内科大材料力学教案第20讲 应力状态理论（Ⅱ）

第二十讲材料力学教案第20讲教学方案——应力状态理论（Ⅱ）基本内容1.平面应力状态分析的图解法。2.三向应力状态简介。教学目的1.了解从任意截面上的应力公式引出应力圆的简要过程,即应力圆的方程的导出。2.掌握应力圆的作图方法。3.掌握用应力圆求任意斜截面上的应力、主应力和确定主平面的位置的具体方法。4．掌握极点法，明确极点法的优越性。5．对三向应力状态的分析方法作简单介绍。6．掌握广义胡克定律的导出及其应用。重点、难点重点掌握应力圆的作图方法。掌握用极点法求解任意斜截面上的应力、主应力和确定主平面的位置。重点掌握广义胡克定律的导出及其应用。难点是广义胡克定律的应用与极点法的应用。教学安排本次教学计划学时：2学时。课堂讨论：1.应力圆是否能够反映或描述了一点的应力状态，包含一点应力状态的各种信息。2.极点法到底具备什么样的优越性。3.如何应用广义胡克定律来解决应力分析与应变分析问题。4．应力分析的解析法与图解法优缺点的相互比较。

§7-3平面一般应力状态分析——应力圆法1．应力圆方程由式（8-3a）和(8-3b)消去，得到(8-6)此为以，为变量的圆方程，以为横坐标轴，为纵坐标轴，则此圆圆心坐标为，半径为，此圆称应力圆或莫尔（Mohr）圆。2．应力圆的作法应力圆法也称应力分析的图解法。作图8-12a所示已知平面一般应力状态的应力圆及求倾角为的斜截面上应力，的步骤如下：1）根据已知应力，，值选取适当比例尺；2）在坐标平面上，由图8-12a中微元体的1-1，2-2面上已知应力作1（，），2（，-）两点；3）过1，2两点作直线交轴于点，以为圆心，为半径作应力圆；4）半径逆时针（与微元体上转向一致）转过圆心角得3点，则3点的横坐标值即为，纵坐标值即为。3．微元体中面上应力与应力圆上点的坐标的对应关系1）=，=的证明：=

已知：；则让，对照上式与式（8-3a），可知=。

对照上式与式（8-3b），可知=。2）几个重要的对应关系（即式（8-5b））主平面位置：应力圆上由1点顺时针转过到点。，（即式（8-4a）），对应微元体内从面顺时针转过角（面）。应力圆上继续从点转过到，对应微元体上从面继续转过到面，此时（即式（8-4c））建议读者对，点（对应主剪应力）作同样讨论。

§7-4三向应力状态简介1．主应力对于空间一般应力状态（如图8-9a），可以证明，总可将微元体转到某一方位，此时三对微面上只有正应力而无剪应力作用（如图8-13）。此三对微面即主平面，三个正应力即主应力（正应力极值）。空间一般应力状态一般具有三个非零的主应力，故也称三向应力状态约定：三个主应力按代数值从大到小排列，即。例7-1式（8-1a），(8-1b)所示薄壁圆筒为二向应力状态，有两个主应力，内壁有内压工程上略去不计，则有：，，。例7-2图8-7所示受弯曲与扭转组合作用圆轴中的1点，可用图8-14所示应力圆求其主应力：，二向应力状态。所以，，2．主剪应力，最大剪应力若已知（或已求得）三个主应力，可求：1）平行方向的任意斜截面上应力（如图8-15a）。由于不参加图8-15b所示微元体的力平衡。可利用式（8-3a）、(8-3b)：

相应于图8-15c中，构成的应力圆，此时主剪应力：，（图8-15c上的点）。2）平行方向斜截面上的主剪应力（见图8-16a，b，c）主剪应力：。（见图8-15c中，构成的应力圆上点）。3）求平行方向斜截面上的主剪应力（见图8-15c中点）。。结论：在按约定排列的三个非零主应力，，作出的两两相切的三个应力圆中，可以找到三个相应的主剪应力，，，其中最大剪应力值为：处在与，作用面成的面上。例7-1中：而非。例7-2中：※3．任意斜截面上应力已知主应力，，，设斜截面法线的方向余弦为，，。求任意斜截面上应力。设斜面面积，则三个侧面面积：，，三个方向余弦满足关系：（a）由平衡条件，和有：，，（b）由总应力的三个分量可得总应力：（c）也可分解为法线方向的正应力和面上剪应力（图8-17c），则有（d）由式（d），（c）得：（e），，在斜面法线上投影之代数和为，注意到式（b），则有：（f）由式（a），（e），（f）可解得：(8-7)讨论：1）在以为横坐标，为纵坐标的坐标平面内，以上三式分别表示三个应力圆，且交于一点，此点坐标即为斜截面上的应力（，）。2）由于、、，在约定条件下，可由以上三式证明任意斜截面上应力均落在图8-14c所示三个主应力圆