的方向也是正确的。材料力学中轴力的符号是由杆件的变形决定，而不是由平衡坐标方程决定。习惯上将轴力N的正负号规定为：拉伸时，轴力N为正；压缩时，轴力N为负。2．轴力图轴力图可用图线表示轴力沿轴线变化的情况。该图一般以杆轴线为横坐标表示截面位置，纵轴表示轴力大小。例2-1求如图2-7所示杆件的内力，并作轴力图。解：（1）计算各段内力AC段：作截面1—1，取左段部分（图b）。由得 kN（拉力）CB段：作截面2-2，取左缎部分（图），并假设方向如图所示。由得（2）绘轴力图选截面位置为横坐标；相应截面上的轴力为纵坐标，根据适当比例，绘出图线。由图2-7可知CB段的轴力值最大，即kN。注意两个问题：1）求内力时，外力不能沿作用线随意移动（如P2沿轴线移动）。因为材料力学中研究的对象是变形体，不是刚体，力的可传性原理的应用是有条件的。2）截面不能刚好截在外力作用点处（如通过C点），因为工程实际上并不存在几何意义上的点和线，而实际的力只可能作用于一定微小面积内。例，已知：求：各段内力，并作轴力图解：运用截面法：截、抛、代、平。；（拉）；2）轴力：为杆件上任一截面上的内力其作用线垂直于横截面或通过形心即与轴线重合，称之为轴力。3）轴力图：为了把轴力的变化直接显示出来我们平行与杆件轴线引轴，以横坐标3．轴向拉（压）杆横截面上的应力1）由于只根据轴力并不能判断杆件是否有足够的强度，因此必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。为了求得应力分布规律，先研究杆件变形，为此提出平面假设。平面假设：变形之前横截面为平面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，如图2-8所示。根据平面假设得知，横截面上各点沿轴向的正应变相同，由此可推知横截面上各点正应力也相同，即等于常量。2）由静力平衡条件确定的大小由于，所以积分得 则 （2-1）式中：—横截面上的正应力—横截面上的轴力—横截面面积正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。对于图2-9所示斜度不大的变截面直杆，在考虑杆自重（容重）引起的正应力时，也可应用（2-1）式 （2-2）其中若不考虑自重，则对于等截面直杆，由式（2-1）知最大正应力发生在最大轴力处，此处最易破坏。而对于变截面直杆，最大正应力的大小不但要考虑，同时还要考虑。必须指出，实际构件两端并非直接作用着一对轴向力，而是作用着与两端加载方式有关的分布力，轴向力只是它们静力等效的合力，如图2-2、2-4中的轴向力是通过螺齿作用呈轴对轴分布的分布力的合力。圣维南原理指出：如将作用于构件上某一小区域内的外力系（外力大小不超过一定值）用一静力等效力系来代替，则这种代替对构件内应力与应变的影响只限于离原受力小区域很近的范围内。对于杆件，此范围相当于横向尺寸的1～1.5倍。4．轴向拉（压）杆斜截面上的应力有时拉（压）杆件沿斜截面发生破坏，此时如何确定斜截面k—k上的应力？设等直杆的轴向拉力为（如图2-12），横截面面积为，由于k—k截面上的内力仍为而且由斜截面上沿x方向伸长变形仍均匀分布可知，斜截面上应力仍均匀分布。若以表示斜截面k—k上的应力，于是有而，所以 则将斜截面上全应力分解成正应力和剪应力，有 （2-3） （2-4）正负号分别规定为：—自x轴逆时针转向斜截面外法线n，为正；反之为负；—拉应力为正，压应力为负；—取保留截面内任一点为矩心，当对矩心顺时针转动时为正，反之为负。讨论式（2-3）和（2-4）：1）当时，横截面，2）当时，斜截面，3）当时，纵向截面，结论：对于轴向拉（压）杆，，发生在横截面上；，发生在沿顺时针转45°角的斜截面上。同样大小的剪应力也发生在的斜面上。例2-4木立柱承受压力，上面放有钢块。如图2-13所示，钢块截面积为cm2，MPa，木柱截面积cm2，求木柱顺纹方向剪应力大小及指向。解：（1）计算木柱压力，由所以kN（压力）（2）计算木柱的剪应力横截面上MPa（压应力）则MPa指向如图所示。

第3讲教学方案——材料在拉伸与压缩时的力学性能许用应力与强度条件基本内容各种材料在轴向拉伸与压缩时的力学性能、安全系数和许用应力的概念、强度条件及其应用。教学目的掌握几种典型材料的拉压曲线及相应的基本概念和力学量。比较几种不同材料拉压曲线和性能的异同。建立许用应力的概念。理解安全系数的概念和选取原则。熟练掌握利用强度条件进行强度校核、截面设计和许可载荷计算。重点、难点本节重点：低碳钢与铸铁拉伸与压缩时的力学性能，许用应力与强度条件。本节难点：脆性与塑性材料的破坏特点与许用应力。

§2-4材料在拉伸时的力学性能材料的力学性能：也称机械性能。通过试验揭示材料在受力过程中所表现出的与试件几何尺寸无关的材料本身特性。如变形特性，破坏特性等。研究材料的力学性能的目的是确定在变形和破坏情况下的一些重要性能指标，以作为选用材料，计算材料强度、刚度的依据。因此材料力学试验是材料力学课程重要的组成部分。此处介绍用常温静载试验来测定材料的力学性能。1.试件和设备标准试件：圆截面试件，如图2-14：标距与直径的比例分为，，；板试件（矩形截面）：标距与横截面面积的比例分为，，；试验设备主要是拉力机或全能机及相关的测量、记录仪器。详细介绍见材料力学试验部分。国家标准《金属拉伸试验方法》（如GB228-87）详细规定了实验方法和各项要求。2.低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢是指含碳量在0.3%以下的碳素钢，如A3钢、16Mn钢。1）拉伸图（P—ΔL），如图2-15所示。弹性阶段（oa）屈服（流动）阶段（bc）强化阶段（ce）由于P—ΔL曲线与试样的尺寸有关，为了消除试件尺寸的影响，可采用应力应变曲线，即曲线来代替P—ΔL曲线。进而试件内部出现裂纹，名义应力下跌，至f点试件断裂。对低碳钢来说，，是衡量材料强度的重要指标。2）曲线图，如图2-16所示，其各特征点的含义为：oa段：在拉伸（或压缩）的初始阶段应力与应变为直线关系直至a点，此时a点所对应的应力值称为比例极限，用表示。它是应力与应变成正比例的最大极限。当则有（2-5）即胡克定律，它表示应力与应变成正比，即有为弹性模量，单位与相同。当应力超过比例极限增加到b点时，关系偏离直线，此时若将应力卸至零，则应变随之消失（一旦应力超过b点，卸载后，有一部分应变不能消除），此b点的应力定义为弹性极限。是材料只出现弹性变形的极限值。bc段：应力超过弹性极限后继续加载，会出现一种现象，即应力增加很少或不增加，应变会很快增加，这种现象叫屈服。开始发生屈服的点所对应的应力叫屈服极限。又称屈服强度。在屈服阶段应力不变而应变不断增加，材料似乎失去了抵抗变形的能力，因此产生了显著的塑性变形（此时若卸载，应变不会完全消失，而存在残余变形）。所以是衡量材料强度的重要指标。表面磨光的低碳钢试样屈服时，表面将出现与轴线成45°倾角的条纹，这是由于材料内部晶格相对滑移形成的，称为滑移线，如图2-17所示。ce段：越过屈服阶段后，如要让试件继续变形，必须继续加载，材料似乎强化了，ce段即强化阶段。应变强化阶段的最高点（e点）所对应的应力称为强度极限。它表示材料所能承受的最大应力。过e点后，即应力达到强度极限后，试件局部发生剧烈收缩的现象，称为颈缩，如图2-18所示。3）延伸率和截面收缩率为度量材料塑性变形的能力，定义延伸率为%此处l为试件标线间的标距，l1为试件断裂后量得的标线间的长度。定义截面收缩率为%此处A为试件原园面积，A1为断裂后试件颈缩处面积。对于低碳钢：%，%，这两个值越大，说明材料塑性越好。工程上通常按延伸率的大小把材料分为两类：%—塑性材料；%—脆性材料。4）卸载规律及冷作硬化卸载规律：试样加载到超过屈服极限后（见图2-16中d点）卸载，卸载线大致平行于线，此时，其中为卸载过程中恢复的弹性应变，为卸载后的塑性变形（残余变形），卸载至后若再加载，加载线仍沿线上升，因此加载的应力应变关系符合胡克定律。冷作硬化：上述材料进入强化阶段以后的卸载再加载历史（如经冷拉处理的钢筋），使材料此后的关系沿ef路径，此时材料的比例极限和开始强化的应力提高了，而塑性变形能力降低了，这一现象称为冷作硬化。3．其它塑性材料拉伸时的力学性能此类材料与低碳钢共同之处是断裂破坏前要经历大量塑性变形，不同之处是没有明显的屈服阶段。对于曲线没有“屈服平台”的塑性材料，工程上规定取完全卸载后具有残余应变量%时的应力叫名义屈服极限，用表示。4．铸铁拉伸时的力学性能具有以下特点如图2-19所示灰口铸铁拉伸时的应力—应变关系，它只有一个强度指标；且抗拉强度较低；2）在断裂破坏前，几乎没有塑性变形；3）关系近似服从胡克定律，并以割线的斜率作为弹性模量。§2-5材料在压缩时的力学性能金属材料的压缩试件一般为短圆柱，其高度与直径之比为。1．低碳钢压缩时的曲线低碳钢压缩时的曲线，如图2-20所示。与拉伸时大致相同。因越压越扁，得不到。2．铸铁压缩时的曲线铸铁压缩时的曲线，如图2-21所示。注意到：1）由于材料组织结构内含缺陷较多，铸铁的抗压强度极限与其抗拉强度极限均有较大分散度，但抗压强度极限大大高于抗拉强度极限，其关系大约为；2）显示出一定程度的塑性变形特征，致使短柱试样断裂前呈现园鼓形；3）破坏时试件的断口沿与轴线大约成50°的斜面断开，为灰暗色平断口。（图2-21）与铸铁在机械工程中广泛作为机械底座等承压部件相类似，作为另一类典型的脆性材料的混凝土，石料等则是建筑工程中重要的承压材料§2-7许用应力，强度条件1．安全系数与许用应力由于各种原因使结构丧失其正常工作能力的现象，称为失效。工程材料失效的两种形式为：（1）塑性屈服，指材料失效时产生明显的塑性变形，并伴有屈服现象。如低碳钢、铝合金等塑性材料。（2）脆性断裂，材料失效时几乎不产生塑性变形而突然断裂。如铸铁、混凝土等脆断材料。许用应力：保证构件安全可靠工作所容许的最大应力值。对于塑性材料，进入塑性屈服时的应力取屈服极限，对于某些无明显屈服平台的合金材料取，则危险应力或；对于脆性材料：断裂时的应力是强度极限，则。构件许用应力用表示，则工程上一般取塑性材料： ；脆性材料： 分别为塑性材料和脆性材料的安全系数。2．强度条件安全系数或许用应力的选定应根据有关规定或查阅国家有关规范或设计手册。通常在静荷设计中取，有时可取，有时甚至大于3.5以上安全系数的选取原则充分体现了工程上处理安全与经济一对矛盾的原则，是复杂、审慎的事。现从力学角度讨论其影响因素：对载荷估计的准确性与把握性：如重力、压力容器的压力等可准确估计与测量，大自然的水力、风力、地震力等则较难估计。（2）材料的均匀性与力学性能指标的稳定性：如低碳钢之类塑性材料组织较均匀，强度指标较稳定，塑性变形阶段可作为断裂破坏前的缓冲，而铸铁之类脆性材料正相反，强度指标分散度大、应力集中、微细观缺陷对强度均造成极大影响。（3）计算公式的近似性：由于应力、应变等理论计算公式建立在材料均匀连续，各向同性假设基础上，拉伸（压缩）应力，变形公式要求载荷通过等直杆的轴线等，所以材料不均匀性，加载的偏心，杆件的初曲率都会造成理论计算的不精确。（4）环境：工程构件的工作环境比实验室要复杂的多，如加工精度，腐蚀介质，高、低温等问题均应予以考虑。设是发生在轴力最大处的应力（等直截面杆），则拉伸（压缩）强度条件为（2-5）根据上述强度条件可以解决以下三方面问题：1）校核强度是否满足。2）设计截面， 3）确定构件所能承受的最大安全载荷， 进而由Nmax与载荷的平衡关系得到许可载荷，而对于变截面杆（如阶梯杆），不一定在Nmax处，还与截面积A有关。例2-5杆系结构如图2-22所示，已知杆AB、AC材料相同，MPa，横截面积分别为mm2，mm2，试确定此结构许可载荷[P]。解：（1）由平衡条件计算实际轴力，设AB杆轴力为，AC杆轴力为。对于节点A，由得（a）由得（b）由强度条件计算各杆容许轴力kN（c）kN（d）由于AB、AC杆不能同时达到容许轴力，如果将，代入（2）式，解得 kN显然是错误的。正确的解应由（a）、（b）式解得各杆轴力与结构载荷P应满足的关系 （e） （f）（2）根据各杆各自的强度条件，即，计算所对应的载荷，由（c）、（e）有 kN kN kN（g）由（d）、（f）有 kN kN kN（h）要保证AB、AC杆的强度，应取（g）、（h）二者中的小值，即，因而得 kN上述分析表明，求解杆系结构的许可载荷时，要保证各杆受力既满足平衡条件又满足强度条件。例，已知：一个三角架，斜杆有两根等边角钢组成，横杆由两根10号槽刚组成，材料为A3，。求：许可载荷1）受力分析：：：2）计算许可轴力查型钢表：；由强度计算公式：则：3）计算许可载荷：将；；

第4讲教学方案——拉压杆的变形与变形能基本内容拉压杆的变形与变形能。教学目的熟练掌握各种拉压杆（等直杆、阶梯杆、变截面杆）变形的计算方法。掌握横向变形和泊松比的概念。掌握应变能密度的概念，熟练变形能的计算。理解利用小变形假设，用切线代替圆弧的方法求解简单平面静定行架结构变形的方法。重点、难点本节重点：拉压杆的变形与变形能、简单平面静定行架结构变形的计算。本节难点：用切线代替圆弧的方法求解简单平面静定行架结构变形。

§2-8拉伸或压缩时的变形1．沿杆件轴线的轴向变形如图2-23，设等直杆的原长为，横截面面积为。在轴向力作用下，长度由变为。杆件在轴线方向的伸长，即轴向变形为（1）由于杆内各点轴向应力与轴向应变为均匀分布，所以一点轴向线应变即为杆件的伸长除以原长：（2）由得 所以（2-6）式（2-6）表示：当应力不超过比例极限时，杆件的伸长与拉力和杆件的原长度成正比，与横截面面积成反比。这是胡克定律的另一种表达形式。式中是材料弹性模量与拉压杆件横截面面积乘积，EA越大，则变形越小，将EA称为抗拉（压）刚度。2．横向变形若在图2-23中，设变形前杆件的横向尺寸为，变形后相应尺寸变为，则横向变形为 横向线应变可定义为 由实验证明，在弹性范围内（2-7）为杆的横向线应变与轴向线应变代数值之比。由于为反映材料横向变形能力的材料弹性常数，为正值，所以，一般冠以负号，称为泊松比或横向变形系数。与的关系为（2-8）3．变截面杆的伸长变形例，变截面杆内应力相同，则杆截面面积按什么规律变化？；积分：；在处，所以：；即：按指数函数变化。例2-6图2-25所示为变截面杆，已知BD段cm2，DA段cm2，kN，kN。求AB杆的变形。（材料的MPa）解：首先分别求得BD、DC、CA三段的轴力，，为kN；kN；kN（m）（m）（m）（m）的负号说明此杆缩短。变形与位移：对轴向拉（压）杆，它们的关系明确，如例2-6中因为，则。对于杆系结构，由于变形和结构约束条件，从而使变形和位移之间还应满足一定的几何关系。例2-7图2-26a所示杆系结构，已知BC杆圆截面mm，BD杆为8号槽钢，MPa，GPa，kN。求B点的位移。解：（1）计算轴力，取节点B（图b）由，得（1）由，得（2）所以（压）（拉）（2）计算变形由：：，得m。BC杆圆截面的面积，BD杆为8号槽钢，由型钢表查得截面面积，由胡克定律求得（m）（m）确定B点位移。已知为拉伸变形，为压缩变形。设想将托架在节点B拆开（图a），BC杆伸长变形后变为B1C，BD杆压缩变形后变为B2D。分别以C点和D点为圆心，和为半径，作圆弧相交于B3。B3点即为托架变形后B点的位置。因为是小变形，B1B3和B2B3是两段极其微小的短弧，因而可用分别垂直于BC和BD的直线线段来代替，这两段直线的交点即为B3。即为B点的位移。也可以用图解法求位移。这里用解析法来求位移。注意到三角形BCD三边的长度比为，由图c可以求出B点的水平位移最后求出位移为§2-9轴向拉（压）杆件的变形能变形能：弹性体在外力作用下，因变形而储存的能量称为变形能（或应变能）。对于始终处于静力平衡状态的物体，如果物体的变形处于弹性范围内，则原来慢慢施加的外力对变形体所作的外力功W几乎全部转化为物体的弹性变形能U，则由能量守恒原理：（1）下面以图2-27来讨论轴向拉伸或压缩的变形能。对轴向拉压（杆），拉力P作功为（2）所以，由胡克定律，得（2-10）定义比能（或应变能密度）为单位体积的变形能，即（2-11）由胡克定律，则得单位为焦/米3，J/m3。例2-9简易起重机如图2-28所示。BD撑杆为无缝钢管，外径90mm，壁厚2.5mm，杆长。弹性模量。BC是两条横截面面积为172mm2的钢索，弹性模量。若不考虑立柱的变形，试求B点的垂直位移。设。解：从三角形BCD中解出BC和CD的长度分别为，算出BC和BD两杆的横截面面积分别为由BD杆的平衡方程，求得钢索BC的拉力为 BD杆的压力为 当载荷P从零开始缓慢地作用于由BC和BD两杆组成的简单弹性杆系上时，P所作的功是 O它在数值上应等于杆系的叺形能，亦即等于BC和BD两杆变形能的总和。故 将各数值代入，由此求得 关于用能量法求复杂结构的位移将在以后详细讨论。

第5讲教学方案——拉压静不定问题、应力集中基本内容拉压静不定问题、温度应力与装配应力、应力集中。教学目的掌握各种拉压静不定问题的特点，熟练利用三方程法求解各种静不定问题。比较温度应力和装配应力这两种静不定问题变形协调方程和物理方程的不同。了解应力集中的概念、发生部位及其危害。重点、难点本节重点：利用三方程法求解各种静不定问题。本节难点：变形协调方程的建立。

§2-10拉伸和压缩时的静不定问题超静定问题：单凭静力学平衡方程不能解出全部未知力的问题，称为超静定问题。此时未知力个数多于平衡方程式个数，其差数称为超静定次数。一般超静定问题的解法为：1）解除“多余”约束，使超静定结构变为静定结构（此相应静定结构称静定基），建立静力平衡方程。2）根据“多余”约束性质，建立变形协调方程。3）建立物理方程（如胡克定律，热膨胀规律等）。4）联解静力平衡方程以及2）和3）所建立的补充方程，求出未知力（约束力或内力）。变形协调条件应使静定基变形与原超静定结构相一致。例2-10如图2-29a，已知等截面直杆的EA，求A，B处的约束反力，。解：此结构的约束力个数为2，独立平衡方程数为1，属于一次超静定问题静力平衡方程如图b所示解除B处约束，即得相应静定基，静定基上除B处给以相应约束力RB外，还作用有P，RA。由得 即（a）（2）变形协调方程(b)（3）物理方程由胡克定律=，=（c）将（c）式代入（b）式得补充方程 或（d）（4）求解（a）、（d）式得 ，（） ，（）例2-11图2-30a所示杆系结构中AB杆为刚性杆，①、②杆刚度为EA，载荷为P，求①、②杆的轴力。解：（1）静力平衡方程如图b所示，N1，N2为①，②杆的内力；XA、YA为A处的约束力，未知力个数为4，静力平衡方程个数为3（平面力系），故为一次超静定问题。由得即（a）（2）变形协调方程 ，或（b）（3）物理方程，（c）由（c）（d）得补充方程（d）（4）由（a）和（d）式得 ，（拉力） ，（拉力）例，求轴力解：平衡关系：；变形几何：变形物理：；则：（压）；（拉）§2-11温度应力和装配应力1．温度应力由于温度变化会引起物体的膨胀或收缩，对于超静定结构由于胀缩变形受到约束，则会产生内应力。因温度变化而引起的内应力，称为温度应力。现以图2-31a所示问题为例进行分析。由于蒸汽管两端不能自由伸缩，故简化为图b所示固定端约束，此时若温度上升，则A，B端分别有约束力（图c）。1）由静力平衡方程（a）式（a）不能确定反力的数值，须再补充一个变形协调方程。2）变形协调方程（b）是杆件因作用而产生的缩短；是温度上升时的伸长。3）物理方程，（c）由（c），（b）式得补充方程 即有 应力为 （d）结果为正，说明当初设定杆受轴向压力是对的，故该杆的温度应力是压应力。对于钢杆，，，则当温度升高时，杆内的温度应力由式（d）算得为（压应力）2．装配应力例2-13图示2-33a所示为超静定杆系结构，1，3杆的拉伸刚度为E1A1，2杆的为E2A2，已知中间杆2加工制作时短了，试求三杆在D点铰接在一起后各杆的内力。解：图2-33a中实线为装配前情况，虚线为装配后情况，由变形知1、3杆的轴力N1及N3为压力，2杆的N2为张力，D点的受力图如图b。静力平衡方程（a）变形协调条件（b）物理方程，（c）由（b），（c）得补充方程（d）由（a），（d）解得：（e）综上分析结果可知，超静定问题与静定问题比较有以下特点：（1）内力（或约束力）的分配不仅与外载荷有关，还与杆件的刚度比有关，如例2-13中（e）式所示，与有关。（2）超静定结构会引起温度应力和装配应力。§2-12应力集中的概念实际工程构件中，有些零件常存在切口、切槽、油孔、螺纹等，致使这些部位上的截面尺寸发生突然变化。如图2-33所示开有圆孔和带有切口的板条，当其受轴向拉伸时，在圆孔和切口附近的局部区域内，应力的数值剧烈增加，而在离开这一区域稍远的地方，应力迅速降低而趋于均匀。这种现象，称为应力集中。截面尺寸变化越急剧，孔越小，角越尖，应力集中的程度就越严重，局部出现的最大应力就越大。鉴于应力集中往往会削弱杆件的强度，因此在设计中应尽可能避免或降低应力集中的影响。为了表示应力集中的强弱程度，定义理论应力集中系数（2-12）其中为削弱面上轴向正应力的峰值；为削弱面上名义应力。如对图2-34a所示厚度为t的矩形截面板条：k值可查阅有关设计手册。当b〉〉d，则k=3必须指出，材料的良好塑性变形能力可以缓和应力集中峰值，因而对低碳钢之类的塑性材料应力集中对强度的削弱作用不很明显，而对脆性材料，特别对铸铁之类内含大量显微缺陷，组织不均匀的材料将造成严重影响。

第6讲教学方案——剪切与挤压的实用计算基本内容剪切与挤压的实用计算。教学目的掌握工程中各种常用连接件和连接方式的受力和变形分析。了解连接件应力分布的复杂性、实用计算方法及其近似性和工程可行性。掌握对各种常用连接件和连接方式的强度校核。重点、难点本节重点：掌握对各种常用连接件和连接方式的强度校核。本节难点：通过连接件的受力和变形，找到剪切面和挤压面。

§2-13剪切和挤压的实用计算1．工程上的剪切件通过如图3-1所示的钢杆受剪和图3-2所示的联接轴与轮的键的受剪情况，可以看出，工程上的剪切件有以下特点：1）受力特点杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。2）变形特点两外力作用线间截面发生错动，由矩形变为平行四边形。(见动画：受剪切作用的轴栓)。因此剪切定义为相距很近的两个平行平面内，分别作用着大小相等、方向相对（相反）的两个力，当这两个力相互平行错动并保持间距不变地作用在构件上时，构件在这两个平行面间的任一（平行）横截面将只有剪力作用，并产生剪切变形。2．剪应力及剪切实用计算剪切实用计算中，假定受剪面上各点处与剪力Q相平行的剪应力相等，于是受剪面上的剪应力为（3-1）式中：—剪力；—剪切面积—名义剪切力剪切强度条件可表示为：（3-2）式中：—构件许用剪切应力。剪切面为圆形时，其剪切面积为：对于如图3-3所示的平键，键的尺寸为，其剪切面积为：。例2-14电瓶车挂钩由插销联接，如图3-4a。插销材料为20#钢，，直径。挂钩及被联接的板件的厚度分别为和。牵引力。试校核插销的剪切强度。解：插销受力如图3-4b所示。根据受力情况，插销中段相对于上、下两段，沿m—m和n—n两个面向左错动。所以有两个剪切面，称为双剪切。由平衡方程容易求出插销横截面上的剪应力为故插销满足剪切强度要求。例2-15如图3-8所示冲床，kN，冲头MPa，冲剪钢板MPa，设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。解：（1）按冲头压缩强度计算所以cm（2）按钢板剪切强度计算所以cm3．挤压及其实用计算挤压：联接和被联接件接触面相互压紧的现象，如图3-5就是铆钉孔被压成长圆孔的情况。有效挤压面：挤压面面积在垂直于总挤压力作用线平面上的投影。挤压时，以表示挤压面上传递的力，表示挤压面积，则挤压应力为（3-3）式中：—材料的许用挤压应力，一般对于圆截面：，如图3-6c所示。对于平键：，如图3-7所示。例2-16截面为正方形的两木杆的榫接头如图所示。已知木材的顺纹许用挤压应力，顺纹许用剪切应力，顺纹许用拉应力。若P=40kN，作用于正方形形心，试设计b、a及。解：1.顺纹挤压强度条件为（a）2.顺纹剪切强度条件为（b）3.顺纹拉伸强度条件为（c）联立（a）、（b）、（c）式，解得例2-172..5挖掘机减速器的一轴上装一齿轮，齿轮与轴通过平键连接，已知键所受的力为P＝12.1kN。平键的尺寸为：b=28mm，h=16mm,=70mm，圆头半径R＝14mm（图3－10）。键的许用切应力87MPa，轮毂的许用挤压应力取＝100MPa，试校核键连接的强度。解：（1）校核剪切强度键的受力情况如图3－10c所示，此时剪切面上的剪力（图3－10d）为对于圆头平键，其圆头部分略去不计（图3－10e），故剪切面面积为所以，平键的工作切应力为满足剪切强度条件。（2）校核挤压强度与轴和键比较，通常轮毂抵抗挤压的能力较弱。轮毂挤压面上的挤压力为P＝12100N挤压面的面积与键的挤压面相同，设键与轮毂的接触高度为，则挤压面面积（图3－10f)为故轮毂的工作挤压应力为也满足挤压强度条件。所以，此键安全。

第7讲教学方案——扭转时的内力、薄壁圆筒的扭转基本内容扭转时的内力、薄壁圆筒的扭转。教学目的掌握外力偶矩的计算方法，扭矩的计算和扭矩图的绘制。理解薄壁圆筒的定义，掌握薄壁圆筒扭转时横截面上剪应力的计算。深入理解剪应力互等定理和剪切胡克定律。剪切变形能和比能的定义和计算。重点、难点本节重点：外力偶矩的计算和扭矩图的绘制，剪应力互等定理和剪切胡克定律。本节难点：外力偶矩的计算，剪应力互等定理的理解。

第三章扭转§3-1概述工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4-1所示的攻丝丝锥，图4-2所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。扭转有如下特点：1．受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶——扭转力偶。其相应内力分量称为扭矩。2．变形特点：横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。若杆件横截面上只存在扭矩一个内力分量，则这种受力形式称为纯扭转。§3-2外力偶矩与扭矩的计算扭矩图1．外力偶矩如图4-3所示的传动机构，通常外力偶矩不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率和转速n由下列关系计算得到的。(4-1a)如轴在m作用下匀速转动角，则力偶做功为，由功率定义。角速度与转速n（单位为转/分，即r/min）。关系为（单位为弧度/秒，rad/s）。由于1kW=1000N·m/s，千瓦的功率相当于每秒钟作功，单位为N·m；而外力偶在1秒钟内所作的功为/60（N·m）

由于二者作的功应该相等，则有/60由此便得（4-1）式。式中：—传递功率（千瓦，kW）—转速（r/min）如果传递功率单位是马力(PS)，由于1PS=735.5N·m/s，则有（N·m）(4-1b)式中：—传递功率（马力，PS）—转速（r/min）2．扭矩求出外力偶矩后，可进而用截面法求扭转内力——扭矩。如图4-4所示圆轴，由，从而可得A—A截面上扭矩T，称为截面A—A上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法则，矢量离开截面为正，指向截面为负。或矢量与横截面外法线方向一致为正，反之为负。例3-1传动轴如图4-5a所示，主动轮A输入功率马力，从动轮B、C、D输出功率分别为马力，马力，轴的转速为。试画出轴的扭矩图。解：按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩从受力情况看出，轴在BC、CA、AD三段内，各截面上的扭矩是不相等的。现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。在BC段内，以表示截面I—I上的扭矩，并任意地把的方向假设为如图4-5b所示。由平衡方程，有得 负号说明，实际扭矩转向与所设相反。在BC段内各截面上的扭矩不变，所以在这一段内扭矩图为一水平线（图4-5e）。同理，在CA段内，由图4-5c，得 在AD段内（图4-5d）， 与轴力图相类似，最后画出扭矩图如图4-5e其中最大扭矩发生于CA段内，且。对上述传动轴，若把主动轮A安置于轴的一端（现为右端），则轴的扭矩图如图4-6所示。这时，轴的最大扭矩。显然单从受力角度，图4-5所示轮子布局比图4-6合理。§3-3薄壁圆筒的扭转

当空心圆筒的壁厚t与平均直径D（即2r）之比时称为薄壁圆筒.1．剪应力与剪切互等定理若在薄壁圆筒的外表面画上一系列互相平行的纵向直线和横向圆周线，将其分成一个个小方格，其中代表性的一个小方格如图4-7a所示。这时使筒在外力偶作用下扭转，扭转后相邻圆周线绕轴线相对转过一微小转角。纵线均倾斜一微小倾角从而使方格变成菱形(见图4-7b)，但圆筒沿轴线及周线的长度都没有变化。这表明，当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上只有切于截面的剪应力，因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度剪应力不变，又根据圆截面的轴对称性，横截面上的剪应力沿圆环处处相等。根据如图4-7c所示部分的平衡方程，有（4-2）如图4-7d是从薄壁圆筒上取出的相应于4-7a上小方块的单元体，它的厚度为壁厚t，宽度和高度分别为，。当薄壁圆筒受扭时，此单元体分别相应于p-p,q-q圆周面的左、右侧面上有剪应力，因此在这两个侧面上有剪力，而且这两个侧面上剪力大小相等而方向相反，形成一个力偶，其力偶矩为。为了平衡这一力偶，上、下水平面上也必须有一对剪应力作用（据，也应大小相等，方向相反）。对整个单元体，必须满足，即所以（4-3）上式表明，在一对相互垂直的微面上，垂直于交线的剪应力应大小相等，方向共同指向或背离交线。这就是剪应力互等定理。图表-7d所示单元体称纯剪切单无体。2．剪应变与剪切胡克定律与图4-7b中小方格（平行四边形）相对应，图4-7e中单元体的相对两侧面发生微小的相对错动，使原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量，此直角的改变量称为剪应变或角应变。如图4-7b所示若为圆筒两端的相对扭转角，为圆筒的长度，则剪应变为（4-4）薄圆筒扭转试验表明，在弹性范围内，剪应变与剪应力成正比，即（4-5）式（4-5）为剪切胡克定律；称为材料剪切弹性模量，单位：GPa。对各向同性材料，弹性常数三者有关系（4-6）3．变形能与比能若从薄壁圆筒中取出受纯剪切的单元体如图4-8所示，由于变形的相对性，可设单元体左侧面不动，右侧面上的剪力由零逐渐增至，右侧面因错动沿方向的位移由零增至。因此剪力所作的功为等于单元体内储存的变形能，故剪切单元体的变形能为（4-7）其中。以单元体的体积除得单位体积内的剪切变形能，即比能为对图4-8所示线弹性情况，当剪应力在剪切比例极限以内时，，有（4-8a）对图4-8所示线弹性关系（比例极限以内），有对图4-7b所示受扭薄壁圆筒，由于其剪应力与剪应变均处处相同，则整个圆筒的变形能为=（4–8b）

第8讲教学方案——圆轴扭转时的应力和强度条件基本内容圆轴扭转时的应力计算、强度条件的建立与强度计算。教学目的掌握圆轴扭转时的应力计算公式、推导过程和方法。理解圆轴扭转时的平面假设及其在公式推导中的应用。掌握圆轴扭转时的强度条件，利用强度条件进行相关计算。熟知圆轴和空心圆轴的极惯性矩和抗扭截面系数。重点、难点本节重点：圆轴扭转时的应力计算公式、推导过程和方法。本节难点：圆轴扭转时的平面假设及其在公式推导中的应用。

§3-4圆轴扭转时的应力和强度条件平面假设及变形几何关系如图4-9a所示受扭圆轴，与薄圆筒相似，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面分成一个个小方格，可以观察到受扭后表面变形有以下规律：(1)各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变；(2)由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度，认为仍为直线；因而各小方格变形后成为菱形。平面假设：变形前横截面为圆形平面，变形后仍为圆形平面，只是各截面绕轴线相对“刚性地”转了一个角度。从图4-9a取出图4-9b所示微段dx,其中两截面pp,qq相对转动了扭转角d,纵线ab倾斜小角度成为ab’，而在半径()处的纵线cd根据平面假设，转过d后成为cd’（其相应倾角为，见图4-9c）由于是小变形，从图4-9c可知：。于是（a）对于半径为R的圆轴表面（见图4-9b），则为（b）物理关系与受扭薄壁圆筒相同，在半径为处截出厚为d的薄圆筒（图4-9b），用一对相距dy而相交于轴线的径向面取出小方块（正微六面体）如图4-9c此为受纯剪切单元体。由剪切胡克定理和式（a）得（c）这表明横截面上任意点的剪应力与该点到圆心的距离成正比，即当；当，取最大值。由剪应力互等定理，则在径向截面和横截面上，沿半径剪应力的分布如图4-10。3．静力平衡关系在图4-11所示平衡对象的横截面内，有，扭矩，由力偶矩平衡条件，得令（4-9）此处d/dx为单位长度上的相对扭角，对同一横截面，它应为不变量。为几何性质量，只与圆截面的尺寸有关，称为极惯性矩；单位为m4或cm4。则或（4-10）（4-10）式代回（c）式，得（4-11）则在圆截面边缘上，为最大值时，得最大剪应力为（4-12）此处（4-13）称为抗扭截面系数，单位为m3或cm3。由此得圆轴扭转强度条件（4-14）注意到此处许用剪应力[]不同于剪切件计算中的剪切许用应力。它由危险剪应力除以安全系数n得到，与拉伸时相类似：sb由相应材料的扭转破坏试验获得，大量试验数据表明，它与相同材料的拉伸强度指标有如下统计关系：塑性材料脆性材料4.、计算对实心圆轴（4-15）对空心圆轴（4-16）例3-2AB轴传递的功率为，转速。如图4-12所示，轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。已知，。试计算AC以及CB段的最大与最小剪应力。解：（1）计算扭矩轴所受的外力偶矩为由截面法（2）计算极惯性矩AC段和CB段轴横截面的极惯性矩分别为 （3）计算应力AC段轴在横截面边缘处的剪应力为 CB段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为

第9讲教学方案——圆轴扭转时的变形和刚度条件非圆截面杆的扭转基本内容圆轴扭转时的变形和刚度条件、矩形截面杆扭转时的应力与变形。教学目的掌握圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算。掌握刚度条件的建立及利用刚度条件进行相关计算。了解圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算。了解矩形截面杆扭转时的横截面上的应力分布与变形计算。重点、难点本节重点：圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算，刚度条件的建立及相关计算。本节难点：对圆轴变形程度的理解。

§3-5圆轴扭转时的变形和刚度条件扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式（4-10）所以（rad）（4-17）式中称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量与极惯性矩乘积。越大，则扭转角越小。让，为单位长度相对扭角，则有（rad/m）扭转的刚度条件：（rad/m）（4-18）或（°/m）（4-19）例3-3如图4-13的传动轴，r/min，马力，马力，马力，已知MPa，°/m，GPa。求：确定AB和BC段直径。解：1）计算外力偶矩（N·m）（N·m）（N·m）作扭矩图，如图4-13b所示。2）计算直径AB段：由强度条件， （mm）由刚度条件 （mm）取mmBC段：同理，由扭转强度条件得 mm由扭转刚度条件得 mm取mm例3-4如图4-14所示等直圆杆，已知KN·m，试绘扭矩图。解：设两端约束扭转力偶为，（1）由静力平衡方程得（a）此题属于一次超静定。（2）由变形协调方程（可解除B端约束），用变形叠加法有（b）（3）物理方程，，（c）由式（c），（b）得即并考虑到（a），结果假设的力偶转向正确，绘制扭矩图如图4-14c所示。§3-6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算螺旋弹簧如图4-15a所示。当螺旋角时，可近似认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内1．弹簧丝横截面上的应力如图4-15b以簧丝的任意横截面取出密圈弹簧的上部分为研究对象，根据平衡方程，横截面上剪力由引起的剪应力，而且认为均匀分布于横截面上（图4-15c）；若将簧丝的受力视为直杆的纯扭转，由引起的最大剪应力（图4-15d），扭矩。，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。

所以在簧丝横截面内侧A点有 （4-20）其中（4-21）当，略去剪应力所引起的误差，可用近似式（4-22）对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹簧，的值并不太小，此时不仅要考虑剪力，还要考虑弹簧丝曲率的影响，进一步理论分析和修正系数k的选取可见有关参考书。密圈弹簧丝的强度条件是（4-23）式中：—弹簧丝材料的许用剪应力2.弹簧的变形设弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量为，这是弹簧的整体的压缩（或拉伸）变形。如图4-16a、b，外力对弹簧做功。簧丝横截面上，距圆心为的任意点的扭转剪应力为（a）如认为簧丝是纯扭转，则其相应的单位体积变形能是（b）弹簧的变形能应为（c）此处，其中，弹簧丝总长为，n为弹簧有效圈数。于是积分式（c）得（d）由，则得到（4-24）式中是弹簧圈的平均半径。若引入记号则式（4-24）可写成（4-25）代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。可见与成反比，越大则越小。例3-5某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半径，簧丝直径，有效圈数。。弹簧工作时受KN，求此弹簧的最大压缩量与最大剪应力（略去弹簧曲率的影响）解：由变形公式求最大压缩量考虑剪切力时不考虑剪力影响时，相差5.9%。由于，还应考虑曲率影响，此处从略。§3-7非圆截面杆的扭转问题工程上受扭转的杆件除常见的圆轴外，还有其他形状的截面，下面简要介绍矩形截面，如图4-17a。杆件受扭转力偶作用发生变形，变形后其横截面将不再保持平面，而发生“翘曲”（图4-17b）。扭转时，若各横截面翘曲是自由的，不受约束，此时相邻横截面的翘曲处处相同，杆件轴向纤维的长度无变化，因而横截面上，只有剪应力没有正应力，这种扭转称为自由扭转。此时横截面上剪应力规律如下（图14-7c）：1）边缘各点的剪应力与周边相切，沿周边方向形成剪流。2）发生在矩形长边中点处，大小为： ，（4-26）次大剪应力发生在短边中点，大小为 四个角点处剪应力。3）杆件两端相对扭转角，（4-27）其中系数与有关，可查表（见有关参考书）。注意到：对非圆截面扭转，平面假设不再成立。上面计算公式是将弹性力学的分析结果写成圆轴公式形式。当时，截面成为狭长矩形，此时，若以表示狭长矩形的短边长度，则式（4-26）化为（4-28）其中，，此时长边上应力趋于均匀，如图4-17d所示。在工程实际结构中受扭构件某些横截面的翘曲要受到约束（如支承处，加载面处等）。此扭转为约束扭转，其特点是轴向纤维的长度发生改变，导致横截面上除扭转剪应力外还出现正应力。对非圆截面杆件约束扭转提示：（1）对薄壁截面（如型钢）将引起较大的正应力。有关内容可参“开口薄壁杆件约束扭转”专题；（2）对实心截面杆件（如矩形，椭圆形）正应力一般很小可以略去，仍按自由扭转处理。例3-6某柴油机曲轴的曲柄截面Ⅰ—Ⅰ可以认为是矩形的，如图4-18。在实用计算中，其扭转剪应力近似地按矩形截面杆受扭计算。若，，已知曲柄所受扭矩为，试求这一矩形截面上的最大剪应力。解：由截面Ⅰ—Ⅰ的尺寸求得 查表，并利用插入法，求出 于是得

第10讲教学方案——平面图形的几何性质（Ⅰ）基本内容静矩和形心；惯性矩、惯性积和惯性半径。教学目的掌握静矩和形心的概念和计算方法。掌握惯性矩、极惯性矩、惯性半径和惯性积的概念和计算方法。掌握惯性矩和极惯性矩的关系。了解当坐标轴为形心轴或对称轴时静矩或惯性积的特点。熟知某些简单图形的惯性矩、极惯性矩。重点、难点本节重点：描述平面图形几何性质的各种几何量的定义及计算。本节难点：某些平面图形几何性质的计算。

附录Ⅰ平面图形的几何性质§Ⅰ-1静矩和形心静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1所示。定义式：，（Ⅰ-1）量纲为长度的三次方。由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标和。则由此可得薄板重心的坐标为同理有所以形心坐标，（Ⅰ-2）或，由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即，；，则；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第I块分图形的面积为，形心坐标为，则其静矩和形心坐标分别为，（Ⅰ-3），（Ⅰ-4）例Ⅰ-1求图Ⅰ-2所示半圆形的及形心位置解：由对称性，，。现取平行于轴的狭长条作为微面积所以读者自己也可用极坐标求解。例Ⅰ-2确定形心位置，如图Ⅰ-3所示。解：将图形看作由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成，在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别为矩形Ⅰ：mm2mm，mm矩形Ⅱ：mm2mm，mm整个图形形心的坐标为§Ⅰ-2惯性矩、惯性积和惯性半径惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图Ⅰ-4所示。，（Ⅰ-5）量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义，（Ⅰ-6）为图形对轴和对轴的惯性半径。组合图形的惯性矩。设为分图形的惯性矩，则总图形对同一轴惯性矩为，（Ⅰ-7）若以表示微面积到坐标原点的距离,则定义图形对坐标原点的极惯性矩（Ⅰ-8）因为所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系（Ⅰ-9）式（Ⅰ-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。下式（Ⅰ-10）定义为图形对一对正交轴、轴的惯性积。量纲是长度的四次方。可能为正，为负或为零。若y，z轴中有一根为对称轴则其惯性积为零。例Ⅰ-3求如图Ⅰ-5所示圆形截面的。解：如图所示取dA，根据定义，由于轴对称性，则有（I-10a）由公式（Ⅰ-9）（I-10b）对于空心圆截面，外径为，内径为，则（Ⅰ-12a）（I-12b）例Ⅰ-4求如图Ⅰ-6所示图形的及。解：取平行于轴的狭长矩形，由于，其中宽度随变化，则由，如图

第11讲教学方案——平面图形的几何性质（Ⅱ）基本内容平行移轴公式、转轴公式、主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性轴及形心主惯性矩。教学目的熟练掌握某些几何量在不同坐标系中的转换公式——平行移轴公式、转轴公式的应用。掌握主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性轴及形心主惯性矩的定义及计算方法。掌握组合图形几何性质的计算方法。重点、难点本节重点：平行移轴公式和转轴公式。本节难点：组合图形几何性质的计算。

§Ⅰ-3平行移轴公式由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同，如果其中一对轴是图形的形心轴时，如图Ⅰ-7所示，可得到如下平行移轴公式（Ⅰ-13）简单证明之：其中为图形对形心轴的静矩，其值应等于零，则得同理可证（I-13）中的其它两式。结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。在使用惯性积移轴公式时应注意a,b的正负号。例Ⅰ-5由两个8号槽钢和两块cm2钢板组成的截面，如图Ⅰ-8，求，。解：（1）计算根据平行移轴公式，求得每一钢板对轴的惯性矩为cm4从型钢表中查得每一槽钢对轴的惯性矩为cm4则该组合截面对轴的惯性矩为cm4（2）计算每一钢板对轴的惯性矩为cm4从型钢表中查得，每一槽钢的形心到外侧边缘的距离为1.43cm，则该形心与轴的距离为cm。又从型钢表中查得槽钢对其形心轴z的惯性矩及面积A分别为cm4，cm2。故由平行轴公式得每一槽钢对轴的惯性矩为cm4最终可得到整个组合截面对轴的惯性矩为§Ⅰ-4转轴公式任意平面图形（如图Ⅰ-9）对轴和轴的惯性矩